Theorem exp0d 14178

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-1cn 11159  ax-addrcl 11162  ax-rnegex 11172  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-neg 11445  df-z 12593  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14333  faclbnd4lem4  14334  faclbnd6  14337  hashmap  14474  absexp  15357  binom  15886  geoser  15923  pwdif  15924  cvgrat  15939  efexp  16158  pwp1fsum  16450  nn0rppwr  16620  nn0expgcd  16623  prmdvdsexpr  16777  rpexp1i  16783  phiprm  16837  odzdvds  16856  pclem  16899  pcpre1  16903  pcexp  16920  dvdsprmpweqnn  16946  prmpwdvds  16965  pgp0  19667  sylow2alem2  19689  ablfac1eu  20146  pgpfac1lem3a  20149  plyeq0lem  26348  plyco  26379  vieta1  26454  abelthlem9  26584  advlogexp  26801  cxpmul2  26835  nnlogbexp  26927  ftalem5  27222  0sgm  27289  1sgmprm  27344  dchrptlem2  27410  bposlem5  27433  lgsval2lem  27452  lgsmod  27468  lgsdilem2  27478  lgsne0  27480  chebbnd1lem1  27614  dchrisum0flblem1  27653  qabvexp  27771  ostth2lem2  27779  ostth3  27783  rusgrnumwwlk  30308  nexple  33158  cos9thpiminplylem3  34155  faclim  36219  faclim2  36221  knoppndvlem14  37095  lcmineqlem12  42788  aks4d1p8  42835  aks6d1c1p8  42863  aks6d1c4  42872  aks6d1c7lem1  42928  aks5lem8  42949  abvexp  43283  flt0  43352  fltnltalem  43377  mzpexpmpt  43459  pell14qrexpclnn0  43576  pellfund14  43608  rmxy0  43633  jm2.17a  43670  jm2.17b  43671  jm2.18  43698  jm2.23  43706  expdioph  43733  cnsrexpcl  43875  binomcxplemnotnn0  45049  dvnxpaek  46639  wallispilem2  46763  etransclem24  46955  etransclem25  46956  etransclem35  46966  lighneallem3  48342  lighneallem4  48345  altgsumbcALT  49116  expnegico01  49281  digexp  49370  dig1  49371