Theorem fineqvnttrclselem3 35859

Description: Lemma for fineqvnttrclse 35860. (Contributed by BTernaryTau, 12-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
fineqvnttrclselem3.2	⊢ 𝐴 = ω
fineqvnttrclselem3.3	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})

Assertion

Ref	Expression
fineqvnttrclselem3	⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑑   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑁,𝑎,𝑣   𝑥,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣, 𝑎, 𝑑)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑎, 𝑑)   𝐹(𝑣, 𝑎)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑑)

Proof of Theorem fineqvnttrclselem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvnttrclselem3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ suc suc 𝑁 ↦ ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵})
2		oveq1 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (𝑎 +o 𝑑))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
4	3	rabbidv 3419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
5	4	unieqd 4879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
6		elelsuc 6441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ suc 𝑁 → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
8		fineqvnttrclselem1 35857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
10	1, 5, 7, 9	fvmptd3 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
11	10, 9	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
12	11	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ ω)
13		fineqvnttrclselem3.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ω
14	12, 13	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴)
15	1	fineqvnttrclselem2 35858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
16	6, 15	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = 𝐵)
17		eldifi 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐵 ∈ ω)
18		elnn 7892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ω)
21		peano2 7905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
22		nnord 7889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑁 ∈ ω → Ord suc 𝑁)
23		ordsucelsuc 7837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord suc 𝑁 → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑎 ∈ suc 𝑁 ↔ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
26	20, 25	stoic3 1808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
27	1	fineqvnttrclselem2 35858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
28	26, 27	syld3an3 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = 𝐵)
29	16, 28	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
30	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → suc 𝑁 ∈ ω)
31		elnn 7892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → 𝑎 ∈ ω)
32	31	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
33	30, 32	stoic3 1808	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑎 ∈ ω)
34	20	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → 𝑁 ∈ ω)
35		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → (𝑣 +o 𝑑) = (suc 𝑎 +o 𝑑))
36	35	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ((𝑣 +o 𝑑) = 𝐵 ↔ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵))
37	36	rabbidv 3419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
38	37	unieqd 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = suc 𝑎 → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (𝑣 +o 𝑑) = 𝐵} = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
39	25	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → suc 𝑎 ∈ suc suc 𝑁)
40		fineqvnttrclselem1 35857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵} ∈ ω)
42	1, 38, 39, 41	fvmptd3 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) = ∪ {𝑑 ∈ On ∣ (suc 𝑎 +o 𝑑) = 𝐵})
43	42, 41	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
44	34, 43	syld3an2 1438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
45		nnacom 8634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
46	45	suceqd 6433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
47		nnasuc 8623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = suc (𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
48		nnasuc 8623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
49	48	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎) = suc ((𝐹‘suc 𝑎) +o 𝑎))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
51		peano2 7905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ω → suc 𝑎 ∈ ω)
52		nnacom 8634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
53	51, 52	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) = ((𝐹‘suc 𝑎) +o suc 𝑎))
54	50, 53	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
55	54	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)))
56	55	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎))))
57		peano2 7905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω → suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω)
58		nnacan 8645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ suc (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
59	57, 58	syl3an3 1183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 +o suc (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
60	56, 59	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ (𝐹‘𝑎) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ ω) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
61	33, 12, 44, 60	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → ((𝑎 +o (𝐹‘𝑎)) = (suc 𝑎 +o (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
62	29, 61	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))
63		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑎) ∈ V
64		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘suc 𝑎) ∈ V
65		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴))
66		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦))
67	65, 66	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦)))
68		suceq 6434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → suc 𝑦 = suc (𝐹‘suc 𝑎))
69	68	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → ((𝐹‘𝑎) = suc 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
70	69	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘suc 𝑎) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎))))
71		fineqvnttrclselem3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = suc 𝑦)}
72	63, 64, 67, 70, 71	brab 5518	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑎) = suc (𝐹‘suc 𝑎)))
73	14, 62, 72	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ suc 𝑁) → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))
74	73	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ suc 𝑁 → (𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎)))
75	74	ralrimiv 3153	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ suc 𝑁(𝐹‘𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 4044  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881  1_oc1o 8477   +_o coa 8481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-en 8982  df-fin 8985

This theorem is used by:  fineqvnttrclse  35860