Theorem elnnne0 12620

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12619	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4748	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  {csn 4584  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12674  nn0nndivcl  12678  fzo1fzo0n0  13850  elfznelfzo  13908  hashnn0n0nn  14535  swrdccatin1  14874  cshwsublen  14947  cshwidxmod  14954  cshwidx0  14957  repswcshw  14963  cshw1  14973  nn0onn  16550  chnind  18795  chnub  18796  chnccat  18800  chnrev  18801  hashfinmndnn  18941  odhash3  19790  prmgrpsimpgd  20330  0ringnnzr  20776  psdmul  22487  cply1mul  22614  fvmptnn04if  23167  chfacfisf  23172  chfacfisfcpmat  23173  plyn0mulidp  26602  plymulidp  26603  tayl0  26689  dvtaylp  26697  2sqmod  27763  flt0  27969  wlkonl1iedg  30244  dfpth2  30314  pthdlem2  30354  crctcsh  30413  clwwlkneq0  30620  hashecclwwlkn1  30668  umgrhashecclwwlk  30669  clwwlknon0  30684  frgrreg  30995  frgrregord013  30996  xnn0gt0  33361  subne0nn  33413  mplmulmvr  34171  esplyind  34207  signstfvn  35198  signstfveq0a  35205  poimirlem13  38551  poimirlem20  38558  aks6d1c4  43174  aks6d1c7lem1  43230  dvnmul  46952  dvnprodlem3  46957  wallispilem3  47076  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  etransclem28  47271  etransclem35  47278  etransclem38  47281  etransclem44  47287  chnsubseq  47889  2ffzoeq  48397  lswn0  48525  ztprmneprm  49458