Theorem elnnne0 12532

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12531	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2818	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4785	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 274	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3943  {csn 4623  0cc0 11149  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-nn 12259  df-n0 12519

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12585  nn0nndivcl  12589  fzo1fzo0n0  13731  elfznelfzo  13786  hashnn0n0nn  14403  swrdccatin1  14728  cshwsublen  14799  cshwidxmod  14806  cshwidx0  14809  repswcshw  14815  cshw1  14825  nn0onn  16377  hashfinmndnn  18739  odhash3  19570  prmgrpsimpgd  20110  0ringnnzr  20503  psdmul  22156  cply1mul  22284  fvmptnn04if  22839  chfacfisf  22844  chfacfisfcpmat  22845  tayl0  26386  dvtaylp  26395  2sqmod  27462  wlkonl1iedg  29599  pthdlem2  29702  crctcsh  29755  clwwlkneq0  29959  hashecclwwlkn1  30007  umgrhashecclwwlk  30008  clwwlknon0  30023  frgrreg  30324  frgrregord013  30325  xnn0gt0  32676  subne0nn  32725  chnind  32883  chnub  32884  plymulx0  34406  plymulx  34407  signstfvn  34428  signstfveq0a  34435  poimirlem13  37347  poimirlem20  37354  aks6d1c4  41836  aks6d1c7lem1  41892  flt0  42327  dvnmul  45600  dvnprodlem3  45605  wallispilem3  45724  fourierdlem103  45866  fourierdlem104  45867  etransclem28  45919  etransclem35  45926  etransclem38  45929  etransclem44  45935  2ffzoeq  46976  lswn0  47052  ztprmneprm  47762