MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnne0 12428
Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elnnne0 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0
StepHypRef Expression
1 dfn2 12427 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
21eleq2i 2830 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3 eldifsn 4748 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
42, 3bitri 275 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2944  cdif 3908  {csn 4587  0cc0 11052  cn 12154  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12481  nn0nndivcl  12485  fzo1fzo0n0  13624  elfznelfzo  13678  hashnn0n0nn  14292  swrdccatin1  14614  cshwsublen  14685  cshwidxmod  14692  cshwidx0  14695  repswcshw  14701  cshw1  14711  nn0onn  16263  hashfinmndnn  18574  odhash3  19359  prmgrpsimpgd  19894  0ringnnzr  20742  cply1mul  21668  fvmptnn04if  22201  chfacfisf  22206  chfacfisfcpmat  22207  tayl0  25724  dvtaylp  25732  2sqmod  26787  wlkonl1iedg  28616  pthdlem2  28719  crctcsh  28772  clwwlkneq0  28976  hashecclwwlkn1  29024  umgrhashecclwwlk  29025  clwwlknon0  29040  frgrreg  29341  frgrregord013  29342  xnn0gt0  31677  subne0nn  31720  plymulx0  33162  plymulx  33163  signstfvn  33184  signstfveq0a  33191  poimirlem13  36094  poimirlem20  36101  flt0  40978  dvnmul  44191  dvnprodlem3  44196  wallispilem3  44315  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  etransclem28  44510  etransclem35  44517  etransclem38  44520  etransclem44  44526  2ffzoeq  45567  lswn0  45643  ztprmneprm  46430
  Copyright terms: Public domain W3C validator