Theorem elnnne0 12495

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12494	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2854	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4746	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 277	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  {csn 4582  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-nn 12211  df-n0 12482

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12549  nn0nndivcl  12553  fzo1fzo0n0  13721  elfznelfzo  13779  hashnn0n0nn  14404  swrdccatin1  14738  cshwsublen  14809  cshwidxmod  14816  cshwidx0  14819  repswcshw  14825  cshw1  14835  nn0onn  16414  chnind  18653  chnub  18654  chnccat  18658  chnrev  18659  hashfinmndnn  18785  odhash3  19616  prmgrpsimpgd  20156  0ringnnzr  20575  psdmul  22231  cply1mul  22359  fvmptnn04if  22909  chfacfisf  22914  chfacfisfcpmat  22915  plyn0mulidp  26345  plymulidp  26346  tayl0  26425  dvtaylp  26433  2sqmod  27500  wlkonl1iedg  29864  dfpth2  29929  pthdlem2  29968  crctcsh  30024  clwwlkneq0  30231  hashecclwwlkn1  30279  umgrhashecclwwlk  30280  clwwlknon0  30295  frgrreg  30596  frgrregord013  30597  xnn0gt0  32971  subne0nn  33024  mplmulmvr  33836  esplyind  33872  signstfvn  34863  signstfveq0a  34870  poimirlem13  38132  poimirlem20  38139  aks6d1c4  42741  aks6d1c7lem1  42797  flt0  43219  dvnmul  46517  dvnprodlem3  46522  wallispilem3  46641  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784  etransclem28  46836  etransclem35  46843  etransclem38  46846  etransclem44  46852  chnsubseq  47456  2ffzoeq  47922  lswn0  48050  ztprmneprm  48969