Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege94 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege94 39090
 Description: Looking one past a pair related by transitive closure of a relation. Proposition 94 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege94.x 𝑋𝑈
frege94.z 𝑍𝑉
frege94.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege94 ((𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → ∀𝑓(∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑍𝑓)))) → (𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑤   𝑓,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)   𝑌(𝑤,𝑓)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem frege94
StepHypRef Expression
1 frege94.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege94.z . . 3 𝑍𝑉
3 frege94.r . . 3 𝑅𝑊
41, 2, 3frege93 39089 . 2 (∀𝑓(∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑍𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
5 frege7 38941 . 2 ((∀𝑓(∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑍𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍) → ((𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → ∀𝑓(∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑍𝑓)))) → (𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑍))))
64, 5ax-mp 5 1 ((𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → ∀𝑓(∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑍𝑓)))) → (𝑌𝑅𝑍 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1654   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  t+ctcl 14110   hereditary whe 38905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-frege1 38923  ax-frege2 38924  ax-frege8 38942  ax-frege52a 38990  ax-frege58b 39034 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-trcl 14112  df-relexp 14145  df-he 38906 This theorem is referenced by:  frege95  39091
 Copyright terms: Public domain W3C validator