MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzf1oi 13858
Description: 𝐺 (see om2uz0i 13852) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8381 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 om2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6599 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 230 . . . 4 𝐺 Fn ω
5 om2uz.1 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
65, 2om2uzrani 13857 . . . . 5 ran 𝐺 = (ℤ𝐶)
76eqimssi 4002 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)
8 df-f 6500 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
94, 7, 8mpbir2an 709 . . 3 𝐺:ω⟶(ℤ𝐶)
105, 2om2uzuzi 13854 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
11 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1312zred 12607 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
145, 2om2uzuzi 13854 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
15 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1716zred 12607 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
18 lttri3 11238 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
1913, 17, 18syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
20 ioran 982 . . . . . 6 (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2119, 20bitr4di 288 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
22 nnord 7810 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23 nnord 7810 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24 ordtri3 6353 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2522, 23, 24syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625con2bid 354 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
275, 2om2uzlti 13855 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
285, 2om2uzlti 13855 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2928ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3027, 29orim12d 963 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3126, 30sylbird 259 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3231con1d 145 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
3321, 32sylbid 239 . . . 4 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433rgen2 3194 . . 3 𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35 dff13 7202 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
369, 34, 35mpbir2an 709 . 2 𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶)
37 dff1o5 6793 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
3836, 6, 37mpbir2an 709 1 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  Ord word 6316   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  reccrdg 8355  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cz 12499  cuz 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13859  uzrdglem  13862  uzrdgfni  13863  uzrdgsuci  13865  uzenom  13869  fzennn  13873  cardfz  13875  hashgf1o  13876  axdc4uzlem  13888  unbenlem  16780
  Copyright terms: Public domain W3C validator