Theorem prdsinvlem 19007

Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvlem.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsinvlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsinvlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
prdsinvlem.n	⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
prdsinvlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))
2		prdsinvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
3	2	ffvelcdmda 7088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Grp)
4		prdsinvlem.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5		prdsinvlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsinvlem.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
10	2	ffnd 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12		prdsinvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
14		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
15	4, 5, 7, 9, 11, 13, 14	prdsbasprj 17451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
17		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑦))
18	16, 17	grpinvcl 18946	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
19	3, 15, 18	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
20	19	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
21	4, 5, 6, 8, 10	prdsbasmpt 17449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
22	20, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵)
23	1, 22	eqeltrid 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
24	2	ffvelcdmda 7088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Grp)
25	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
26	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
27	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
28	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
29		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
30	4, 5, 25, 26, 27, 28, 29	prdsbasprj 17451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
32		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
33		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
34		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝑥))
35	31, 32, 33, 34	grplinv 18948	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
36	24, 30, 35	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
37		2fveq3 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑥)))
38		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
39	37, 38	fveq12d 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
40		fvex 6904	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)) ∈ V
41	39, 1, 40	fvmpt 6999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
42	41	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
43	42	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)))
44		prdsinvlem.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
45	44	fveq1i 6892	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ‘𝑥) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥)
46		fvco2 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
47	10, 46	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
48	45, 47	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
49	36, 43, 48	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = ( 0 ‘𝑥))
50	49	mpteq2dva 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
51		prdsinvlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
52	4, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51	prdsplusgval 17452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))))
53		fn0g 18620	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
54		ssv 3997	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56		fnco 6666	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
57	53, 10, 55, 56	mp3an2i 1462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
58	44	fneq1i 6645	. . . . 5 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
59	57, 58	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 Fn 𝐼)
60		dffn5 6951	. . . 4 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
61	59, 60	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
62	50, 52, 61	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
63	23, 62	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463   ⊆ wss 3940   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  0_gc0g 17418  X_scprds 17424  Grpcgrp 18892  inv_gcminusg 18893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896

This theorem is referenced by:  prdsgrpd  19008  prdsinvgd  19009