Theorem elnnne0 12540

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12539	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2833	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4786	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-nn 12267  df-n0 12527

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12594  nn0nndivcl  12598  fzo1fzo0n0  13754  elfznelfzo  13811  hashnn0n0nn  14430  swrdccatin1  14763  cshwsublen  14834  cshwidxmod  14841  cshwidx0  14844  repswcshw  14850  cshw1  14860  nn0onn  16417  hashfinmndnn  18764  odhash3  19594  prmgrpsimpgd  20134  0ringnnzr  20525  psdmul  22170  cply1mul  22300  fvmptnn04if  22855  chfacfisf  22860  chfacfisfcpmat  22861  tayl0  26403  dvtaylp  26412  2sqmod  27480  wlkonl1iedg  29683  dfpth2  29749  pthdlem2  29788  crctcsh  29844  clwwlkneq0  30048  hashecclwwlkn1  30096  umgrhashecclwwlk  30097  clwwlknon0  30112  frgrreg  30413  frgrregord013  30414  xnn0gt0  32773  subne0nn  32823  chnind  33001  chnub  33002  plymulx0  34562  plymulx  34563  signstfvn  34584  signstfveq0a  34591  poimirlem13  37640  poimirlem20  37647  aks6d1c4  42125  aks6d1c7lem1  42181  flt0  42647  dvnmul  45958  dvnprodlem3  45963  wallispilem3  46082  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  etransclem28  46277  etransclem35  46284  etransclem38  46287  etransclem44  46293  2ffzoeq  47339  lswn0  47431  ztprmneprm  48263