Theorem fineqvnttrclselem3 35650

Description: Lemma for fineqvnttrclse 35651. (Contributed by BTernaryTau, 12-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
fineqvnttrclselem3.2	⊢ 𝐴 = ω
fineqvnttrclselem3.3	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})

Assertion

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3	⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑑   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑁,𝑎,𝑣   𝑥,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣, 𝑎, 𝑑)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑎, 𝑑)   𝐹(𝑣, 𝑎)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑑)

Proof of Theorem fineqvnttrclselem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvnttrclselem3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})
2		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (𝑎 +o 𝑑))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
4	3	rabbidv 3419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
5	4	unieqd 4880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
6		elelsuc 6433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ suc 𝑁 → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
8		fineqvnttrclselem1 35648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
11	10, 9	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
12	11	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
13		fineqvnttrclselem3.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ω
14	12, 13	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴)
15	1	fineqvnttrclselem2 35649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
16	6, 15	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
17		eldifi 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐵 ∈ ω)
18		elnn 7874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
21		peano2 7887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
22		nnord 7871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
23		ordsucelsuc 7819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord suc 𝑁 → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
26	20, 25	stoic3 1809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
27	1	fineqvnttrclselem2 35649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
28	26, 27	syld3an3 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
29	16, 28	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
30	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → suc 𝑁 ∈ ω)
31		elnn 7874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
32	31	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
33	30, 32	stoic3 1809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
34	20	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
35		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (suc 𝑎 +o 𝑑))
36	35	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
37	36	rabbidv 3419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
38	37	unieqd 4880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
39	25	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
40		fineqvnttrclselem1 35648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
42	1, 38, 39, 41	fvmptd3 7011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
43	42, 41	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
44	34, 43	syld3an2 1438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
45		nnacom 8606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
46	45	suceqd 6425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
47		nnasuc 8595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
48		nnasuc 8595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
49	48	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
51		peano2 7887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ω → suc 𝑎 ∈ ω)
52		nnacom 8606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
53	51, 52	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
54	50, 53	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
55	54	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
56	55	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎))))
57		peano2 7887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω → suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
58		nnacan 8617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
59	57, 58	syl3an3 1183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
60	56, 59	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
61	33, 12, 44, 60	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
62	29, 61	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))
63		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑎) ∈ V
64		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ V
65		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴))
66		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦))
67	65, 66	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦)))
68		suceq 6426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → suc 𝑦 = suc (𝐹‘suc 𝑎))
69	68	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → ((𝐹‘𝑎) = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
70	69	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))))
71		fineqvnttrclselem3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
72	63, 64, 67, 70, 71	brab 5522	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
73	14, 62, 72	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))
74	73	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ suc 𝑁 → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎)))
75	74	ralrimiv 3153	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863  1_oc1o 8449   +_o coa 8453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-en 8954  df-fin 8957

This theorem is used by:  fineqvnttrclse  35651