Theorem fltaccoprm 43372

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐴, 𝐶 coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltaccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltaccoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltaccoprm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2		fltabcoprmex.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
6	1, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
7		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
10		fltabcoprmex.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
13		fltabcoprmex.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		dvdsexpim 16608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
17	2	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		dvdsexpim 16608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
20	9, 18, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
21	16, 20	anim12d 620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐶 ∧ 𝑖 ∥ 𝐴) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
22	21	ancomsd 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))))
23	22	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
24	8, 14	nnexpcld 14277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∈ ℤ)
27	10, 13	nnexpcld 14277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ)
30	2, 13	nnexpcld 14277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvds2sub 16344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
34	26, 29, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (((𝑖↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁) ∧ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁))))
35	23, 34	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)))
36	2	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36, 13	expcld 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
38	3	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38, 13	expcld 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
40		fltabcoprmex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	37, 39, 40	laddrotrd 43036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → ((𝐶↑𝑁) − (𝐴↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁))
43	35, 42	breqtrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
44		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∈ ℕ)
45	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℕ)
46	10	nncnd 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
47	36, 38, 46, 13, 40	flt0 43369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
48	47	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		dvdsexpnn 43094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
50	44, 45, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
51	43, 50	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
52	7, 51	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
53	52	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
54	53	imim1d 83	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
55	54	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1)))
56	6, 55	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
57		coprmgcdb 16702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
58	2, 10, 57	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
59	56, 58	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305   gcd cgcd 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548

This theorem is referenced by:  fltbccoprm  43373  flt4lem7  43391  nna4b4nsq  43392