Theorem elnnne0 12486

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12485	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4791	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3946  {csn 4629  0cc0 11110  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12539  nn0nndivcl  12543  fzo1fzo0n0  13683  elfznelfzo  13737  hashnn0n0nn  14351  swrdccatin1  14675  cshwsublen  14746  cshwidxmod  14753  cshwidx0  14756  repswcshw  14762  cshw1  14772  nn0onn  16323  hashfinmndnn  18642  odhash3  19444  prmgrpsimpgd  19984  0ringnnzr  20302  cply1mul  21818  fvmptnn04if  22351  chfacfisf  22356  chfacfisfcpmat  22357  tayl0  25874  dvtaylp  25882  2sqmod  26939  wlkonl1iedg  28953  pthdlem2  29056  crctcsh  29109  clwwlkneq0  29313  hashecclwwlkn1  29361  umgrhashecclwwlk  29362  clwwlknon0  29377  frgrreg  29678  frgrregord013  29679  xnn0gt0  32013  subne0nn  32058  plymulx0  33589  plymulx  33590  signstfvn  33611  signstfveq0a  33618  poimirlem13  36549  poimirlem20  36556  flt0  41427  dvnmul  44707  dvnprodlem3  44712  wallispilem3  44831  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  etransclem28  45026  etransclem35  45033  etransclem38  45036  etransclem44  45042  2ffzoeq  46084  lswn0  46160  ztprmneprm  47071