Theorem clmvslinv 24856

Description: Minus a vector plus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsrinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvslinv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem clmvslinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	clmvneg1 24847	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) = ((invg‘𝑊)‘𝐴))
6	5	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = (((invg‘𝑊)‘𝐴) + 𝐴))
7		clmgrp 24816	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
8		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		clmvsrinv.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	1, 8, 9, 2	grplinv 18911	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑊)‘𝐴) + 𝐴) = 0 )
11	7, 10	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑊)‘𝐴) + 𝐴) = 0 )
12	6, 11	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  1c1 11114  -cneg 11450  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  ℂModcclm 24810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-cnfld 21146  df-clm 24811

This theorem is referenced by: (None)