Theorem elnnne0 12517

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12516	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2861	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4758	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4594  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-nn 12233  df-n0 12504

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12571  nn0nndivcl  12575  fzo1fzo0n0  13743  elfznelfzo  13801  hashnn0n0nn  14426  swrdccatin1  14761  cshwsublen  14832  cshwidxmod  14839  cshwidx0  14842  repswcshw  14848  cshw1  14858  nn0onn  16437  chnind  18676  chnub  18677  chnccat  18681  chnrev  18682  hashfinmndnn  18808  odhash3  19645  prmgrpsimpgd  20185  0ringnnzr  20608  psdmul  22297  cply1mul  22424  fvmptnn04if  22974  chfacfisf  22979  chfacfisfcpmat  22980  plyn0mulidp  26410  plymulidp  26411  tayl0  26490  dvtaylp  26498  2sqmod  27565  wlkonl1iedg  29953  dfpth2  30018  pthdlem2  30057  crctcsh  30113  clwwlkneq0  30320  hashecclwwlkn1  30368  umgrhashecclwwlk  30369  clwwlknon0  30384  frgrreg  30685  frgrregord013  30686  xnn0gt0  33054  subne0nn  33106  mplmulmvr  33873  esplyind  33909  signstfvn  34900  signstfveq0a  34907  poimirlem13  38171  poimirlem20  38178  aks6d1c4  42780  aks6d1c7lem1  42836  flt0  43260  dvnmul  46548  dvnprodlem3  46553  wallispilem3  46672  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  etransclem28  46867  etransclem35  46874  etransclem38  46877  etransclem44  46883  chnsubseq  47487  2ffzoeq  47953  lswn0  48081  ztprmneprm  49011