Theorem elnnne0 12567

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12566	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4811	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12620  nn0nndivcl  12624  fzo1fzo0n0  13767  elfznelfzo  13822  hashnn0n0nn  14440  swrdccatin1  14773  cshwsublen  14844  cshwidxmod  14851  cshwidx0  14854  repswcshw  14860  cshw1  14870  nn0onn  16428  hashfinmndnn  18789  odhash3  19618  prmgrpsimpgd  20158  0ringnnzr  20551  psdmul  22193  cply1mul  22321  fvmptnn04if  22876  chfacfisf  22881  chfacfisfcpmat  22882  tayl0  26421  dvtaylp  26430  2sqmod  27498  wlkonl1iedg  29701  pthdlem2  29804  crctcsh  29857  clwwlkneq0  30061  hashecclwwlkn1  30109  umgrhashecclwwlk  30110  clwwlknon0  30125  frgrreg  30426  frgrregord013  30427  xnn0gt0  32776  subne0nn  32825  chnind  32983  chnub  32984  plymulx0  34524  plymulx  34525  signstfvn  34546  signstfveq0a  34553  poimirlem13  37593  poimirlem20  37600  aks6d1c4  42081  aks6d1c7lem1  42137  flt0  42592  dvnmul  45864  dvnprodlem3  45869  wallispilem3  45988  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  etransclem28  46183  etransclem35  46190  etransclem38  46193  etransclem44  46199  2ffzoeq  47242  lswn0  47318  ztprmneprm  48072