Theorem exp0d 14109

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-neg 11451  df-z 12563  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14259  faclbnd4lem4  14260  faclbnd6  14263  hashmap  14399  absexp  15255  binom  15780  geoser  15817  pwdif  15818  cvgrat  15833  efexp  16048  pwp1fsum  16338  prmdvdsexpr  16658  rpexp1i  16664  phiprm  16714  odzdvds  16732  pclem  16775  pcpre1  16779  pcexp  16796  dvdsprmpweqnn  16822  prmpwdvds  16841  pgp0  19505  sylow2alem2  19527  ablfac1eu  19984  pgpfac1lem3a  19987  plyeq0lem  25959  plyco  25990  vieta1  26061  abelthlem9  26188  advlogexp  26399  cxpmul2  26433  nnlogbexp  26522  ftalem5  26817  0sgm  26884  1sgmprm  26938  dchrptlem2  27004  bposlem5  27027  lgsval2lem  27046  lgsmod  27062  lgsdilem2  27072  lgsne0  27074  chebbnd1lem1  27208  dchrisum0flblem1  27247  qabvexp  27365  ostth2lem2  27373  ostth3  27377  rusgrnumwwlk  29496  nexple  33305  faclim  35020  faclim2  35022  knoppndvlem14  35704  lcmineqlem12  41211  aks4d1p8  41258  nn0rppwr  41526  nn0expgcd  41528  flt0  41681  fltnltalem  41706  mzpexpmpt  41785  pell14qrexpclnn0  41906  pellfund14  41938  rmxy0  41964  jm2.17a  42001  jm2.17b  42002  jm2.18  42029  jm2.23  42037  expdioph  42064  cnsrexpcl  42209  binomcxplemnotnn0  43417  dvnxpaek  44956  wallispilem2  45080  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem35  45283  lighneallem3  46573  lighneallem4  46576  altgsumbcALT  47117  expnegico01  47286  digexp  47380  dig1  47381