Theorem frege93 41564

Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege93	⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	frege60c 41531	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓)))
3		sbcid 3733	. . . 4 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
4		sbcid 3733	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓))
5		sbcid 3733	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
6	4, 5	imbi12i 351	. . . 4 ⊢ (([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
7	2, 3, 6	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
8	7	axc4i 2316	. 2 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
9		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
10		frege91.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
11		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
12	9, 10, 11	frege90 41561	. 2 ⊢ ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
13	8, 12	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  [wsbc 3716   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  t+ctcl 14696   hereditary whe 41380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-frege1 41398  ax-frege2 41399  ax-frege8 41417  ax-frege52a 41465  ax-frege58b 41509

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-trcl 14698  df-relexp 14731  df-he 41381

This theorem is referenced by:  frege94  41565