Theorem fineqvnttrclselem3 35279

Description: Lemma for fineqvnttrclse 35280. (Contributed by BTernaryTau, 12-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
fineqvnttrclselem3.2	⊢ 𝐴 = ω
fineqvnttrclselem3.3	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})

Assertion

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3	⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑑   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑁,𝑎,𝑣   𝑥,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑎,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑎,𝑑)   𝐹(𝑣,𝑎)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem fineqvnttrclselem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvnttrclselem3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})
2		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (𝑎 +o 𝑑))
3	2	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
4	3	rabbidv 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
5	4	unieqd 4876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
6		elelsuc 6392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ suc 𝑁 → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
8		fineqvnttrclselem1 35277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 6964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
11	10, 9	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
12	11	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
13		fineqvnttrclselem3.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ω
14	12, 13	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴)
15	1	fineqvnttrclselem2 35278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
16	6, 15	syl3an3 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
17		eldifi 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐵 ∈ ω)
18		elnn 7819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
20	17, 19	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
21		peano2 7832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
22		nnord 7816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
23		ordsucelsuc 7764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord suc 𝑁 → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
26	20, 25	stoic3 1777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
27	1	fineqvnttrclselem2 35278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
28	26, 27	syld3an3 1411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
29	16, 28	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
30	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → suc 𝑁 ∈ ω)
31		elnn 7819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
32	31	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
33	30, 32	stoic3 1777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
34	20	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
35		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (suc 𝑎 +o 𝑑))
36	35	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
37	36	rabbidv 3406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
38	37	unieqd 4876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
39	25	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
40		fineqvnttrclselem1 35277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
42	1, 38, 39, 41	fvmptd3 6964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
43	42, 41	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
44	34, 43	syld3an2 1413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
45		nnacom 8545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
46	45	suceqd 6384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
47		nnasuc 8534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
48		nnasuc 8534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
49	48	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
51		peano2 7832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ω → suc 𝑎 ∈ ω)
52		nnacom 8545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
53	51, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
54	50, 53	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
55	54	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
56	55	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎))))
57		peano2 7832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω → suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
58		nnacan 8556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
59	57, 58	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
60	56, 59	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
61	33, 12, 44, 60	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
62	29, 61	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))
63		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑎) ∈ V
64		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ V
65		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴))
66		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦))
67	65, 66	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦)))
68		suceq 6385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → suc 𝑦 = suc (𝐹‘suc 𝑎))
69	68	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → ((𝐹‘𝑎) = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
70	69	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))))
71		fineqvnttrclselem3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
72	63, 64, 67, 70, 71	brab 5491	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
73	14, 62, 72	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))
74	73	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ suc 𝑁 → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎)))
75	74	ralrimiv 3127	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399   ∖ cdif 3898  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  {copab 5160   ↦ cmpt 5179  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  1_oc1o 8390   +_o coa 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  fineqvnttrclse  35280