Theorem exp0d 14263

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-1cn 11239  ax-addrcl 11242  ax-rnegex 11252  ax-cnre 11254

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11525  df-z 12675  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  faclbnd4lem3  14419  faclbnd4lem4  14420  faclbnd6  14423  hashmap  14560  absexp  15451  binom  15979  geoser  16016  pwdif  16017  cvgrat  16032  efexp  16249  pwp1fsum  16541  nn0rppwr  16715  nn0expgcd  16718  prmdvdsexpr  16873  rpexp1i  16879  phiprm  16934  odzdvds  16953  pclem  16996  pcpre1  17000  pcexp  17017  dvdsprmpweqnn  17043  prmpwdvds  17062  pgp0  19790  sylow2alem2  19812  ablfac1eu  20269  pgpfac1lem3a  20272  plyeq0lem  26509  plyco  26540  vieta1  26617  abelthlem9  26749  advlogexp  26965  cxpmul2  26999  nnlogbexp  27091  ftalem5  27386  0sgm  27453  1sgmprm  27508  dchrptlem2  27574  bposlem5  27597  lgsval2lem  27616  lgsmod  27632  lgsdilem2  27642  lgsne0  27644  chebbnd1lem1  27778  dchrisum0flblem1  27817  qabvexp  27935  ostth2lem2  27943  ostth3  27947  flt0  27951  rusgrnumwwlk  30549  nexple  33406  cos9thpiminplylem3  34398  faclim  36480  faclim2  36482  knoppndvlem14  37361  lcmineqlem12  43058  aks4d1p8  43105  aks6d1c1p8  43133  aks6d1c4  43142  aks6d1c7lem1  43198  aks5lem8  43219  abvexp  43558  fltnltalem  43627  mzpexpmpt  43709  pell14qrexpclnn0  43826  pellfund14  43858  rmxy0  43883  jm2.17a  43920  jm2.17b  43921  jm2.18  43948  jm2.23  43956  expdioph  43983  cnsrexpcl  44125  binomcxplemnotnn0  45299  dvnxpaek  46896  wallispilem2  47020  etransclem24  47212  etransclem25  47213  etransclem35  47223  lighneallem3  48636  lighneallem4  48639  altgsumbcALT  49409  expnegico01  49574  digexp  49663  dig1  49664