Theorem prdsinvlem 18932

Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvlem.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsinvlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsinvlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
prdsinvlem.n	⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
prdsinvlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))
2		prdsinvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
3	2	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Grp)
4		prdsinvlem.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5		prdsinvlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsinvlem.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9	8	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
10	2	ffnd 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12		prdsinvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
14		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
15	4, 5, 7, 9, 11, 13, 14	prdsbasprj 17418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
17		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑦))
18	16, 17	grpinvcl 18872	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
19	3, 15, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
20	19	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
21	4, 5, 6, 8, 10	prdsbasmpt 17416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
22	20, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
24	2	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Grp)
25	6	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
26	8	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
27	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
28	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
29		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
30	4, 5, 25, 26, 27, 28, 29	prdsbasprj 17418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
32		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
33		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
34		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝑥))
35	31, 32, 33, 34	grplinv 18874	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
36	24, 30, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
37		2fveq3 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑥)))
38		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
39	37, 38	fveq12d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
40		fvex 6905	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)) ∈ V
41	39, 1, 40	fvmpt 6999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
42	41	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
43	42	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)))
44		prdsinvlem.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
45	44	fveq1i 6893	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ‘𝑥) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥)
46		fvco2 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
47	10, 46	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
48	45, 47	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
49	36, 43, 48	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = ( 0 ‘𝑥))
50	49	mpteq2dva 5249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
51		prdsinvlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
52	4, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51	prdsplusgval 17419	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))))
53		fn0g 18582	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
54		ssv 4007	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56		fnco 6668	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
57	53, 10, 55, 56	mp3an2i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
58	44	fneq1i 6647	. . . . 5 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
59	57, 58	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 Fn 𝐼)
60		dffn5 6951	. . . 4 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
61	59, 60	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
62	50, 52, 61	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
63	23, 62	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  X_scprds 17391  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823

This theorem is referenced by:  prdsgrpd  18933  prdsinvgd  18934