Theorem elnnne0 12442

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12441	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2831	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4719	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 276	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  {csn 4555  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12496  nn0nndivcl  12500  fzo1fzo0n0  13661  elfznelfzo  13719  hashnn0n0nn  14344  swrdccatin1  14678  cshwsublen  14749  cshwidxmod  14756  cshwidx0  14759  repswcshw  14765  cshw1  14775  nn0onn  16340  chnind  18578  chnub  18579  chnccat  18583  chnrev  18584  hashfinmndnn  18710  odhash3  19542  prmgrpsimpgd  20082  0ringnnzr  20497  psdmul  22154  cply1mul  22282  fvmptnn04if  22832  chfacfisf  22837  chfacfisfcpmat  22838  tayl0  26345  dvtaylp  26353  2sqmod  27417  wlkonl1iedg  29750  dfpth2  29815  pthdlem2  29854  crctcsh  29910  clwwlkneq0  30117  hashecclwwlkn1  30165  umgrhashecclwwlk  30166  clwwlknon0  30181  frgrreg  30482  frgrregord013  30483  xnn0gt0  32861  subne0nn  32914  mplmulmvr  33723  esplyind  33759  plymulx0  34731  plymulx  34732  signstfvn  34753  signstfveq0a  34760  poimirlem13  38000  poimirlem20  38007  aks6d1c4  42609  aks6d1c7lem1  42665  flt0  43087  dvnmul  46386  dvnprodlem3  46391  wallispilem3  46510  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  etransclem28  46705  etransclem35  46712  etransclem38  46715  etransclem44  46721  chnsubseq  47325  2ffzoeq  47791  lswn0  47919  ztprmneprm  48838