Theorem exp0d 14196

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-1cn 11176  ax-addrcl 11179  ax-rnegex 11189  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11462  df-z 12610  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  faclbnd4lem3  14351  faclbnd4lem4  14352  faclbnd6  14355  hashmap  14492  absexp  15381  binom  15910  geoser  15947  pwdif  15948  cvgrat  15963  efexp  16182  pwp1fsum  16474  nn0rppwr  16644  nn0expgcd  16647  prmdvdsexpr  16801  rpexp1i  16807  phiprm  16861  odzdvds  16880  pclem  16923  pcpre1  16927  pcexp  16944  dvdsprmpweqnn  16970  prmpwdvds  16989  pgp0  19697  sylow2alem2  19719  ablfac1eu  20176  pgpfac1lem3a  20179  plyeq0lem  26404  plyco  26435  vieta1  26510  abelthlem9  26640  advlogexp  26857  cxpmul2  26891  nnlogbexp  26983  ftalem5  27278  0sgm  27345  1sgmprm  27400  dchrptlem2  27466  bposlem5  27489  lgsval2lem  27508  lgsmod  27524  lgsdilem2  27534  lgsne0  27536  chebbnd1lem1  27670  dchrisum0flblem1  27709  qabvexp  27827  ostth2lem2  27835  ostth3  27839  rusgrnumwwlk  30364  nexple  33214  cos9thpiminplylem3  34205  faclim  36259  faclim2  36261  knoppndvlem14  37155  lcmineqlem12  42848  aks4d1p8  42895  aks6d1c1p8  42923  aks6d1c4  42932  aks6d1c7lem1  42988  aks5lem8  43009  abvexp  43341  flt0  43410  fltnltalem  43435  mzpexpmpt  43517  pell14qrexpclnn0  43634  pellfund14  43666  rmxy0  43691  jm2.17a  43728  jm2.17b  43729  jm2.18  43756  jm2.23  43764  expdioph  43791  cnsrexpcl  43933  binomcxplemnotnn0  45107  dvnxpaek  46697  wallispilem2  46821  etransclem24  47013  etransclem25  47014  etransclem35  47024  lighneallem3  48400  lighneallem4  48403  altgsumbcALT  49174  expnegico01  49339  digexp  49428  dig1  49429