Theorem elnnne0 12518

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12517	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2861	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4758	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4594  0cc0 11100  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-nn 12234  df-n0 12505

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12572  nn0nndivcl  12576  fzo1fzo0n0  13744  elfznelfzo  13802  hashnn0n0nn  14427  swrdccatin1  14762  cshwsublen  14833  cshwidxmod  14840  cshwidx0  14843  repswcshw  14849  cshw1  14859  nn0onn  16438  chnind  18677  chnub  18678  chnccat  18682  chnrev  18683  hashfinmndnn  18809  odhash3  19646  prmgrpsimpgd  20186  0ringnnzr  20609  psdmul  22298  cply1mul  22425  fvmptnn04if  22975  chfacfisf  22980  chfacfisfcpmat  22981  plyn0mulidp  26411  plymulidp  26412  tayl0  26491  dvtaylp  26499  2sqmod  27566  wlkonl1iedg  29954  dfpth2  30019  pthdlem2  30058  crctcsh  30114  clwwlkneq0  30321  hashecclwwlkn1  30369  umgrhashecclwwlk  30370  clwwlknon0  30385  frgrreg  30686  frgrregord013  30687  xnn0gt0  33055  subne0nn  33107  mplmulmvr  33874  esplyind  33910  signstfvn  34901  signstfveq0a  34908  poimirlem13  38172  poimirlem20  38179  aks6d1c4  42781  aks6d1c7lem1  42837  flt0  43261  dvnmul  46549  dvnprodlem3  46554  wallispilem3  46673  fourierdlem103  46815  fourierdlem104  46816  etransclem28  46868  etransclem35  46875  etransclem38  46878  etransclem44  46884  chnsubseq  47488  2ffzoeq  47954  lswn0  48082  ztprmneprm  49012