Theorem elnnne0 12543

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12542	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4748	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  0cc0 11125  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-nn 12259  df-n0 12530

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12597  nn0nndivcl  12601  fzo1fzo0n0  13772  elfznelfzo  13830  hashnn0n0nn  14456  swrdccatin1  14795  cshwsublen  14868  cshwidxmod  14875  cshwidx0  14878  repswcshw  14884  cshw1  14894  nn0onn  16471  chnind  18710  chnub  18711  chnccat  18715  chnrev  18716  hashfinmndnn  18855  odhash3  19704  prmgrpsimpgd  20244  0ringnnzr  20687  psdmul  22395  cply1mul  22522  fvmptnn04if  23075  chfacfisf  23080  chfacfisfcpmat  23081  plyn0mulidp  26512  plymulidp  26513  tayl0  26599  dvtaylp  26607  2sqmod  27673  wlkonl1iedg  30124  dfpth2  30194  pthdlem2  30234  crctcsh  30293  clwwlkneq0  30500  hashecclwwlkn1  30548  umgrhashecclwwlk  30549  clwwlknon0  30564  frgrreg  30875  frgrregord013  30876  xnn0gt0  33241  subne0nn  33293  mplmulmvr  34050  esplyind  34086  signstfvn  35078  signstfveq0a  35085  poimirlem13  38383  poimirlem20  38390  aks6d1c4  42991  aks6d1c7lem1  43047  flt0  43484  dvnmul  46772  dvnprodlem3  46777  wallispilem3  46896  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  etransclem28  47091  etransclem35  47098  etransclem38  47101  etransclem44  47107  chnsubseq  47709  2ffzoeq  48217  lswn0  48345  ztprmneprm  49278