Theorem elnnne0 12523

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12522	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4766	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606  0cc0 11137  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-nn 12249  df-n0 12510

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12577  nn0nndivcl  12581  fzo1fzo0n0  13736  elfznelfzo  13793  hashnn0n0nn  14413  swrdccatin1  14746  cshwsublen  14817  cshwidxmod  14824  cshwidx0  14827  repswcshw  14833  cshw1  14843  nn0onn  16400  hashfinmndnn  18734  odhash3  19563  prmgrpsimpgd  20103  0ringnnzr  20494  psdmul  22119  cply1mul  22249  fvmptnn04if  22804  chfacfisf  22809  chfacfisfcpmat  22810  tayl0  26340  dvtaylp  26349  2sqmod  27417  wlkonl1iedg  29612  dfpth2  29678  pthdlem2  29717  crctcsh  29773  clwwlkneq0  29977  hashecclwwlkn1  30025  umgrhashecclwwlk  30026  clwwlknon0  30041  frgrreg  30342  frgrregord013  30343  xnn0gt0  32715  subne0nn  32768  chnind  32945  chnub  32946  plymulx0  34537  plymulx  34538  signstfvn  34559  signstfveq0a  34566  poimirlem13  37615  poimirlem20  37622  aks6d1c4  42100  aks6d1c7lem1  42156  flt0  42626  dvnmul  45930  dvnprodlem3  45935  wallispilem3  46054  fourierdlem103  46196  fourierdlem104  46197  etransclem28  46249  etransclem35  46256  etransclem38  46259  etransclem44  46265  2ffzoeq  47312  lswn0  47404  ztprmneprm  48236