MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreq 19214
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
21oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
54fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑖) = (∅‘𝑖))
76fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
85, 7eqeqan12d 2750 . . . . . . 7 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
98ralbidv 3174 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
103, 9raleqbidv 3319 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
1413fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
1512, 14eqeqan12d 2750 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1615ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1710, 16imbi12d 344 . . . 4 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
1817imbi2d 340 . . 3 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
2019oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑖) = (𝑥𝑖))
2322fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑥𝑖)‘𝑛))
24 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑖) = (𝑦𝑖))
2524fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛))
2623, 25eqeqan12d 2750 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2726ralbidv 3174 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2821, 27raleqbidv 3319 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
29 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
3029fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
3231fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
3330, 32eqeqan12d 2750 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3433ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3528, 34imbi12d 344 . . . 4 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
3635imbi2d 340 . . 3 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
4140fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4342fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
4441, 43eqeqan12d 2750 . . . . . . 7 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4544ralbidv 3174 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4639, 45raleqbidv 3319 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4847fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
5049fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
5148, 50eqeqan12d 2750 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5251ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5346, 52imbi12d 344 . . . 4 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
5453imbi2d 340 . . 3 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5655oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
5857fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑊𝑖)‘𝑛))
5958eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6059ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6156, 60raleqbidv 3319 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
62 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
6362fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
6463eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6564ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6661, 65imbi12d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
6766imbi2d 340 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑖) = (𝑈𝑖))
6968fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
7069eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7170ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7271ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
73 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
7473fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
7574eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7675ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7772, 76imbi12d 344 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
7877imbi2d 340 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁𝑀)
80 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛 ∈ (𝑁𝑀)))
81 elin 3926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁𝑀) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
8280, 81bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼 ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
83 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑁)
8482, 83syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑁))
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑁)
8685adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑁)
87 fvresi 7119 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑀)
9082, 89syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑀))
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑀)
9291adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑀)
93 fvresi 7119 . . . . . . . 8 (𝑛𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9588, 94eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
9695ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9897gsum0 18539 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
99 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
10099symgid 19183 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
101100adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
10298, 101eqtr4id 2795 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103102fveq1d 6844 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
105104gsum0 18539 . . . . . . . . 9 (𝑍 Σg ∅) = (0g𝑍)
106 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107106symgid 19183 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
108107adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
109105, 108eqtr4id 2795 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110109fveq1d 6844 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111103, 110eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112111ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
11396, 112mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114113a1d 25 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑍)
11799, 115, 106, 116, 79gsmsymgreqlem2 19213 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118117expcom 414 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119118a2d 29 . . 3 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 14611 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121120impcom 408 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cin 3909  c0 4282   I cid 5530  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  0cc0 11051  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483  Basecbs 17083  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  SymGrpcsymg 19148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-symg 19149
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21004
  Copyright terms: Public domain W3C validator