Theorem elnnne0 12627

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12626	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12681  nn0nndivcl  12685  fzo1fzo0n0  13857  elfznelfzo  13915  hashnn0n0nn  14542  swrdccatin1  14882  cshwsublen  14955  cshwidxmod  14962  cshwidx0  14965  repswcshw  14971  cshw1  14981  nn0onn  16559  chnind  18804  chnub  18805  chnccat  18809  chnrev  18810  hashfinmndnn  18950  odhash3  19799  prmgrpsimpgd  20339  0ringnnzr  20785  psdmul  22496  cply1mul  22623  fvmptnn04if  23176  chfacfisf  23181  chfacfisfcpmat  23182  plyn0mulidp  26611  plymulidp  26612  tayl0  26698  dvtaylp  26706  2sqmod  27772  flt0  27978  wlkonl1iedg  30253  dfpth2  30323  pthdlem2  30363  crctcsh  30422  clwwlkneq0  30629  hashecclwwlkn1  30677  umgrhashecclwwlk  30678  clwwlknon0  30693  frgrreg  31004  frgrregord013  31005  xnn0gt0  33411  subne0nn  33463  mplmulmvr  34221  esplyind  34257  signstfvn  35248  signstfveq0a  35255  poimirlem13  38688  poimirlem20  38695  aks6d1c4  43311  aks6d1c7lem1  43367  dvnmul  47089  dvnprodlem3  47094  wallispilem3  47213  fourierdlem103  47355  fourierdlem104  47356  etransclem28  47408  etransclem35  47415  etransclem38  47418  etransclem44  47424  chnsubseq  48026  2ffzoeq  48534  lswn0  48662  ztprmneprm  49595