Theorem exp0d 14172

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14097	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-neg 11440  df-z 12588  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14327  faclbnd4lem4  14328  faclbnd6  14331  hashmap  14468  absexp  15351  binom  15880  geoser  15917  pwdif  15918  cvgrat  15933  efexp  16153  pwp1fsum  16445  nn0rppwr  16615  nn0expgcd  16618  prmdvdsexpr  16772  rpexp1i  16778  phiprm  16832  odzdvds  16851  pclem  16894  pcpre1  16898  pcexp  16915  dvdsprmpweqnn  16941  prmpwdvds  16960  pgp0  19662  sylow2alem2  19684  ablfac1eu  20141  pgpfac1lem3a  20144  plyeq0lem  26332  plyco  26363  vieta1  26438  abelthlem9  26565  advlogexp  26782  cxpmul2  26816  nnlogbexp  26908  ftalem5  27203  0sgm  27270  1sgmprm  27325  dchrptlem2  27391  bposlem5  27414  lgsval2lem  27433  lgsmod  27449  lgsdilem2  27459  lgsne0  27461  chebbnd1lem1  27595  dchrisum0flblem1  27634  qabvexp  27752  ostth2lem2  27760  ostth3  27764  rusgrnumwwlk  30264  nexple  33114  cos9thpiminplylem3  34115  faclim  36133  faclim2  36135  knoppndvlem14  36999  lcmineqlem12  42692  aks4d1p8  42739  aks6d1c1p8  42767  aks6d1c4  42776  aks6d1c7lem1  42832  aks5lem8  42853  abvexp  43187  flt0  43256  fltnltalem  43281  mzpexpmpt  43363  pell14qrexpclnn0  43480  pellfund14  43512  rmxy0  43537  jm2.17a  43574  jm2.17b  43575  jm2.18  43602  jm2.23  43610  expdioph  43637  cnsrexpcl  43779  binomcxplemnotnn0  44953  dvnxpaek  46543  wallispilem2  46667  etransclem24  46859  etransclem25  46860  etransclem35  46870  lighneallem3  48243  lighneallem4  48246  altgsumbcALT  49013  expnegico01  49178  digexp  49267  dig1  49268