Theorem elnnne0 12398

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12397	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4737	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900  {csn 4577  0cc0 11009  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12452  nn0nndivcl  12456  fzo1fzo0n0  13618  elfznelfzo  13675  hashnn0n0nn  14298  swrdccatin1  14631  cshwsublen  14702  cshwidxmod  14709  cshwidx0  14712  repswcshw  14718  cshw1  14728  nn0onn  16291  hashfinmndnn  18625  odhash3  19455  prmgrpsimpgd  19995  0ringnnzr  20410  psdmul  22051  cply1mul  22181  fvmptnn04if  22734  chfacfisf  22739  chfacfisfcpmat  22740  tayl0  26267  dvtaylp  26276  2sqmod  27345  wlkonl1iedg  29609  dfpth2  29674  pthdlem2  29713  crctcsh  29769  clwwlkneq0  29973  hashecclwwlkn1  30021  umgrhashecclwwlk  30022  clwwlknon0  30037  frgrreg  30338  frgrregord013  30339  xnn0gt0  32712  subne0nn  32766  chnind  32953  chnub  32954  plymulx0  34515  plymulx  34516  signstfvn  34537  signstfveq0a  34544  poimirlem13  37617  poimirlem20  37624  aks6d1c4  42101  aks6d1c7lem1  42157  flt0  42614  dvnmul  45928  dvnprodlem3  45933  wallispilem3  46052  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  etransclem28  46247  etransclem35  46254  etransclem38  46257  etransclem44  46263  2ffzoeq  47315  lswn0  47432  ztprmneprm  48335