Theorem elnnne0 12520

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12519	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2827	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4767	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-nn 12246  df-n0 12507

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12574  nn0nndivcl  12578  fzo1fzo0n0  13736  elfznelfzo  13793  hashnn0n0nn  14414  swrdccatin1  14748  cshwsublen  14819  cshwidxmod  14826  cshwidx0  14829  repswcshw  14835  cshw1  14845  nn0onn  16404  hashfinmndnn  18734  odhash3  19562  prmgrpsimpgd  20102  0ringnnzr  20490  psdmul  22109  cply1mul  22239  fvmptnn04if  22792  chfacfisf  22797  chfacfisfcpmat  22798  tayl0  26326  dvtaylp  26335  2sqmod  27404  wlkonl1iedg  29650  dfpth2  29716  pthdlem2  29755  crctcsh  29811  clwwlkneq0  30015  hashecclwwlkn1  30063  umgrhashecclwwlk  30064  clwwlknon0  30079  frgrreg  30380  frgrregord013  30381  xnn0gt0  32751  subne0nn  32805  chnind  32996  chnub  32997  plymulx0  34584  plymulx  34585  signstfvn  34606  signstfveq0a  34613  poimirlem13  37662  poimirlem20  37669  aks6d1c4  42142  aks6d1c7lem1  42198  flt0  42635  dvnmul  45952  dvnprodlem3  45957  wallispilem3  46076  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  etransclem28  46271  etransclem35  46278  etransclem38  46281  etransclem44  46287  2ffzoeq  47336  lswn0  47438  ztprmneprm  48302