Theorem gsmsymgreq 19679

Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreq	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
2	1	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
5	4	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢‘𝑖) = (∅‘𝑖))
7	6	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
8	5, 7	eqeqan12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
9	8	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
10	3, 9	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
14	13	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
15	12, 14	eqeqan12d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
16	15	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
17	10, 16	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
20	19	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘𝑖) = (𝑥‘𝑖))
23	22	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑥‘𝑖)‘𝑛))
24		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
25	24	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛))
26	23, 25	eqeqan12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
27	26	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
28	21, 27	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
29		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
30	29	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
32	31	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
33	30, 32	eqeqan12d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
34	33	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
35	28, 34	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
36	35	imbi2d 343	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
41	40	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
43	42	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
44	41, 43	eqeqan12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
45	44	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
46	39, 45	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
48	47	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
50	49	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
51	48, 50	eqeqan12d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
52	51	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
53	46, 52	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
54	53	imbi2d 343	. . 3 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55		fveq2 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
56	55	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
58	57	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑊‘𝑖)‘𝑛))
59	58	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
60	59	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
61	56, 60	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
62		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
63	62	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
64	63	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
65	64	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
66	61, 65	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
67	66	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68		fveq1 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
69	68	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))
70	69	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
71	70	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
72	71	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
73		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
74	73	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
75	74	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
76	75	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
77	72, 76	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
78	77	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79		gsmsymgreq.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
80		eleq2 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ 𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀)))
81		elin 4096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀))
82	80, 81	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀)))
83		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑁)
84	82, 83	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁))
85	79, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁)
86	85	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑁)
87		fvresi 7204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
88	86, 87	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑀)
90	82, 89	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀))
91	79, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀)
92	91	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑀)
93		fvresi 7204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
94	92, 93	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
95	88, 94	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
96	95	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
98	97	gsum0 18905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
99		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
100	99	symgid 19648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
101	100	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
102	98, 101	eqtr4id 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103	102	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
105	104	gsum0 18905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 Σg ∅) = (0g‘𝑍)
106		gsmsymgreq.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107	106	symgid 19648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
108	107	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
109	105, 108	eqtr4id 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110	109	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111	103, 110	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112	111	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
113	96, 112	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114	113	a1d 26	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115		gsmsymgrfix.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
116		gsmsymgreq.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
117	99, 115, 106, 116, 79	gsmsymgreqlem2 19678	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118	117	expcom 419	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119	118	a2d 30	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
120	18, 36, 54, 67, 78, 114, 119	wrd2ind 14903	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121	120	impcom 413	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   I cid 5550   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  0cc0 11230  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   ++ cconcat 14745  ⟨“cs1 14772  Basecbs 17419  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  SymGrpcsymg 19616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-tset 17479  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-efmnd 19097  df-grp 19179  df-symg 19617

This theorem is used by:  psgndiflemB  21939