MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvlem 18138
Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p + = (+g𝑌)
prdsinvlem.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsinvlem.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsinvlem.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsinvlem.z 0 = (0g𝑅)
prdsinvlem.n 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
32ffvelrnda 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Grp)
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
102ffnd 6512 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12 prdsinvlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐹𝐵)
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
154, 5, 7, 9, 11, 13, 14prdsbasprj 16735 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
16 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
17 eqid 2826 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑦))
1816, 17grpinvcl 18081 . . . . . 6 (((𝑅𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
193, 15, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
2019ralrimiva 3187 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
214, 5, 6, 8, 10prdsbasmpt 16733 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2220, 21mpbird 258 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵)
231, 22eqeltrid 2922 . 2 (𝜑𝑁𝐵)
242ffvelrnda 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Grp)
256adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
268adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
2710adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2812adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
29 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
304, 5, 25, 26, 27, 28, 29prdsbasprj 16735 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
31 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
32 eqid 2826 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
33 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
34 eqid 2826 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑥)) = (invg‘(𝑅𝑥))
3531, 32, 33, 34grplinv 18082 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
3624, 30, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
37 2fveq3 6672 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑥)))
38 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3937, 38fveq12d 6674 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
40 fvex 6680 . . . . . . . 8 ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4139, 1, 40fvmpt 6765 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4342oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)))
44 prdsinvlem.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
4544fveq1i 6668 . . . . . 6 ( 0𝑥) = ((0g𝑅)‘𝑥)
46 fvco2 6755 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4710, 46sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4845, 47syl5eq 2873 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( 0𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4936, 43, 483eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = ( 0𝑥))
5049mpteq2dva 5158 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
51 prdsinvlem.p . . . 4 + = (+g𝑌)
524, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51prdsplusgval 16736 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))))
53 fn0g 17862 . . . . . 6 0g Fn V
54 ssv 3995 . . . . . . 7 ran 𝑅 ⊆ V
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
56 fnco 6462 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5753, 10, 55, 56mp3an2i 1459 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5844fneq1i 6447 . . . . 5 ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g𝑅) Fn 𝐼)
5957, 58sylibr 235 . . . 4 (𝜑0 Fn 𝐼)
60 dffn5 6721 . . . 4 ( 0 Fn 𝐼0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6159, 60sylib 219 . . 3 (𝜑0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6250, 52, 613eqtr4d 2871 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
6323, 62jca 512 1 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  wss 3940  cmpt 5143  ran crn 5555  ccom 5558   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  0gc0g 16703  Xscprds 16709  Grpcgrp 18033  invgcminusg 18034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-prds 16711  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037
This theorem is referenced by:  prdsgrpd  18139  prdsinvgd  18140
  Copyright terms: Public domain W3C validator