Theorem elnnne0 12535

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12534	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4755	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  0cc0 11117  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-nn 12251  df-n0 12522

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12589  nn0nndivcl  12593  fzo1fzo0n0  13763  elfznelfzo  13821  hashnn0n0nn  14447  swrdccatin1  14786  cshwsublen  14859  cshwidxmod  14866  cshwidx0  14869  repswcshw  14875  cshw1  14885  nn0onn  16462  chnind  18701  chnub  18702  chnccat  18706  chnrev  18707  hashfinmndnn  18844  odhash3  19692  prmgrpsimpgd  20232  0ringnnzr  20675  psdmul  22381  cply1mul  22508  fvmptnn04if  23058  chfacfisf  23063  chfacfisfcpmat  23064  plyn0mulidp  26495  plymulidp  26496  tayl0  26578  dvtaylp  26586  2sqmod  27653  wlkonl1iedg  30073  dfpth2  30143  pthdlem2  30183  crctcsh  30242  clwwlkneq0  30449  hashecclwwlkn1  30497  umgrhashecclwwlk  30498  clwwlknon0  30513  frgrreg  30818  frgrregord013  30819  xnn0gt0  33186  subne0nn  33238  mplmulmvr  33995  esplyind  34031  signstfvn  35023  signstfveq0a  35030  poimirlem13  38343  poimirlem20  38350  aks6d1c4  42951  aks6d1c7lem1  43007  flt0  43429  dvnmul  46717  dvnprodlem3  46722  wallispilem3  46841  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  etransclem28  47036  etransclem35  47043  etransclem38  47046  etransclem44  47052  chnsubseq  47656  2ffzoeq  48125  lswn0  48253  ztprmneprm  49186