Theorem frege81 41512

Description: If 𝑋 has a property 𝐴 that is hereditary in the 𝑅 -sequence, and if 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 has property 𝐴. This is a form of induction attributed to Jakob Bernoulli. Proposition 81 of [Frege1879] p. 63. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege81.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege81.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege81.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
frege81.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
frege81	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem frege81

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege81.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3435	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
3	1, 2	frege74 41505	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴)))
4	3	alrimdv 1932	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴)))
5		frege81.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
6		frege81.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
7		frege81.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
8	1, 5, 6, 7	frege80 41511	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴))))
9	4, 8	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3431   class class class wbr 5075  ‘cfv 6428  t+ctcl 14685   hereditary whe 41340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-frege1 41358  ax-frege2 41359  ax-frege8 41377  ax-frege52a 41425  ax-frege58b 41469

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-seq 13711  df-trcl 14687  df-relexp 14720  df-he 41341

This theorem is referenced by:  frege82  41513  frege84  41515