Theorem elnnne0 12451

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12450	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2828	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4731	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12505  nn0nndivcl  12509  fzo1fzo0n0  13670  elfznelfzo  13728  hashnn0n0nn  14353  swrdccatin1  14687  cshwsublen  14758  cshwidxmod  14765  cshwidx0  14768  repswcshw  14774  cshw1  14784  nn0onn  16349  chnind  18587  chnub  18588  chnccat  18592  chnrev  18593  hashfinmndnn  18719  odhash3  19551  prmgrpsimpgd  20091  0ringnnzr  20502  psdmul  22132  cply1mul  22261  fvmptnn04if  22814  chfacfisf  22819  chfacfisfcpmat  22820  tayl0  26327  dvtaylp  26335  2sqmod  27399  wlkonl1iedg  29732  dfpth2  29797  pthdlem2  29836  crctcsh  29892  clwwlkneq0  30099  hashecclwwlkn1  30147  umgrhashecclwwlk  30148  clwwlknon0  30163  frgrreg  30464  frgrregord013  30465  xnn0gt0  32842  subne0nn  32895  mplmulmvr  33683  esplyind  33719  plymulx0  34691  plymulx  34692  signstfvn  34713  signstfveq0a  34720  poimirlem13  37954  poimirlem20  37961  aks6d1c4  42563  aks6d1c7lem1  42619  flt0  43070  dvnmul  46371  dvnprodlem3  46376  wallispilem3  46495  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  etransclem28  46690  etransclem35  46697  etransclem38  46700  etransclem44  46706  chnsubseq  47310  2ffzoeq  47776  lswn0  47904  ztprmneprm  48823