Theorem om2uzf1oi 14004

Description: 𝐺 (see om2uz0i 13998) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1oi	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8491	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6676	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
6	5, 2	om2uzrani 14003	. . . . 5 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)
7	6	eqimssi 4069	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)
8		df-f 6577	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 7, 8	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶)
10	5, 2	om2uzuzi 14000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
11		eluzelz 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
13	12	zred 12747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
14	5, 2	om2uzuzi 14000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
15		eluzelz 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
17	16	zred 12747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
18		lttri3 11373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
19	13, 17, 18	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
20		ioran 984	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
27	5, 2	om2uzlti 14001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
28	5, 2	om2uzlti 14001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
29	28	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
30	27, 29	orim12d 965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
31	26, 30	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
32	31	con1d 145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
33	21, 32	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	rgen2 3205	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35		dff13 7292	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	9, 34, 35	mpbir2an 710	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶)
37		dff1o5 6871	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
38	36, 6, 37	mpbir2an 710	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702  Ord word 6394   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  14005  uzrdglem  14008  uzrdgfni  14009  uzrdgsuci  14011  uzenom  14015  fzennn  14019  cardfz  14021  hashgf1o  14022  axdc4uzlem  14034  unbenlem  16955