MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreq 19222
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
21oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
32adantr 482 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
54fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑖) = (∅‘𝑖))
76fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
85, 7eqeqan12d 2747 . . . . . . 7 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
98ralbidv 3171 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
103, 9raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
1413fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
1512, 14eqeqan12d 2747 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1615ralbidv 3171 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1710, 16imbi12d 345 . . . 4 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
1817imbi2d 341 . . 3 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
2019oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
2120adantr 482 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑖) = (𝑥𝑖))
2322fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑥𝑖)‘𝑛))
24 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑖) = (𝑦𝑖))
2524fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛))
2623, 25eqeqan12d 2747 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2726ralbidv 3171 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2821, 27raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
29 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
3029fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
3231fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
3330, 32eqeqan12d 2747 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3433ralbidv 3171 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3528, 34imbi12d 345 . . . 4 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
3635imbi2d 341 . . 3 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
3938adantr 482 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
4140fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4342fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
4441, 43eqeqan12d 2747 . . . . . . 7 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4544ralbidv 3171 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4639, 45raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4847fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
5049fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
5148, 50eqeqan12d 2747 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5251ralbidv 3171 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5346, 52imbi12d 345 . . . 4 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
5453imbi2d 341 . . 3 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5655oveq2d 7377 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
5857fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑊𝑖)‘𝑛))
5958eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6059ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6156, 60raleqbidv 3318 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
62 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
6362fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
6463eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6564ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6661, 65imbi12d 345 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
6766imbi2d 341 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑖) = (𝑈𝑖))
6968fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
7069eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7170ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7271ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
73 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
7473fveq1d 6848 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
7574eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7675ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7772, 76imbi12d 345 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
7877imbi2d 341 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁𝑀)
80 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛 ∈ (𝑁𝑀)))
81 elin 3930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁𝑀) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
8280, 81bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼 ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
83 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑁)
8482, 83syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑁))
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑁)
8685adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑁)
87 fvresi 7123 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑀)
9082, 89syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑀))
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑀)
9291adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑀)
93 fvresi 7123 . . . . . . . 8 (𝑛𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9588, 94eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
9695ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9897gsum0 18547 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
99 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
10099symgid 19191 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
101100adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
10298, 101eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103102fveq1d 6848 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
105104gsum0 18547 . . . . . . . . 9 (𝑍 Σg ∅) = (0g𝑍)
106 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107106symgid 19191 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
108107adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
109105, 108eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110109fveq1d 6848 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111103, 110eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112111ralbidv 3171 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
11396, 112mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114113a1d 25 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑍)
11799, 115, 106, 116, 79gsmsymgreqlem2 19221 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118117expcom 415 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119118a2d 29 . . 3 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 14620 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121120impcom 409 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cin 3913  c0 4286   I cid 5534  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  0cc0 11059  ..^cfzo 13576  chash 14239  Word cword 14411   ++ cconcat 14467  ⟨“cs1 14492  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21027
  Copyright terms: Public domain W3C validator