Theorem exp0d 13858

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 13786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-neg 11208  df-z 12320  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14009  faclbnd4lem4  14010  faclbnd6  14013  hashmap  14150  absexp  15016  binom  15542  geoser  15579  pwdif  15580  cvgrat  15595  efexp  15810  pwp1fsum  16100  prmdvdsexpr  16422  rpexp1i  16428  phiprm  16478  odzdvds  16496  pclem  16539  pcpre1  16543  pcexp  16560  dvdsprmpweqnn  16586  prmpwdvds  16605  pgp0  19201  sylow2alem2  19223  ablfac1eu  19676  pgpfac1lem3a  19679  plyeq0lem  25371  plyco  25402  vieta1  25472  abelthlem9  25599  advlogexp  25810  cxpmul2  25844  nnlogbexp  25931  ftalem5  26226  0sgm  26293  1sgmprm  26347  dchrptlem2  26413  bposlem5  26436  lgsval2lem  26455  lgsmod  26471  lgsdilem2  26481  lgsne0  26483  chebbnd1lem1  26617  dchrisum0flblem1  26656  qabvexp  26774  ostth2lem2  26782  ostth3  26786  rusgrnumwwlk  28340  nexple  31977  faclim  33712  faclim2  33714  knoppndvlem14  34705  lcmineqlem12  40048  aks4d1p8  40095  nn0rppwr  40333  nn0expgcd  40335  flt0  40474  fltnltalem  40499  mzpexpmpt  40567  pell14qrexpclnn0  40688  pellfund14  40720  rmxy0  40745  jm2.17a  40782  jm2.17b  40783  jm2.18  40810  jm2.23  40818  expdioph  40845  cnsrexpcl  40990  binomcxplemnotnn0  41974  dvnxpaek  43483  wallispilem2  43607  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem35  43810  lighneallem3  45059  lighneallem4  45062  altgsumbcALT  45689  expnegico01  45859  digexp  45953  dig1  45954