Theorem prdsinvlem 18275

Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvlem.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsinvlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsinvlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
prdsinvlem.n	⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
prdsinvlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))
2		prdsinvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
3	2	ffvelrnda 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Grp)
4		prdsinvlem.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5		prdsinvlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsinvlem.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
10	2	ffnd 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12		prdsinvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
14		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
15	4, 5, 7, 9, 11, 13, 14	prdsbasprj 16803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
17		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑦))
18	16, 17	grpinvcl 18218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
19	3, 15, 18	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
20	19	ralrimiva 3113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
21	4, 5, 6, 8, 10	prdsbasmpt 16801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
22	20, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
24	2	ffvelrnda 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Grp)
25	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
26	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
27	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
28	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
29		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
30	4, 5, 25, 26, 27, 28, 29	prdsbasprj 16803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
32		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
33		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
34		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝑥))
35	31, 32, 33, 34	grplinv 18219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
36	24, 30, 35	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
37		2fveq3 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑥)))
38		fveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
39	37, 38	fveq12d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
40		fvex 6671	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)) ∈ V
41	39, 1, 40	fvmpt 6759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
42	41	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
43	42	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)))
44		prdsinvlem.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
45	44	fveq1i 6659	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ‘𝑥) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥)
46		fvco2 6749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
47	10, 46	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
48	45, 47	syl5eq 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
49	36, 43, 48	3eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = ( 0 ‘𝑥))
50	49	mpteq2dva 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
51		prdsinvlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
52	4, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51	prdsplusgval 16804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))))
53		fn0g 17939	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
54		ssv 3916	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56		fnco 6448	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
57	53, 10, 55, 56	mp3an2i 1463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
58	44	fneq1i 6431	. . . . 5 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
59	57, 58	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 Fn 𝐼)
60		dffn5 6712	. . . 4 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
61	59, 60	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
62	50, 52, 61	3eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
63	23, 62	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   ↦ cmpt 5112  ran crn 5525   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +_gcplusg 16623  0_gc0g 16771  X_scprds 16777  Grpcgrp 18169  inv_gcminusg 18170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-prds 16779  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173

This theorem is referenced by:  prdsgrpd  18276  prdsinvgd  18277