Theorem om2uzf1oi 14100

Description: 𝐺 (see om2uz0i 14094) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1oi	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8447	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6637	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
6	5, 2	om2uzrani 14099	. . . . 5 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)
7	6	eqimssi 3968	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)
8		df-f 6543	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 7, 8	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶)
10	5, 2	om2uzuzi 14096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
11		eluzelz 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
13	12	zred 12807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
14	5, 2	om2uzuzi 14096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
15		eluzelz 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
17	16	zred 12807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
18		lttri3 11397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
19	13, 17, 18	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
20		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) ↔ (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∧ ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
21	19, 20	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) ↔ ¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
22		nnord 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23		nnord 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24		ordtri3 6399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	con2bid 357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
27	5, 2	om2uzlti 14097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
28	5, 2	om2uzlti 14097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
29	28	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
30	27, 29	orim12d 979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
31	26, 30	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))))
32	31	con1d 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) ∨ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
33	21, 32	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35		dff13 7259	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	9, 34, 35	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶)
37		dff1o5 6835	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
38	36, 6, 37	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   ↾ cres 5652  Ord word 6361   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –1-1→wf1 6536  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ωcom 7878  reccrdg 8421  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207   < clt 11347  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970

This theorem is used by:  om2uzisoi  14101  uzrdglem  14104  uzrdgfni  14105  uzrdgsuci  14107  uzenom  14111  fzennn  14115  cardfz  14117  hashgf1o  14118  axdc4uzlem  14130  unbenlem  17092  omexcn  43795