Theorem frege93 44569

Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege93	⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	frege60c 44536	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓)))
3		sbcid 3770	. . . 4 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
4		sbcid 3770	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓))
5		sbcid 3770	. . . . 5 ⊢ ([𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
6	4, 5	imbi12i 353	. . . 4 ⊢ (([𝑓 / 𝑓]∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
7	2, 3, 6	3imtr3g 298	. . 3 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
8	7	axc4i 2361	. 2 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
9		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
10		frege91.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
11		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
12	9, 10, 11	frege90 44566	. 2 ⊢ ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
13	8, 12	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓 → 𝑌 ∈ 𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1565   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  [wsbc 3753   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  t+ctcl 15018   hereditary whe 44385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-frege1 44403  ax-frege2 44404  ax-frege8 44422  ax-frege52a 44470  ax-frege58b 44514

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-trcl 15020  df-relexp 15053  df-he 44386

This theorem is referenced by:  frege94  44570