Theorem fltaccoprm 42601

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltaccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltaccoprm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2		fltabcoprmex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
6	1, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10		fltabcoprmex.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13		fltabcoprmex.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		dvdsexpim 16501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
17	2	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		dvdsexpim 16501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
20	9, 18, 14, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
21	16, 20	anim12d 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐶 ∧ 𝑖 ∥ 𝐴) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
22	21	ancomsd 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
24	8, 14	nnexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
27	10, 13	nnexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
30	2, 13	nnexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvds2sub 16237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
34	26, 29, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
35	23, 34	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
36	2	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36, 13	expcld 14087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
38	3	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 13	expcld 14087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
40		fltabcoprmex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	37, 39, 40	laddrotrd 42236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
43	35, 42	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
44		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
45	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
46	10	nncnd 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
47	36, 38, 46, 13, 40	flt0 42598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		dvdsexpnn 42294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
50	44, 45, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
51	43, 50	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
52	7, 51	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
54	53	imim1d 82	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
55	54	ralimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
56	6, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
57		coprmgcdb 16595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
58	2, 10, 57	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
59	56, 58	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ↑cexp 14002   ∥ cdvds 16198   gcd cgcd 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441

This theorem is referenced by:  fltbccoprm  42602  flt4lem7  42620  nna4b4nsq  42621