Theorem fineqvnttrclselem3 35458

Description: Lemma for fineqvnttrclse 35459. (Contributed by BTernaryTau, 12-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
fineqvnttrclselem3.2	⊢ 𝐴 = ω
fineqvnttrclselem3.3	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})

Assertion

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3	⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑑   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑁,𝑎,𝑣   𝑥,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑎,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑎,𝑑)   𝐹(𝑣,𝑎)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem fineqvnttrclselem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvnttrclselem3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})
2		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (𝑎 +o 𝑑))
3	2	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
4	3	rabbidv 3430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
5	4	unieqd 4889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
6		elelsuc 6437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ suc 𝑁 → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
7	6	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
8		fineqvnttrclselem1 35456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
11	10, 9	eqeltrd 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
12	11	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
13		fineqvnttrclselem3.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ω
14	12, 13	eleqtrrdi 2880	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴)
15	1	fineqvnttrclselem2 35457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
16	6, 15	syl3an3 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
17		eldifi 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐵 ∈ ω)
18		elnn 7872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
19	18	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
20	17, 19	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
21		peano2 7885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
22		nnord 7869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
23		ordsucelsuc 7817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord suc 𝑁 → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
25	24	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
26	20, 25	stoic3 1803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
27	1	fineqvnttrclselem2 35457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
28	26, 27	syld3an3 1434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
29	16, 28	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
30	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → suc 𝑁 ∈ ω)
31		elnn 7872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
32	31	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
33	30, 32	stoic3 1803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
34	20	3adant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
35		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (suc 𝑎 +o 𝑑))
36	35	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
37	36	rabbidv 3430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
38	37	unieqd 4889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
39	25	3adant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
40		fineqvnttrclselem1 35456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
41	40	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
42	1, 38, 39, 41	fvmptd3 7014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
43	42, 41	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
44	34, 43	syld3an2 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
45		nnacom 8602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
46	45	suceqd 6429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
47		nnasuc 8591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
48		nnasuc 8591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
49	48	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
51		peano2 7885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ω → suc 𝑎 ∈ ω)
52		nnacom 8602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
53	51, 52	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
54	50, 53	eqtr4d 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
55	54	3adant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
56	55	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎))))
57		peano2 7885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω → suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
58		nnacan 8613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
59	57, 58	syl3an3 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
60	56, 59	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
61	33, 12, 44, 60	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
62	29, 61	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))
63		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑎) ∈ V
64		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ V
65		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴))
66		eqeq1 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦))
67	65, 66	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦)))
68		suceq 6430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → suc 𝑦 = suc (𝐹‘suc 𝑎))
69	68	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → ((𝐹‘𝑎) = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
70	69	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))))
71		fineqvnttrclselem3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
72	63, 64, 67, 70, 71	brab 5529	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
73	14, 62, 72	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))
74	73	3expia 1137	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ suc 𝑁 → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎)))
75	74	ralrimiv 3162	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113  {copab 5177   ↦ cmpt 5196  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7861  1_oc1o 8445   +_o coa 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-en 8943  df-fin 8946

This theorem is referenced by:  fineqvnttrclse  35459