Theorem elnnne0 12513

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12512	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2855	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4753	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589  0cc0 11095  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-nn 12229  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12567  nn0nndivcl  12571  fzo1fzo0n0  13740  elfznelfzo  13798  hashnn0n0nn  14423  swrdccatin1  14758  cshwsublen  14829  cshwidxmod  14836  cshwidx0  14839  repswcshw  14845  cshw1  14855  nn0onn  16433  chnind  18672  chnub  18673  chnccat  18677  chnrev  18678  hashfinmndnn  18804  odhash3  19641  prmgrpsimpgd  20181  0ringnnzr  20623  psdmul  22329  cply1mul  22456  fvmptnn04if  23006  chfacfisf  23011  chfacfisfcpmat  23012  plyn0mulidp  26442  plymulidp  26443  tayl0  26525  dvtaylp  26533  2sqmod  27600  wlkonl1iedg  30013  dfpth2  30078  pthdlem2  30117  crctcsh  30173  clwwlkneq0  30380  hashecclwwlkn1  30428  umgrhashecclwwlk  30429  clwwlknon0  30444  frgrreg  30745  frgrregord013  30746  xnn0gt0  33114  subne0nn  33166  mplmulmvr  33929  esplyind  33965  signstfvn  34956  signstfveq0a  34963  poimirlem13  38304  poimirlem20  38311  aks6d1c4  42911  aks6d1c7lem1  42967  flt0  43389  dvnmul  46677  dvnprodlem3  46682  wallispilem3  46801  fourierdlem103  46943  fourierdlem104  46944  etransclem28  46996  etransclem35  47003  etransclem38  47006  etransclem44  47012  chnsubseq  47616  2ffzoeq  48085  lswn0  48213  ztprmneprm  49147