Theorem frege81 44747

Description: If 𝑋 has a property 𝐴 that is hereditary in the 𝑅 -sequence, and if 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 has property 𝐴. This is a form of induction attributed to Jakob Bernoulli. Proposition 81 of [Frege1879] p. 63. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege81.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege81.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege81.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
frege81.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
frege81	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem frege81

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege81.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3461	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
3	1, 2	frege74 44740	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴)))
4	3	alrimdv 1962	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴)))
5		frege81.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
6		frege81.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
7		frege81.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
8	1, 5, 6, 7	frege80 44746	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))) → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴))))
9	4, 8	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1568   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  t+ctcl 15050   hereditary whe 44575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-frege1 44593  ax-frege2 44594  ax-frege8 44612  ax-frege52a 44660  ax-frege58b 44704

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-seq 14060  df-trcl 15052  df-relexp 15085  df-he 44576

This theorem is used by:  frege82  44748  frege84  44750