Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege81 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege81 38738
Description: If 𝑋 has a property 𝐴 that is hereditary in the 𝑅 -sequence, and if 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 has property 𝐴. This is a form of induction attributed to Jakob Bernoulli. Proposition 81 of [Frege1879] p. 63. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege81.x 𝑋𝑈
frege81.y 𝑌𝑉
frege81.r 𝑅𝑊
frege81.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege81 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴)))

Proof of Theorem frege81
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege81.x . . . 4 𝑋𝑈
2 vex 3394 . . . 4 𝑎 ∈ V
31, 2frege74 38731 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴)))
43alrimdv 2020 . 2 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴)))
5 frege81.y . . 3 𝑌𝑉
6 frege81.r . . 3 𝑅𝑊
7 frege81.a . . 3 𝐴𝐵
81, 5, 6, 7frege80 38737 . 2 ((𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))) → (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴))))
94, 8ax-mp 5 1 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1635  wcel 2156  Vcvv 3391   class class class wbr 4844  cfv 6101  t+ctcl 13949   hereditary whe 38566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-frege1 38584  ax-frege2 38585  ax-frege8 38603  ax-frege52a 38651  ax-frege58b 38695
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-ifp 1079  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-seq 13025  df-trcl 13951  df-relexp 13984  df-he 38567
This theorem is referenced by:  frege82  38739  frege84  38741
  Copyright terms: Public domain W3C validator