Theorem elnnne0 12445

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12444	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4730	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-nn 12169  df-n0 12432

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12499  nn0nndivcl  12503  fzo1fzo0n0  13664  elfznelfzo  13722  hashnn0n0nn  14347  swrdccatin1  14681  cshwsublen  14752  cshwidxmod  14759  cshwidx0  14762  repswcshw  14768  cshw1  14778  nn0onn  16343  chnind  18581  chnub  18582  chnccat  18586  chnrev  18587  hashfinmndnn  18713  odhash3  19545  prmgrpsimpgd  20085  0ringnnzr  20496  psdmul  22145  cply1mul  22274  fvmptnn04if  22827  chfacfisf  22832  chfacfisfcpmat  22833  tayl0  26341  dvtaylp  26350  2sqmod  27416  wlkonl1iedg  29750  dfpth2  29815  pthdlem2  29854  crctcsh  29910  clwwlkneq0  30117  hashecclwwlkn1  30165  umgrhashecclwwlk  30166  clwwlknon0  30181  frgrreg  30482  frgrregord013  30483  xnn0gt0  32860  subne0nn  32913  mplmulmvr  33701  esplyind  33737  plymulx0  34710  plymulx  34711  signstfvn  34732  signstfveq0a  34739  poimirlem13  37971  poimirlem20  37978  aks6d1c4  42580  aks6d1c7lem1  42636  flt0  43087  dvnmul  46392  dvnprodlem3  46397  wallispilem3  46516  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  etransclem28  46711  etransclem35  46718  etransclem38  46721  etransclem44  46727  chnsubseq  47329  2ffzoeq  47791  lswn0  47919  ztprmneprm  48838