MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreq 18480
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
21oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
54fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑖) = (∅‘𝑖))
76fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
85, 7eqeqan12d 2843 . . . . . . 7 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
98ralbidv 3202 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
103, 9raleqbidv 3407 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
1413fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
1512, 14eqeqan12d 2843 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1615ralbidv 3202 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1710, 16imbi12d 346 . . . 4 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
1817imbi2d 342 . . 3 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
2019oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑖) = (𝑥𝑖))
2322fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑥𝑖)‘𝑛))
24 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑖) = (𝑦𝑖))
2524fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛))
2623, 25eqeqan12d 2843 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2726ralbidv 3202 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2821, 27raleqbidv 3407 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
29 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
3029fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
3231fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
3330, 32eqeqan12d 2843 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3433ralbidv 3202 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3528, 34imbi12d 346 . . . 4 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
3635imbi2d 342 . . 3 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
4140fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4342fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
4441, 43eqeqan12d 2843 . . . . . . 7 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4544ralbidv 3202 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4639, 45raleqbidv 3407 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4847fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
5049fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
5148, 50eqeqan12d 2843 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5251ralbidv 3202 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5346, 52imbi12d 346 . . . 4 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
5453imbi2d 342 . . 3 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55 fveq2 6667 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5655oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
5857fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑊𝑖)‘𝑛))
5958eqeq1d 2828 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6059ralbidv 3202 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6156, 60raleqbidv 3407 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
62 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
6362fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
6463eqeq1d 2828 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6564ralbidv 3202 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6661, 65imbi12d 346 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
6766imbi2d 342 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68 fveq1 6666 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑖) = (𝑈𝑖))
6968fveq1d 6669 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
7069eqeq2d 2837 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7170ralbidv 3202 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7271ralbidv 3202 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
73 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
7473fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
7574eqeq2d 2837 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7675ralbidv 3202 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7772, 76imbi12d 346 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
7877imbi2d 342 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁𝑀)
80 eleq2 2906 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛 ∈ (𝑁𝑀)))
81 elin 4173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁𝑀) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
8280, 81syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼 ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
83 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑁)
8482, 83syl6bi 254 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑁))
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑁)
8685adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑁)
87 fvresi 6931 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑀)
9082, 89syl6bi 254 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑀))
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑀)
9291adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑀)
93 fvresi 6931 . . . . . . . 8 (𝑛𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9588, 94eqtr4d 2864 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
9695ralrimiva 3187 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
9897symgid 18449 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
9998adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
100 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
101100gsum0 17883 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
10299, 101syl6reqr 2880 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103102fveq1d 6669 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
105104symgid 18449 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
107 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
108107gsum0 17883 . . . . . . . . 9 (𝑍 Σg ∅) = (0g𝑍)
109106, 108syl6reqr 2880 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110109fveq1d 6669 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111103, 110eqeq12d 2842 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112111ralbidv 3202 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
11396, 112mpbird 258 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114113a1d 25 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑍)
11797, 115, 104, 116, 79gsmsymgreqlem2 18479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118117expcom 414 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119118a2d 29 . . 3 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 14075 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121120impcom 408 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cin 3939  c0 4295   I cid 5458  cres 5556  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  0cc0 10526  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13912  ⟨“cs1 13939  Basecbs 16473  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  SymGrpcsymg 18425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-word 13852  df-lsw 13905  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-tset 16574  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-symg 18426
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20660
  Copyright terms: Public domain W3C validator