Theorem elnnne0 12432

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12431	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4746	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  {csn 4585  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12486  nn0nndivcl  12490  fzo1fzo0n0  13652  elfznelfzo  13709  hashnn0n0nn  14332  swrdccatin1  14666  cshwsublen  14737  cshwidxmod  14744  cshwidx0  14747  repswcshw  14753  cshw1  14763  nn0onn  16326  hashfinmndnn  18654  odhash3  19482  prmgrpsimpgd  20022  0ringnnzr  20410  psdmul  22029  cply1mul  22159  fvmptnn04if  22712  chfacfisf  22717  chfacfisfcpmat  22718  tayl0  26245  dvtaylp  26254  2sqmod  27323  wlkonl1iedg  29567  dfpth2  29632  pthdlem2  29671  crctcsh  29727  clwwlkneq0  29931  hashecclwwlkn1  29979  umgrhashecclwwlk  29980  clwwlknon0  29995  frgrreg  30296  frgrregord013  30297  xnn0gt0  32665  subne0nn  32719  chnind  32910  chnub  32911  plymulx0  34511  plymulx  34512  signstfvn  34533  signstfveq0a  34540  poimirlem13  37600  poimirlem20  37607  aks6d1c4  42085  aks6d1c7lem1  42141  flt0  42598  dvnmul  45914  dvnprodlem3  45919  wallispilem3  46038  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  etransclem28  46233  etransclem35  46240  etransclem38  46243  etransclem44  46249  2ffzoeq  47301  lswn0  47418  ztprmneprm  48308