Theorem frege93 39028

Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege93	⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3388	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	frege60c 38995	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓)))
3		sbcid 3650	. . . 4 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
4		sbcid 3650	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓))
5		sbcid 3650	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
6	4, 5	imbi12i 342	. . . 4 ⊢ (([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
7	2, 3, 6	3imtr3g 287	. . 3 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
8	7	axc4i 2344	. 2 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
9		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
10		frege91.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
11		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
12	9, 10, 11	frege90 39025	. 2 ⊢ ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
13	8, 12	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1651   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  [wsbc 3633   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  t+ctcl 14067   hereditary whe 38844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-frege1 38862  ax-frege2 38863  ax-frege8 38881  ax-frege52a 38929  ax-frege58b 38973

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-seq 13056  df-trcl 14069  df-relexp 14102  df-he 38845

This theorem is referenced by:  frege94  39029