MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreq 18164
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6411 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
21oveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
32adantr 473 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
54fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑖) = (∅‘𝑖))
76fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
85, 7eqeqan12d 2815 . . . . . . 7 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
98ralbidv 3167 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
103, 9raleqbidv 3335 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
1413fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
1512, 14eqeqan12d 2815 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1615ralbidv 3167 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1710, 16imbi12d 336 . . . 4 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
1817imbi2d 332 . . 3 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19 fveq2 6411 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
2019oveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
2120adantr 473 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑖) = (𝑥𝑖))
2322fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑥𝑖)‘𝑛))
24 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑖) = (𝑦𝑖))
2524fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛))
2623, 25eqeqan12d 2815 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2726ralbidv 3167 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2821, 27raleqbidv 3335 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
29 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
3029fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
3231fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
3330, 32eqeqan12d 2815 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3433ralbidv 3167 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3528, 34imbi12d 336 . . . 4 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
3635imbi2d 332 . . 3 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37 fveq2 6411 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
3938adantr 473 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
4140fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4342fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
4441, 43eqeqan12d 2815 . . . . . . 7 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4544ralbidv 3167 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4639, 45raleqbidv 3335 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4847fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
5049fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
5148, 50eqeqan12d 2815 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5251ralbidv 3167 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5346, 52imbi12d 336 . . . 4 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
5453imbi2d 332 . . 3 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55 fveq2 6411 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5655oveq2d 6894 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
5857fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑊𝑖)‘𝑛))
5958eqeq1d 2801 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6059ralbidv 3167 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6156, 60raleqbidv 3335 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
62 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
6362fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
6463eqeq1d 2801 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6564ralbidv 3167 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6661, 65imbi12d 336 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
6766imbi2d 332 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68 fveq1 6410 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑖) = (𝑈𝑖))
6968fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
7069eqeq2d 2809 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7170ralbidv 3167 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7271ralbidv 3167 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
73 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
7473fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
7574eqeq2d 2809 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7675ralbidv 3167 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7772, 76imbi12d 336 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
7877imbi2d 332 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁𝑀)
80 eleq2 2867 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛 ∈ (𝑁𝑀)))
81 elin 3994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁𝑀) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
8280, 81syl6bb 279 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼 ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
83 simpl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑁)
8482, 83syl6bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑁))
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑁)
8685adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑁)
87 fvresi 6668 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑀)
9082, 89syl6bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑀))
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑀)
9291adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑀)
93 fvresi 6668 . . . . . . . 8 (𝑛𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9588, 94eqtr4d 2836 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
9695ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
9897symgid 18133 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
9998adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
100 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
101100gsum0 17593 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
10299, 101syl6reqr 2852 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103102fveq1d 6413 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
105104symgid 18133 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
106105adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
107 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
108107gsum0 17593 . . . . . . . . 9 (𝑍 Σg ∅) = (0g𝑍)
109106, 108syl6reqr 2852 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110109fveq1d 6413 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111103, 110eqeq12d 2814 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112111ralbidv 3167 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
11396, 112mpbird 249 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114113a1d 25 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑍)
11797, 115, 104, 116, 79gsmsymgreqlem2 18163 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118117expcom 403 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119118a2d 29 . . 3 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 13778 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121120impcom 397 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cin 3768  c0 4115   I cid 5219  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  0cc0 10224  ..^cfzo 12720  chash 13370  Word cword 13534   ++ cconcat 13590  ⟨“cs1 13615  Basecbs 16184  0gc0g 16415   Σg cgsu 16416  SymGrpcsymg 18109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-tset 16286  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-symg 18110
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20268
  Copyright terms: Public domain W3C validator