Theorem exp0d 14065

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 13990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11368  df-z 12490  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14220  faclbnd4lem4  14221  faclbnd6  14224  hashmap  14360  absexp  15229  binom  15755  geoser  15792  pwdif  15793  cvgrat  15808  efexp  16028  pwp1fsum  16320  nn0rppwr  16490  nn0expgcd  16493  prmdvdsexpr  16646  rpexp1i  16652  phiprm  16706  odzdvds  16725  pclem  16768  pcpre1  16772  pcexp  16789  dvdsprmpweqnn  16815  prmpwdvds  16834  pgp0  19493  sylow2alem2  19515  ablfac1eu  19972  pgpfac1lem3a  19975  plyeq0lem  26131  plyco  26162  vieta1  26236  abelthlem9  26366  advlogexp  26580  cxpmul2  26614  nnlogbexp  26707  ftalem5  27003  0sgm  27070  1sgmprm  27126  dchrptlem2  27192  bposlem5  27215  lgsval2lem  27234  lgsmod  27250  lgsdilem2  27260  lgsne0  27262  chebbnd1lem1  27396  dchrisum0flblem1  27435  qabvexp  27553  ostth2lem2  27561  ostth3  27565  rusgrnumwwlk  29938  nexple  32802  cos9thpiminplylem3  33753  faclim  35721  faclim2  35723  knoppndvlem14  36501  lcmineqlem12  42016  aks4d1p8  42063  aks6d1c1p8  42091  aks6d1c4  42100  aks6d1c7lem1  42156  aks5lem8  42177  abvexp  42508  flt0  42613  fltnltalem  42638  mzpexpmpt  42721  pell14qrexpclnn0  42842  pellfund14  42874  rmxy0  42899  jm2.17a  42936  jm2.17b  42937  jm2.18  42964  jm2.23  42972  expdioph  42999  cnsrexpcl  43141  binomcxplemnotnn0  44332  dvnxpaek  45927  wallispilem2  46051  etransclem24  46243  etransclem25  46244  etransclem35  46254  lighneallem3  47595  lighneallem4  47598  altgsumbcALT  48341  expnegico01  48507  digexp  48596  dig1  48597