MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvlem 17840
Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p + = (+g𝑌)
prdsinvlem.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsinvlem.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsinvlem.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsinvlem.z 0 = (0g𝑅)
prdsinvlem.n 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
32ffvelrnda 6585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Grp)
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
102ffnd 6257 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1110adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
12 prdsinvlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
1312adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐹𝐵)
14 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
154, 5, 7, 9, 11, 13, 14prdsbasprj 16447 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
16 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
17 eqid 2799 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑦))
1816, 17grpinvcl 17783 . . . . . 6 (((𝑅𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
193, 15, 18syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
2019ralrimiva 3147 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
214, 5, 6, 8, 10prdsbasmpt 16445 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2220, 21mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵)
231, 22syl5eqel 2882 . 2 (𝜑𝑁𝐵)
242ffvelrnda 6585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Grp)
256adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
268adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
2710adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2812adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
29 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
304, 5, 25, 26, 27, 28, 29prdsbasprj 16447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
31 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
32 eqid 2799 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
33 eqid 2799 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
34 eqid 2799 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑥)) = (invg‘(𝑅𝑥))
3531, 32, 33, 34grplinv 17784 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
3624, 30, 35syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
37 2fveq3 6416 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑥)))
38 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3937, 38fveq12d 6418 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
40 fvex 6424 . . . . . . . 8 ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4139, 1, 40fvmpt 6507 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4241adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4342oveq1d 6893 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)))
44 prdsinvlem.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
4544fveq1i 6412 . . . . . 6 ( 0𝑥) = ((0g𝑅)‘𝑥)
46 fvco2 6498 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4710, 46sylan 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4845, 47syl5eq 2845 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( 0𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4936, 43, 483eqtr4d 2843 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = ( 0𝑥))
5049mpteq2dva 4937 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
51 prdsinvlem.p . . . 4 + = (+g𝑌)
524, 5, 6, 8, 10, 23, 12, 51prdsplusgval 16448 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))))
53 fn0g 17577 . . . . . . 7 0g Fn V
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
55 ssv 3821 . . . . . . 7 ran 𝑅 ⊆ V
5655a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
57 fnco 6210 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5854, 10, 56, 57syl3anc 1491 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
5944fneq1i 6196 . . . . 5 ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g𝑅) Fn 𝐼)
6058, 59sylibr 226 . . . 4 (𝜑0 Fn 𝐼)
61 dffn5 6466 . . . 4 ( 0 Fn 𝐼0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6260, 61sylib 210 . . 3 (𝜑0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6350, 52, 623eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
6423, 63jca 508 1 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  wss 3769  cmpt 4922  ran crn 5313  ccom 5316   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  0gc0g 16415  Xscprds 16421  Grpcgrp 17738  invgcminusg 17739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742
This theorem is referenced by:  prdsgrpd  17841  prdsinvgd  17842
  Copyright terms: Public domain W3C validator