Theorem elnnne0 12427

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12426	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  {csn 4582  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12481  nn0nndivcl  12485  fzo1fzo0n0  13643  elfznelfzo  13701  hashnn0n0nn  14326  swrdccatin1  14660  cshwsublen  14731  cshwidxmod  14738  cshwidx0  14741  repswcshw  14747  cshw1  14757  nn0onn  16319  chnind  18556  chnub  18557  chnccat  18561  chnrev  18562  hashfinmndnn  18688  odhash3  19517  prmgrpsimpgd  20057  0ringnnzr  20470  psdmul  22121  cply1mul  22252  fvmptnn04if  22805  chfacfisf  22810  chfacfisfcpmat  22811  tayl0  26337  dvtaylp  26346  2sqmod  27415  wlkonl1iedg  29749  dfpth2  29814  pthdlem2  29853  crctcsh  29909  clwwlkneq0  30116  hashecclwwlkn1  30164  umgrhashecclwwlk  30165  clwwlknon0  30180  frgrreg  30481  frgrregord013  30482  xnn0gt0  32860  subne0nn  32913  mplmulmvr  33716  esplyind  33752  plymulx0  34725  plymulx  34726  signstfvn  34747  signstfveq0a  34754  poimirlem13  37884  poimirlem20  37891  aks6d1c4  42494  aks6d1c7lem1  42550  flt0  42995  dvnmul  46301  dvnprodlem3  46306  wallispilem3  46425  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  etransclem28  46620  etransclem35  46627  etransclem38  46630  etransclem44  46636  chnsubseq  47238  2ffzoeq  47687  lswn0  47804  ztprmneprm  48707