Theorem exp0d 14287

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-1cn 11262  ax-addrcl 11265  ax-rnegex 11275  ax-cnre 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-neg 11548  df-z 12698  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  faclbnd4lem3  14443  faclbnd4lem4  14444  faclbnd6  14447  hashmap  14584  absexp  15477  binom  16005  geoser  16042  pwdif  16043  cvgrat  16058  efexp  16275  pwp1fsum  16567  nn0rppwr  16741  nn0expgcd  16744  prmdvdsexpr  16899  rpexp1i  16905  phiprm  16960  odzdvds  16979  pclem  17022  pcpre1  17026  pcexp  17043  dvdsprmpweqnn  17069  prmpwdvds  17088  pgp0  19816  sylow2alem2  19838  ablfac1eu  20295  pgpfac1lem3a  20298  plyeq0lem  26535  plyco  26566  vieta1  26641  abelthlem9  26773  advlogexp  26989  cxpmul2  27023  nnlogbexp  27115  ftalem5  27410  0sgm  27477  1sgmprm  27532  dchrptlem2  27598  bposlem5  27621  lgsval2lem  27640  lgsmod  27656  lgsdilem2  27666  lgsne0  27668  chebbnd1lem1  27802  dchrisum0flblem1  27841  qabvexp  27959  ostth2lem2  27967  ostth3  27971  flt0  27975  rusgrnumwwlk  30573  nexple  33471  cos9thpiminplylem3  34463  faclim  36604  faclim2  36606  knoppndvlem14  37484  lcmineqlem12  43184  aks4d1p8  43231  aks6d1c1p8  43259  aks6d1c4  43268  aks6d1c7lem1  43324  aks5lem8  43345  abvexp  43690  fltnltalem  43767  mzpexpmpt  43850  pell14qrexpclnn0  43967  pellfund14  43999  rmxy0  44024  jm2.17a  44061  jm2.17b  44062  jm2.18  44089  jm2.23  44097  expdioph  44124  cnsrexpcl  44261  binomcxplemnotnn0  45434  dvnxpaek  47046  wallispilem2  47170  etransclem24  47362  etransclem25  47363  etransclem35  47373  lighneallem3  48786  lighneallem4  48789  altgsumbcALT  49559  expnegico01  49724  digexp  49813  dig1  49814