Theorem elnnne0 12660

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12659	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4750	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12714  nn0nndivcl  12718  fzo1fzo0n0  13890  elfznelfzo  13948  hashnn0n0nn  14576  swrdccatin1  14916  cshwsublen  14989  cshwidxmod  14996  cshwidx0  14999  repswcshw  15005  cshw1  15015  nn0onn  16594  chnind  18845  chnub  18846  chnccat  18850  chnrev  18851  hashfinmndnn  18991  odhash3  19841  prmgrpsimpgd  20381  0ringnnzr  20827  psdmul  22542  cply1mul  22669  fvmptnn04if  23222  chfacfisf  23227  chfacfisfcpmat  23228  plyn0mulidp  26657  plymulidp  26658  tayl0  26746  dvtaylp  26754  2sqmod  27820  flt0  28026  wlkonl1iedg  30301  dfpth2  30371  pthdlem2  30411  crctcsh  30470  clwwlkneq0  30677  hashecclwwlkn1  30725  umgrhashecclwwlk  30726  clwwlknon0  30741  frgrreg  31052  frgrregord013  31053  xnn0gt0  33457  subne0nn  33509  mplmulmvr  34282  esplyind  34318  signstfvn  35309  signstfveq0a  35316  poimirlem13  38819  poimirlem20  38826  aks6d1c4  43440  aks6d1c7lem1  43496  dvnmul  47226  dvnprodlem3  47231  wallispilem3  47350  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  etransclem28  47545  etransclem35  47552  etransclem38  47555  etransclem44  47561  chnsubseq  48163  2ffzoeq  48671  lswn0  48799  ztprmneprm  49790