Theorem exp0d 14109

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-neg 11451  df-z 12563  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14259  faclbnd4lem4  14260  faclbnd6  14263  hashmap  14399  absexp  15255  binom  15780  geoser  15817  pwdif  15818  cvgrat  15833  efexp  16048  pwp1fsum  16338  prmdvdsexpr  16658  rpexp1i  16664  phiprm  16714  odzdvds  16732  pclem  16775  pcpre1  16779  pcexp  16796  dvdsprmpweqnn  16822  prmpwdvds  16841  pgp0  19505  sylow2alem2  19527  ablfac1eu  19984  pgpfac1lem3a  19987  plyeq0lem  25948  plyco  25979  vieta1  26049  abelthlem9  26176  advlogexp  26387  cxpmul2  26421  nnlogbexp  26510  ftalem5  26805  0sgm  26872  1sgmprm  26926  dchrptlem2  26992  bposlem5  27015  lgsval2lem  27034  lgsmod  27050  lgsdilem2  27060  lgsne0  27062  chebbnd1lem1  27196  dchrisum0flblem1  27235  qabvexp  27353  ostth2lem2  27361  ostth3  27365  rusgrnumwwlk  29484  nexple  33293  faclim  35008  faclim2  35010  knoppndvlem14  35704  lcmineqlem12  41211  aks4d1p8  41258  nn0rppwr  41526  nn0expgcd  41528  flt0  41681  fltnltalem  41706  mzpexpmpt  41785  pell14qrexpclnn0  41906  pellfund14  41938  rmxy0  41964  jm2.17a  42001  jm2.17b  42002  jm2.18  42029  jm2.23  42037  expdioph  42064  cnsrexpcl  42209  binomcxplemnotnn0  43417  dvnxpaek  44957  wallispilem2  45081  etransclem24  45273  etransclem25  45274  etransclem35  45284  lighneallem3  46574  lighneallem4  46577  altgsumbcALT  47118  expnegico01  47287  digexp  47381  dig1  47382