Theorem om2uzf1oi 13991

Description: 𝐺 (see om2uz0i 13985) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1oi	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8474	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
6	5, 2	om2uzrani 13990	. . . . 5 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)
7	6	eqimssi 4056	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)
8		df-f 6567	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 7, 8	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶)
10	5, 2	om2uzuzi 13987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
11		eluzelz 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
13	12	zred 12720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
14	5, 2	om2uzuzi 13987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
15		eluzelz 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
17	16	zred 12720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
18		lttri3 11342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
19	13, 17, 18	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
20		ioran 985	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
27	5, 2	om2uzlti 13988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
28	5, 2	om2uzlti 13988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
29	28	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
30	27, 29	orim12d 966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
31	26, 30	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
32	31	con1d 145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
33	21, 32	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	rgen2 3197	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35		dff13 7275	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	9, 34, 35	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶)
37		dff1o5 6858	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
38	36, 6, 37	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   ↾ cres 5691  Ord word 6385   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13992  uzrdglem  13995  uzrdgfni  13996  uzrdgsuci  13998  uzenom  14002  fzennn  14006  cardfz  14008  hashgf1o  14009  axdc4uzlem  14021  unbenlem  16942