Theorem exp0d 14313

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-1cn 11288  ax-addrcl 11291  ax-rnegex 11301  ax-cnre 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-neg 11574  df-z 12724  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  faclbnd4lem3  14469  faclbnd4lem4  14470  faclbnd6  14473  hashmap  14610  absexp  15503  binom  16031  geoser  16068  pwdif  16069  cvgrat  16084  efexp  16301  pwp1fsum  16593  nn0rppwr  16767  nn0expgcd  16770  prmdvdsexpr  16925  rpexp1i  16931  phiprm  16986  odzdvds  17005  pclem  17048  pcpre1  17052  pcexp  17069  dvdsprmpweqnn  17095  prmpwdvds  17114  pgp0  19843  sylow2alem2  19865  ablfac1eu  20322  pgpfac1lem3a  20325  plyeq0lem  26562  plyco  26593  vieta1  26668  abelthlem9  26800  advlogexp  27016  cxpmul2  27050  nnlogbexp  27142  ftalem5  27437  0sgm  27504  1sgmprm  27559  dchrptlem2  27625  bposlem5  27648  lgsval2lem  27667  lgsmod  27683  lgsdilem2  27693  lgsne0  27695  chebbnd1lem1  27829  dchrisum0flblem1  27868  qabvexp  27986  ostth2lem2  27994  ostth3  27998  flt0  28002  rusgrnumwwlk  30600  nexple  33497  cos9thpiminplylem3  34499  faclim  36702  faclim2  36704  knoppndvlem14  37582  lcmineqlem12  43293  aks4d1p8  43340  aks6d1c1p8  43368  aks6d1c4  43377  aks6d1c7lem1  43433  aks5lem8  43454  abvexp  43800  fltnltalem  43877  mzpexpmpt  43960  pell14qrexpclnn0  44077  pellfund14  44109  rmxy0  44134  jm2.17a  44171  jm2.17b  44172  jm2.18  44199  jm2.23  44207  expdioph  44234  cnsrexpcl  44370  binomcxplemnotnn0  45543  dvnxpaek  47167  wallispilem2  47291  etransclem24  47483  etransclem25  47484  etransclem35  47494  lighneallem3  48907  lighneallem4  48910  altgsumbcALT  49680  expnegico01  49845  digexp  49934  dig1  49935