Theorem elnnne0 12485

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12484	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4790	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 274	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945  {csn 4628  0cc0 11109  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-nn 12212  df-n0 12472

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12538  nn0nndivcl  12542  fzo1fzo0n0  13682  elfznelfzo  13736  hashnn0n0nn  14350  swrdccatin1  14674  cshwsublen  14745  cshwidxmod  14752  cshwidx0  14755  repswcshw  14761  cshw1  14771  nn0onn  16322  hashfinmndnn  18641  odhash3  19443  prmgrpsimpgd  19983  0ringnnzr  20301  cply1mul  21817  fvmptnn04if  22350  chfacfisf  22355  chfacfisfcpmat  22356  tayl0  25873  dvtaylp  25881  2sqmod  26936  wlkonl1iedg  28919  pthdlem2  29022  crctcsh  29075  clwwlkneq0  29279  hashecclwwlkn1  29327  umgrhashecclwwlk  29328  clwwlknon0  29343  frgrreg  29644  frgrregord013  29645  xnn0gt0  31977  subne0nn  32022  plymulx0  33553  plymulx  33554  signstfvn  33575  signstfveq0a  33582  poimirlem13  36496  poimirlem20  36503  flt0  41380  dvnmul  44649  dvnprodlem3  44654  wallispilem3  44773  fourierdlem103  44915  fourierdlem104  44916  etransclem28  44968  etransclem35  44975  etransclem38  44978  etransclem44  44984  2ffzoeq  46026  lswn0  46102  ztprmneprm  47013