Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltaccoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltaccoprm 42626
Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltabcoprmex.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
fltaccoprm.1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
fltaccoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltaccoprm.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2 fltabcoprmex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 fltabcoprmex.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
4 coprmgcdb 16682 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
61, 5mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
7 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖𝐴)
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10 fltabcoprmex.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1110nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13 fltabcoprmex.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 dvdsexpim 16588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖𝐶 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
169, 12, 14, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝐶 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
172nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19 dvdsexpim 16588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖𝐴 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
209, 18, 14, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
2116, 20anim12d 609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐶𝑖𝐴) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁))))
2221ancomsd 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁))))
2322imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
248, 14nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝑁) ∈ ℕ)
2524nnzd 12637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
2710, 13nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ ℕ)
2827nnzd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ ℤ)
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝐶𝑁) ∈ ℤ)
302, 13nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
3130nnzd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
3231ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
33 dvds2sub 16324 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁))))
3426, 29, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁))))
3523, 34mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)))
362nncnd 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3736, 13expcld 14182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
383nncnd 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3938, 13expcld 14182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
40 fltabcoprmex.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
4137, 39, 40laddrotrd 42288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)) = (𝐵𝑁))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)) = (𝐵𝑁))
4335, 42breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁))
44 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
453ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
4610nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4736, 38, 46, 13, 40flt0 42623 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49 dvdsexpnn 42346 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
5044, 45, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
5143, 50mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖𝐵)
527, 51jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
5352ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
5453imim1d 82 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1)))
5554ralimdva 3164 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1)))
566, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1))
57 coprmgcdb 16682 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
582, 10, 57syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
5956, 58mpbid 232 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528
This theorem is referenced by:  fltbccoprm  42627  flt4lem7  42645  nna4b4nsq  42646
  Copyright terms: Public domain W3C validator