MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvslinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvslinv 23639
Description: Minus a vector plus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
clmvsrinv.0 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvslinv ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem clmvslinv
StepHypRef Expression
1 clmpm1dir.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
3 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 clmpm1dir.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
51, 2, 3, 4clmvneg1 23630 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (-1 · 𝐴) = ((invg𝑊)‘𝐴))
65oveq1d 7160 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = (((invg𝑊)‘𝐴) + 𝐴))
7 clmgrp 23599 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
8 clmpm1dir.a . . . 4 + = (+g𝑊)
9 clmvsrinv.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
101, 8, 9, 2grplinv 18090 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉) → (((invg𝑊)‘𝐴) + 𝐴) = 0 )
117, 10sylan 580 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (((invg𝑊)‘𝐴) + 𝐴) = 0 )
126, 11eqtrd 2853 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ((-1 · 𝐴) + 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  -cneg 10859  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  ℂModcclm 23593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-cnfld 20474  df-clm 23594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator