MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvlem 18146
Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p + = (+g𝑌)
prdsinvlem.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsinvlem.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsinvlem.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsinvlem.z 0 = (0g𝑅)
prdsinvlem.n 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
32ffvelrnda 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Grp)
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
102ffnd 6508 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12 prdsinvlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐹𝐵)
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
154, 5, 7, 9, 11, 13, 14prdsbasprj 16733 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
16 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
17 eqid 2818 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑦))
1816, 17grpinvcl 18089 . . . . . 6 (((𝑅𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
193, 15, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
2019ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
214, 5, 6, 8, 10prdsbasmpt 16731 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2220, 21mpbird 258 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵)
231, 22eqeltrid 2914 . 2 (𝜑𝑁𝐵)
242ffvelrnda 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Grp)
256adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
268adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
2710adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2812adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
29 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
304, 5, 25, 26, 27, 28, 29prdsbasprj 16733 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
31 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
32 eqid 2818 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
33 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
34 eqid 2818 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑥)) = (invg‘(𝑅𝑥))
3531, 32, 33, 34grplinv 18090 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
3624, 30, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
37 2fveq3 6668 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑥)))
38 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3937, 38fveq12d 6670 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
40 fvex 6676 . . . . . . . 8 ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4139, 1, 40fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4342oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)))
44 prdsinvlem.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
4544fveq1i 6664 . . . . . 6 ( 0𝑥) = ((0g𝑅)‘𝑥)
46 fvco2 6751 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4710, 46sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4845, 47syl5eq 2865 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( 0𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4936, 43, 483eqtr4d 2863 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = ( 0𝑥))
5049mpteq2dva 5152 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
51 prdsinvlem.p . . . 4 + = (+g𝑌)
524, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51prdsplusgval 16734 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))))
53 fn0g 17861 . . . . . 6 0g Fn V
54 ssv 3988 . . . . . . 7 ran 𝑅 ⊆ V
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56 fnco 6458 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5753, 10, 55, 56mp3an2i 1457 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5844fneq1i 6443 . . . . 5 ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g𝑅) Fn 𝐼)
5957, 58sylibr 235 . . . 4 (𝜑0 Fn 𝐼)
60 dffn5 6717 . . . 4 ( 0 Fn 𝐼0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6159, 60sylib 219 . . 3 (𝜑0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6250, 52, 613eqtr4d 2863 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
6323, 62jca 512 1 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933  cmpt 5137  ran crn 5549  ccom 5552   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Xscprds 16707  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045
This theorem is referenced by:  prdsgrpd  18147  prdsinvgd  18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator