Theorem om2uzf1oi 13864

Description: 𝐺 (see om2uz0i 13858) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1oi	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8362	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6585	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
6	5, 2	om2uzrani 13863	. . . . 5 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)
7	6	eqimssi 3991	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)
8		df-f 6492	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 7, 8	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶)
10	5, 2	om2uzuzi 13860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
11		eluzelz 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
13	12	zred 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
14	5, 2	om2uzuzi 13860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
15		eluzelz 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
17	16	zred 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
18		lttri3 11205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
19	13, 17, 18	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
20		ioran 985	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
27	5, 2	om2uzlti 13861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
28	5, 2	om2uzlti 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
29	28	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
30	27, 29	orim12d 966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
31	26, 30	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
32	31	con1d 145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
33	21, 32	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	rgen2 3173	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35		dff13 7196	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	9, 34, 35	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶)
37		dff1o5 6779	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
38	36, 6, 37	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622   ↾ cres 5623  Ord word 6312   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ωcom 7804  reccrdg 8336  ℝcr 11014  1c1 11016   + caddc 11018   < clt 11155  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13865  uzrdglem  13868  uzrdgfni  13869  uzrdgsuci  13871  uzenom  13875  fzennn  13879  cardfz  13881  hashgf1o  13882  axdc4uzlem  13894  unbenlem  16824