Theorem gsmsymgreq 19407

Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreq	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
2	1	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
5	4	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢‘𝑖) = (∅‘𝑖))
7	6	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
8	5, 7	eqeqan12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
9	8	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
10	3, 9	raleqbidv 3311	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
14	13	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
15	12, 14	eqeqan12d 2750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
16	15	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
17	10, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
20	19	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘𝑖) = (𝑥‘𝑖))
23	22	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑥‘𝑖)‘𝑛))
24		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
25	24	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛))
26	23, 25	eqeqan12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
27	26	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
28	21, 27	raleqbidv 3311	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
29		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
30	29	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
32	31	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
33	30, 32	eqeqan12d 2750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
34	33	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
35	28, 34	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
36	35	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
41	40	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
43	42	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
44	41, 43	eqeqan12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
45	44	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
46	39, 45	raleqbidv 3311	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
48	47	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
50	49	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
51	48, 50	eqeqan12d 2750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
52	51	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
53	46, 52	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
56	55	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
58	57	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑊‘𝑖)‘𝑛))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
60	59	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
61	56, 60	raleqbidv 3311	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
62		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
63	62	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
64	63	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
65	64	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
66	61, 65	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
67	66	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
69	68	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))
70	69	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
71	70	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
72	71	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
73		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
74	73	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
75	74	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
76	75	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
77	72, 76	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
78	77	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79		gsmsymgreq.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
80		eleq2 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ 𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀)))
81		elin 3905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀))
82	80, 81	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀)))
83		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑁)
84	82, 83	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁))
85	79, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁)
86	85	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑁)
87		fvresi 7128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑀)
90	82, 89	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀))
91	79, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀)
92	91	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑀)
93		fvresi 7128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
95	88, 94	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
96	95	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
98	97	gsum0 18652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
99		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
100	99	symgid 19376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
102	98, 101	eqtr4id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103	102	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
105	104	gsum0 18652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 Σg ∅) = (0g‘𝑍)
106		gsmsymgreq.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107	106	symgid 19376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
108	107	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
109	105, 108	eqtr4id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110	109	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111	103, 110	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112	111	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
113	96, 112	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114	113	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115		gsmsymgrfix.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
116		gsmsymgreq.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
117	99, 115, 106, 116, 79	gsmsymgreqlem2 19406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118	117	expcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119	118	a2d 29	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
120	18, 36, 54, 67, 78, 114, 119	wrd2ind 14685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121	120	impcom 407	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888  ∅c0 4273   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532  ⟨“cs1 14558  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-symg 19345

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21580