Theorem om2uzf1oi 13948

Description: 𝐺 (see om2uz0i 13942) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1oi	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8452	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6644	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
6	5, 2	om2uzrani 13947	. . . . 5 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)
7	6	eqimssi 4032	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)
8		df-f 6545	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 7, 8	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶)
10	5, 2	om2uzuzi 13944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
11		eluzelz 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
13	12	zred 12694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
14	5, 2	om2uzuzi 13944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
15		eluzelz 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
17	16	zred 12694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
18		lttri3 11325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
19	13, 17, 18	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
20		ioran 981	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
21	19, 20	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	con2bid 353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
27	5, 2	om2uzlti 13945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
28	5, 2	om2uzlti 13945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
29	28	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
30	27, 29	orim12d 962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
31	26, 30	sylbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
32	31	con1d 145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
33	21, 32	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	rgen2 3188	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35		dff13 7259	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	9, 34, 35	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶)
37		dff1o5 6841	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
38	36, 6, 37	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5671   ↾ cres 5672  Ord word 6361   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ωcom 7866  reccrdg 8426  ℝcr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  13949  uzrdglem  13952  uzrdgfni  13953  uzrdgsuci  13955  uzenom  13959  fzennn  13963  cardfz  13965  hashgf1o  13966  axdc4uzlem  13978  unbenlem  16874