Theorem fltaccoprm 42650

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltaccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltaccoprm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2		fltabcoprmex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16686	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
6	1, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
7		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10		fltabcoprmex.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13		fltabcoprmex.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		dvdsexpim 16592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
17	2	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		dvdsexpim 16592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
20	9, 18, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
21	16, 20	anim12d 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐶 ∧ 𝑖 ∥ 𝐴) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
22	21	ancomsd 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
24	8, 14	nnexpcld 14284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
27	10, 13	nnexpcld 14284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
30	2, 13	nnexpcld 14284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvds2sub 16328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
34	26, 29, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
35	23, 34	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
36	2	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36, 13	expcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
38	3	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 13	expcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
40		fltabcoprmex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	37, 39, 40	laddrotrd 42310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
43	35, 42	breqtrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
44		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
45	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
46	10	nncnd 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
47	36, 38, 46, 13, 40	flt0 42647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		dvdsexpnn 42368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
50	44, 45, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
51	43, 50	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
52	7, 51	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
54	53	imim1d 82	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
55	54	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
56	6, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
57		coprmgcdb 16686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
58	2, 10, 57	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
59	56, 58	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  fltbccoprm  42651  flt4lem7  42669  nna4b4nsq  42670