Theorem elnnne0 12340

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12339	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2828	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4733	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 274	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3894  {csn 4572  0cc0 10964  ℕcn 12066  ℕ₀cn0 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-nn 12067  df-n0 12327

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12393  nn0nndivcl  12397  fzo1fzo0n0  13531  elfznelfzo  13585  hashnn0n0nn  14198  swrdccatin1  14528  cshwsublen  14599  cshwidxmod  14606  cshwidx0  14609  repswcshw  14615  cshw1  14625  nn0onn  16180  hashfinmndnn  18491  odhash3  19269  prmgrpsimpgd  19804  0ringnnzr  20638  cply1mul  21563  fvmptnn04if  22096  chfacfisf  22101  chfacfisfcpmat  22102  tayl0  25619  dvtaylp  25627  2sqmod  26682  wlkonl1iedg  28262  pthdlem2  28365  crctcsh  28418  clwwlkneq0  28622  hashecclwwlkn1  28670  umgrhashecclwwlk  28671  clwwlknon0  28686  frgrreg  28987  frgrregord013  28988  xnn0gt0  31320  subne0nn  31363  plymulx0  32767  plymulx  32768  signstfvn  32789  signstfveq0a  32796  poimirlem13  35888  poimirlem20  35895  flt0  40724  dvnmul  43809  dvnprodlem3  43814  wallispilem3  43933  fourierdlem103  44075  fourierdlem104  44076  etransclem28  44128  etransclem35  44135  etransclem38  44138  etransclem44  44144  2ffzoeq  45160  lswn0  45236  ztprmneprm  46023