MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvlem 18977
Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p + = (+g𝑌)
prdsinvlem.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsinvlem.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsinvlem.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsinvlem.z 0 = (0g𝑅)
prdsinvlem.n 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
32ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Grp)
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
102ffnd 6712 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12 prdsinvlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐹𝐵)
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
154, 5, 7, 9, 11, 13, 14prdsbasprj 17427 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑦))
1816, 17grpinvcl 18917 . . . . . 6 (((𝑅𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
193, 15, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
214, 5, 6, 8, 10prdsbasmpt 17425 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2220, 21mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵)
231, 22eqeltrid 2831 . 2 (𝜑𝑁𝐵)
242ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Grp)
256adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
268adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
2710adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2812adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
29 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
304, 5, 25, 26, 27, 28, 29prdsbasprj 17427 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
31 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
32 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
34 eqid 2726 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑥)) = (invg‘(𝑅𝑥))
3531, 32, 33, 34grplinv 18919 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
3624, 30, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
37 2fveq3 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑥)))
38 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3937, 38fveq12d 6892 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
40 fvex 6898 . . . . . . . 8 ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4139, 1, 40fvmpt 6992 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4342oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)))
44 prdsinvlem.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
4544fveq1i 6886 . . . . . 6 ( 0𝑥) = ((0g𝑅)‘𝑥)
46 fvco2 6982 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4710, 46sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4845, 47eqtrid 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( 0𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4936, 43, 483eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = ( 0𝑥))
5049mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
51 prdsinvlem.p . . . 4 + = (+g𝑌)
524, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51prdsplusgval 17428 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))))
53 fn0g 18596 . . . . . 6 0g Fn V
54 ssv 4001 . . . . . . 7 ran 𝑅 ⊆ V
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56 fnco 6661 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5753, 10, 55, 56mp3an2i 1462 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5844fneq1i 6640 . . . . 5 ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g𝑅) Fn 𝐼)
5957, 58sylibr 233 . . . 4 (𝜑0 Fn 𝐼)
60 dffn5 6944 . . . 4 ( 0 Fn 𝐼0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6159, 60sylib 217 . . 3 (𝜑0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6250, 52, 613eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
6323, 62jca 511 1 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  wss 3943  cmpt 5224  ran crn 5670  ccom 5673   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Xscprds 17400  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867
This theorem is referenced by:  prdsgrpd  18978  prdsinvgd  18979
  Copyright terms: Public domain W3C validator