MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnne0 11903
Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elnnne0 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0
StepHypRef Expression
1 dfn2 11902 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
21eleq2i 2884 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3 eldifsn 4683 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
42, 3bitri 278 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  {csn 4528  0cc0 10530  cn 11629  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-nn 11630  df-n0 11890
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  11954  nn0nndivcl  11958  fzo1fzo0n0  13087  elfznelfzo  13141  hashnn0n0nn  13752  swrdccatin1  14082  cshwsublen  14153  cshwidxmod  14160  cshwidx0  14163  repswcshw  14169  cshw1  14179  nn0onn  15724  hashfinmndnn  17923  odhash3  18696  prmgrpsimpgd  19232  0ringnnzr  20038  cply1mul  20926  fvmptnn04if  21457  chfacfisf  21462  chfacfisfcpmat  21463  tayl0  24960  dvtaylp  24968  2sqmod  26023  wlkonl1iedg  27458  pthdlem2  27560  crctcsh  27613  clwwlkneq0  27817  hashecclwwlkn1  27865  umgrhashecclwwlk  27866  clwwlknon0  27881  frgrreg  28182  frgrregord013  28183  xnn0gt0  30523  subne0nn  30566  plymulx0  31925  plymulx  31926  signstfvn  31947  signstfveq0a  31954  poimirlem13  35063  poimirlem20  35070  dvnmul  42572  dvnprodlem3  42577  wallispilem3  42696  fourierdlem103  42838  fourierdlem104  42839  etransclem28  42891  etransclem35  42898  etransclem38  42901  etransclem44  42907  2ffzoeq  43872  lswn0  43948  ztprmneprm  44736
  Copyright terms: Public domain W3C validator