Theorem elnnne0 12456

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12455	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4750	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  {csn 4589  0cc0 11068  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12510  nn0nndivcl  12514  fzo1fzo0n0  13676  elfznelfzo  13733  hashnn0n0nn  14356  swrdccatin1  14690  cshwsublen  14761  cshwidxmod  14768  cshwidx0  14771  repswcshw  14777  cshw1  14787  nn0onn  16350  hashfinmndnn  18678  odhash3  19506  prmgrpsimpgd  20046  0ringnnzr  20434  psdmul  22053  cply1mul  22183  fvmptnn04if  22736  chfacfisf  22741  chfacfisfcpmat  22742  tayl0  26269  dvtaylp  26278  2sqmod  27347  wlkonl1iedg  29593  dfpth2  29659  pthdlem2  29698  crctcsh  29754  clwwlkneq0  29958  hashecclwwlkn1  30006  umgrhashecclwwlk  30007  clwwlknon0  30022  frgrreg  30323  frgrregord013  30324  xnn0gt0  32692  subne0nn  32746  chnind  32937  chnub  32938  plymulx0  34538  plymulx  34539  signstfvn  34560  signstfveq0a  34567  poimirlem13  37627  poimirlem20  37634  aks6d1c4  42112  aks6d1c7lem1  42168  flt0  42625  dvnmul  45941  dvnprodlem3  45946  wallispilem3  46065  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  etransclem28  46260  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem44  46276  2ffzoeq  47328  lswn0  47445  ztprmneprm  48335