Theorem elnnne0 11726

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 11725	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4594	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∖ cdif 3828  {csn 4442  0cc0 10337  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-nn 11442  df-n0 11711

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  11777  nn0nndivcl  11781  fzo1fzo0n0  12906  elfznelfzo  12960  hashnn0n0nn  13568  ccat1st1st  13794  swrdccatin1  13927  cshwsublen  14023  cshwidxmod  14030  cshwidx0  14033  repswcshw  14039  cshw1  14049  nn0onn  15594  odhash3  18465  0ringnnzr  19766  cply1mul  20168  fvmptnn04if  21164  chfacfisf  21169  chfacfisfcpmat  21170  tayl0  24656  dvtaylp  24664  2sqmod  25717  wlkonl1iedg  27152  pthdlem2  27260  crctcsh  27313  clwwlkneq0  27547  hashecclwwlkn1  27604  umgrhashecclwwlk  27605  clwwlknon0  27624  frgrreg  27954  frgrregord013  27955  xnn0gt0  30249  plymulx0  31463  plymulx  31464  signstfvn  31485  signstfveq0a  31493  poimirlem13  34346  poimirlem20  34353  hashfinmndnn  40022  prmgrpsimpgd  40049  dvnmul  41659  dvnprodlem3  41664  wallispilem3  41784  fourierdlem103  41926  fourierdlem104  41927  etransclem28  41979  etransclem35  41986  etransclem38  41989  etransclem44  41995  2ffzoeq  42935  lswn0  42977  ztprmneprm  43760