Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege93 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege93 39028
Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege93 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93
StepHypRef Expression
1 vex 3388 . . . . 5 𝑓 ∈ V
21frege60c 38995 . . . 4 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓)))
3 sbcid 3650 . . . 4 ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
4 sbcid 3650 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓))
5 sbcid 3650 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝑓)
64, 5imbi12i 342 . . . 4 (([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))
72, 3, 63imtr3g 287 . . 3 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
87axc4i 2344 . 2 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
9 frege91.x . . 3 𝑋𝑈
10 frege91.y . . 3 𝑌𝑉
11 frege91.r . . 3 𝑅𝑊
129, 10, 11frege90 39025 . 2 ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
138, 12ax-mp 5 1 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1651  wcel 2157  Vcvv 3385  [wsbc 3633   class class class wbr 4843  cfv 6101  t+ctcl 14067   hereditary whe 38844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-frege1 38862  ax-frege2 38863  ax-frege8 38881  ax-frege52a 38929  ax-frege58b 38973
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-seq 13056  df-trcl 14069  df-relexp 14102  df-he 38845
This theorem is referenced by:  frege94  39029
  Copyright terms: Public domain W3C validator