Theorem elnnne0 12413

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 12412	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2	1	eleq2i 2826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3		eldifsn 4740	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
4	2, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4578  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  12467  nn0nndivcl  12471  fzo1fzo0n0  13629  elfznelfzo  13687  hashnn0n0nn  14312  swrdccatin1  14646  cshwsublen  14717  cshwidxmod  14724  cshwidx0  14727  repswcshw  14733  cshw1  14743  nn0onn  16305  chnind  18542  chnub  18543  chnccat  18547  chnrev  18548  hashfinmndnn  18674  odhash3  19503  prmgrpsimpgd  20043  0ringnnzr  20456  psdmul  22107  cply1mul  22238  fvmptnn04if  22791  chfacfisf  22796  chfacfisfcpmat  22797  tayl0  26323  dvtaylp  26332  2sqmod  27401  wlkonl1iedg  29686  dfpth2  29751  pthdlem2  29790  crctcsh  29846  clwwlkneq0  30053  hashecclwwlkn1  30101  umgrhashecclwwlk  30102  clwwlknon0  30117  frgrreg  30418  frgrregord013  30419  xnn0gt0  32798  subne0nn  32851  mplmulmvr  33653  esplyind  33680  plymulx0  34653  plymulx  34654  signstfvn  34675  signstfveq0a  34682  poimirlem13  37773  poimirlem20  37780  aks6d1c4  42317  aks6d1c7lem1  42373  flt0  42822  dvnmul  46129  dvnprodlem3  46134  wallispilem3  46253  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  etransclem28  46448  etransclem35  46455  etransclem38  46458  etransclem44  46464  chnsubseq  47066  2ffzoeq  47515  lswn0  47632  ztprmneprm  48535