Theorem elnnne0 12538

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12537	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2831	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4791	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12592  nn0nndivcl  12596  fzo1fzo0n0  13751  elfznelfzo  13808  hashnn0n0nn  14427  swrdccatin1  14760  cshwsublen  14831  cshwidxmod  14838  cshwidx0  14841  repswcshw  14847  cshw1  14857  nn0onn  16414  hashfinmndnn  18777  odhash3  19609  prmgrpsimpgd  20149  0ringnnzr  20542  psdmul  22188  cply1mul  22316  fvmptnn04if  22871  chfacfisf  22876  chfacfisfcpmat  22877  tayl0  26418  dvtaylp  26427  2sqmod  27495  wlkonl1iedg  29698  pthdlem2  29801  crctcsh  29854  clwwlkneq0  30058  hashecclwwlkn1  30106  umgrhashecclwwlk  30107  clwwlknon0  30122  frgrreg  30423  frgrregord013  30424  xnn0gt0  32780  subne0nn  32828  chnind  32985  chnub  32986  plymulx0  34541  plymulx  34542  signstfvn  34563  signstfveq0a  34570  poimirlem13  37620  poimirlem20  37627  aks6d1c4  42106  aks6d1c7lem1  42162  flt0  42624  dvnmul  45899  dvnprodlem3  45904  wallispilem3  46023  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  etransclem28  46218  etransclem35  46225  etransclem38  46228  etransclem44  46234  2ffzoeq  47277  lswn0  47369  ztprmneprm  48192