Theorem fltaccoprm 40477

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltaccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltaccoprm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2		fltabcoprmex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16354	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
6	1, 5	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
7		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10		fltabcoprmex.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13		fltabcoprmex.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		dvdsexpim 40328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
17	2	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		dvdsexpim 40328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
20	9, 18, 14, 19	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
21	16, 20	anim12d 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐶 ∧ 𝑖 ∥ 𝐴) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
22	21	ancomsd 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
23	22	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
24	8, 14	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
27	10, 13	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
30	2, 13	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvds2sub 16000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
34	26, 29, 32, 33	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
35	23, 34	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
36	2	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36, 13	expcld 13864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
38	3	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 13	expcld 13864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
40		fltabcoprmex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	37, 39, 40	laddrotrd 40304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
42	41	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
43	35, 42	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
44		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
45	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
46	10	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
47	36, 38, 46, 13, 40	flt0 40474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
48	47	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		dvdsexpnn 40340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
50	44, 45, 48, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
51	43, 50	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
52	7, 51	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
53	52	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
54	53	imim1d 82	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
55	54	ralimdva 3108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
56	6, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
57		coprmgcdb 16354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
58	2, 10, 57	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
59	56, 58	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  fltbccoprm  40478  flt4lem7  40496  nna4b4nsq  40497