Theorem elnnne0 12247

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12246	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4720	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 274	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12300  nn0nndivcl  12304  fzo1fzo0n0  13438  elfznelfzo  13492  hashnn0n0nn  14106  swrdccatin1  14438  cshwsublen  14509  cshwidxmod  14516  cshwidx0  14519  repswcshw  14525  cshw1  14535  nn0onn  16089  hashfinmndnn  18402  odhash3  19181  prmgrpsimpgd  19717  0ringnnzr  20540  cply1mul  21465  fvmptnn04if  21998  chfacfisf  22003  chfacfisfcpmat  22004  tayl0  25521  dvtaylp  25529  2sqmod  26584  wlkonl1iedg  28033  pthdlem2  28136  crctcsh  28189  clwwlkneq0  28393  hashecclwwlkn1  28441  umgrhashecclwwlk  28442  clwwlknon0  28457  frgrreg  28758  frgrregord013  28759  xnn0gt0  31092  subne0nn  31135  plymulx0  32526  plymulx  32527  signstfvn  32548  signstfveq0a  32555  poimirlem13  35790  poimirlem20  35797  flt0  40474  dvnmul  43484  dvnprodlem3  43489  wallispilem3  43608  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  etransclem28  43803  etransclem35  43810  etransclem38  43813  etransclem44  43819  2ffzoeq  44820  lswn0  44896  ztprmneprm  45683