Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltaccoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltaccoprm 40477
Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltabcoprmex.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
fltaccoprm.1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
fltaccoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltaccoprm.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2 fltabcoprmex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 fltabcoprmex.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
4 coprmgcdb 16354 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
61, 5mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
7 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖𝐴)
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnzd 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10 fltabcoprmex.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1110nnzd 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13 fltabcoprmex.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 dvdsexpim 40328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖𝐶 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
169, 12, 14, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝐶 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
172nnzd 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19 dvdsexpim 40328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖𝐴 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
209, 18, 14, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴 → (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
2116, 20anim12d 609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐶𝑖𝐴) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁))))
2221ancomsd 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁))))
2322imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → ((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
248, 14nnexpcld 13960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝑁) ∈ ℕ)
2524nnzd 12425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∈ ℤ)
2710, 13nnexpcld 13960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ ℕ)
2827nnzd 12425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ ℤ)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝐶𝑁) ∈ ℤ)
302, 13nnexpcld 13960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
3130nnzd 12425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
33 dvds2sub 16000 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁))))
3426, 29, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (((𝑖𝑁) ∥ (𝐶𝑁) ∧ (𝑖𝑁) ∥ (𝐴𝑁)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁))))
3523, 34mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∥ ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)))
362nncnd 11989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3736, 13expcld 13864 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
383nncnd 11989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3938, 13expcld 13864 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
40 fltabcoprmex.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
4137, 39, 40laddrotrd 40304 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)) = (𝐵𝑁))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → ((𝐶𝑁) − (𝐴𝑁)) = (𝐵𝑁))
4335, 42breqtrd 5100 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁))
44 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
453ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
4610nncnd 11989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4736, 38, 46, 13, 40flt0 40474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49 dvdsexpnn 40340 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
5044, 45, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
5143, 50mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → 𝑖𝐵)
527, 51jca 512 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐶)) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
5352ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
5453imim1d 82 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1)))
5554ralimdva 3108 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1)))
566, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1))
57 coprmgcdb 16354 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
582, 10, 57syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
5956, 58mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cexp 13782  cdvds 15963   gcd cgcd 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202
This theorem is referenced by:  fltbccoprm  40478  flt4lem7  40496  nna4b4nsq  40497
  Copyright terms: Public domain W3C validator