Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege81 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege81 40576
 Description: If 𝑋 has a property 𝐴 that is hereditary in the 𝑅 -sequence, and if 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 has property 𝐴. This is a form of induction attributed to Jakob Bernoulli. Proposition 81 of [Frege1879] p. 63. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege81.x 𝑋𝑈
frege81.y 𝑌𝑉
frege81.r 𝑅𝑊
frege81.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege81 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴)))

Proof of Theorem frege81
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege81.x . . . 4 𝑋𝑈
2 vex 3472 . . . 4 𝑎 ∈ V
31, 2frege74 40569 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴)))
43alrimdv 1930 . 2 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴)))
5 frege81.y . . 3 𝑌𝑉
6 frege81.r . . 3 𝑅𝑊
7 frege81.a . . 3 𝐴𝐵
81, 5, 6, 7frege80 40575 . 2 ((𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))) → (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴))))
94, 8ax-mp 5 1 (𝑋𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1536   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  t+ctcl 14336   hereditary whe 40404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-frege1 40422  ax-frege2 40423  ax-frege8 40441  ax-frege52a 40489  ax-frege58b 40533 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-trcl 14338  df-relexp 14371  df-he 40405 This theorem is referenced by:  frege82  40577  frege84  40579
 Copyright terms: Public domain W3C validator