Theorem frege93 43264

Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege93	⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3472	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	frege60c 43231	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓)))
3		sbcid 3789	. . . 4 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
4		sbcid 3789	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓))
5		sbcid 3789	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
6	4, 5	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ (([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
7	2, 3, 6	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
8	7	axc4i 2309	. 2 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
9		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
10		frege91.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
11		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
12	9, 10, 11	frege90 43261	. 2 ⊢ ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
13	8, 12	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1531   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  [wsbc 3772   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  t+ctcl 14936   hereditary whe 43080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-frege1 43098  ax-frege2 43099  ax-frege8 43117  ax-frege52a 43165  ax-frege58b 43209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-trcl 14938  df-relexp 14971  df-he 43081

This theorem is referenced by:  frege94  43265