Theorem exp0d 14180

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14106	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-neg 11495  df-z 12614  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14334  faclbnd4lem4  14335  faclbnd6  14338  hashmap  14474  absexp  15343  binom  15866  geoser  15903  pwdif  15904  cvgrat  15919  efexp  16137  pwp1fsum  16428  nn0rppwr  16598  nn0expgcd  16601  prmdvdsexpr  16754  rpexp1i  16760  phiprm  16814  odzdvds  16833  pclem  16876  pcpre1  16880  pcexp  16897  dvdsprmpweqnn  16923  prmpwdvds  16942  pgp0  19614  sylow2alem2  19636  ablfac1eu  20093  pgpfac1lem3a  20096  plyeq0lem  26249  plyco  26280  vieta1  26354  abelthlem9  26484  advlogexp  26697  cxpmul2  26731  nnlogbexp  26824  ftalem5  27120  0sgm  27187  1sgmprm  27243  dchrptlem2  27309  bposlem5  27332  lgsval2lem  27351  lgsmod  27367  lgsdilem2  27377  lgsne0  27379  chebbnd1lem1  27513  dchrisum0flblem1  27552  qabvexp  27670  ostth2lem2  27678  ostth3  27682  rusgrnumwwlk  29995  nexple  32833  faclim  35746  faclim2  35748  knoppndvlem14  36526  lcmineqlem12  42041  aks4d1p8  42088  aks6d1c1p8  42116  aks6d1c4  42125  aks6d1c7lem1  42181  aks5lem8  42202  abvexp  42542  flt0  42647  fltnltalem  42672  mzpexpmpt  42756  pell14qrexpclnn0  42877  pellfund14  42909  rmxy0  42935  jm2.17a  42972  jm2.17b  42973  jm2.18  43000  jm2.23  43008  expdioph  43035  cnsrexpcl  43177  binomcxplemnotnn0  44375  dvnxpaek  45957  wallispilem2  46081  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem35  46284  lighneallem3  47594  lighneallem4  47597  altgsumbcALT  48269  expnegico01  48435  digexp  48528  dig1  48529