Theorem elnnne0 12453

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12452	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4732	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  0cc0 11040  ℕcn 12176  ℕ₀cn0 12439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7372  df-om 7820  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-nn 12177  df-n0 12440

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12507  nn0nndivcl  12511  fzo1fzo0n0  13672  elfznelfzo  13730  hashnn0n0nn  14355  swrdccatin1  14689  cshwsublen  14760  cshwidxmod  14767  cshwidx0  14770  repswcshw  14776  cshw1  14786  nn0onn  16351  chnind  18589  chnub  18590  chnccat  18594  chnrev  18595  hashfinmndnn  18721  odhash3  19553  prmgrpsimpgd  20093  0ringnnzr  20504  psdmul  22134  cply1mul  22263  fvmptnn04if  22816  chfacfisf  22821  chfacfisfcpmat  22822  tayl0  26329  dvtaylp  26337  2sqmod  27401  wlkonl1iedg  29734  dfpth2  29799  pthdlem2  29838  crctcsh  29894  clwwlkneq0  30101  hashecclwwlkn1  30149  umgrhashecclwwlk  30150  clwwlknon0  30165  frgrreg  30466  frgrregord013  30467  xnn0gt0  32844  subne0nn  32897  mplmulmvr  33685  esplyind  33721  plymulx0  34693  plymulx  34694  signstfvn  34715  signstfveq0a  34722  poimirlem13  37956  poimirlem20  37963  aks6d1c4  42565  aks6d1c7lem1  42621  flt0  43072  dvnmul  46373  dvnprodlem3  46378  wallispilem3  46497  fourierdlem103  46639  fourierdlem104  46640  etransclem28  46692  etransclem35  46699  etransclem38  46702  etransclem44  46708  chnsubseq  47312  2ffzoeq  47778  lswn0  47906  ztprmneprm  48825