Theorem exp0d 14102

Description: Value of a complex number raised to the zeroth power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 14027	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-neg 11380  df-z 12525  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  14257  faclbnd4lem4  14258  faclbnd6  14261  hashmap  14397  absexp  15266  binom  15795  geoser  15832  pwdif  15833  cvgrat  15848  efexp  16068  pwp1fsum  16360  nn0rppwr  16530  nn0expgcd  16533  prmdvdsexpr  16687  rpexp1i  16693  phiprm  16747  odzdvds  16766  pclem  16809  pcpre1  16813  pcexp  16830  dvdsprmpweqnn  16856  prmpwdvds  16875  pgp0  19571  sylow2alem2  19593  ablfac1eu  20050  pgpfac1lem3a  20053  plyeq0lem  26175  plyco  26206  vieta1  26278  abelthlem9  26405  advlogexp  26619  cxpmul2  26653  nnlogbexp  26745  ftalem5  27040  0sgm  27107  1sgmprm  27162  dchrptlem2  27228  bposlem5  27251  lgsval2lem  27270  lgsmod  27286  lgsdilem2  27296  lgsne0  27298  chebbnd1lem1  27432  dchrisum0flblem1  27471  qabvexp  27589  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  rusgrnumwwlk  30046  nexple  32917  cos9thpiminplylem3  33928  faclim  35928  faclim2  35930  knoppndvlem14  36785  lcmineqlem12  42479  aks4d1p8  42526  aks6d1c1p8  42554  aks6d1c4  42563  aks6d1c7lem1  42619  aks5lem8  42640  abvexp  42977  flt0  43070  fltnltalem  43095  mzpexpmpt  43177  pell14qrexpclnn0  43294  pellfund14  43326  rmxy0  43351  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.18  43416  jm2.23  43424  expdioph  43451  cnsrexpcl  43593  binomcxplemnotnn0  44783  dvnxpaek  46370  wallispilem2  46494  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem35  46697  lighneallem3  48070  lighneallem4  48073  altgsumbcALT  48829  expnegico01  48994  digexp  49083  dig1  49084