Theorem exp0d 14063

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 13988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-neg 11367  df-z 12489  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14218  faclbnd4lem4  14219  faclbnd6  14222  hashmap  14358  absexp  15227  binom  15753  geoser  15790  pwdif  15791  cvgrat  15806  efexp  16026  pwp1fsum  16318  nn0rppwr  16488  nn0expgcd  16491  prmdvdsexpr  16644  rpexp1i  16650  phiprm  16704  odzdvds  16723  pclem  16766  pcpre1  16770  pcexp  16787  dvdsprmpweqnn  16813  prmpwdvds  16832  pgp0  19525  sylow2alem2  19547  ablfac1eu  20004  pgpfac1lem3a  20007  plyeq0lem  26171  plyco  26202  vieta1  26276  abelthlem9  26406  advlogexp  26620  cxpmul2  26654  nnlogbexp  26747  ftalem5  27043  0sgm  27110  1sgmprm  27166  dchrptlem2  27232  bposlem5  27255  lgsval2lem  27274  lgsmod  27290  lgsdilem2  27300  lgsne0  27302  chebbnd1lem1  27436  dchrisum0flblem1  27475  qabvexp  27593  ostth2lem2  27601  ostth3  27605  rusgrnumwwlk  30051  nexple  32925  cos9thpiminplylem3  33941  faclim  35940  faclim2  35942  knoppndvlem14  36725  lcmineqlem12  42294  aks4d1p8  42341  aks6d1c1p8  42369  aks6d1c4  42378  aks6d1c7lem1  42434  aks5lem8  42455  abvexp  42787  flt0  42880  fltnltalem  42905  mzpexpmpt  42987  pell14qrexpclnn0  43108  pellfund14  43140  rmxy0  43165  jm2.17a  43202  jm2.17b  43203  jm2.18  43230  jm2.23  43238  expdioph  43265  cnsrexpcl  43407  binomcxplemnotnn0  44597  dvnxpaek  46186  wallispilem2  46310  etransclem24  46502  etransclem25  46503  etransclem35  46513  lighneallem3  47853  lighneallem4  47856  altgsumbcALT  48599  expnegico01  48764  digexp  48853  dig1  48854