Theorem exp0d 14112

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14037	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-neg 11415  df-z 12537  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14267  faclbnd4lem4  14268  faclbnd6  14271  hashmap  14407  absexp  15277  binom  15803  geoser  15840  pwdif  15841  cvgrat  15856  efexp  16076  pwp1fsum  16368  nn0rppwr  16538  nn0expgcd  16541  prmdvdsexpr  16694  rpexp1i  16700  phiprm  16754  odzdvds  16773  pclem  16816  pcpre1  16820  pcexp  16837  dvdsprmpweqnn  16863  prmpwdvds  16882  pgp0  19533  sylow2alem2  19555  ablfac1eu  20012  pgpfac1lem3a  20015  plyeq0lem  26122  plyco  26153  vieta1  26227  abelthlem9  26357  advlogexp  26571  cxpmul2  26605  nnlogbexp  26698  ftalem5  26994  0sgm  27061  1sgmprm  27117  dchrptlem2  27183  bposlem5  27206  lgsval2lem  27225  lgsmod  27241  lgsdilem2  27251  lgsne0  27253  chebbnd1lem1  27387  dchrisum0flblem1  27426  qabvexp  27544  ostth2lem2  27552  ostth3  27556  rusgrnumwwlk  29912  nexple  32776  cos9thpiminplylem3  33781  faclim  35740  faclim2  35742  knoppndvlem14  36520  lcmineqlem12  42035  aks4d1p8  42082  aks6d1c1p8  42110  aks6d1c4  42119  aks6d1c7lem1  42175  aks5lem8  42196  abvexp  42527  flt0  42632  fltnltalem  42657  mzpexpmpt  42740  pell14qrexpclnn0  42861  pellfund14  42893  rmxy0  42919  jm2.17a  42956  jm2.17b  42957  jm2.18  42984  jm2.23  42992  expdioph  43019  cnsrexpcl  43161  binomcxplemnotnn0  44352  dvnxpaek  45947  wallispilem2  46071  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem35  46274  lighneallem3  47612  lighneallem4  47615  altgsumbcALT  48345  expnegico01  48511  digexp  48600  dig1  48601