MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreq 18829
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6722 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
21oveq2d 7234 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
54fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝑖) = (∅‘𝑖))
76fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
85, 7eqeqan12d 2751 . . . . . . 7 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
98ralbidv 3118 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
103, 9raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
1413fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
1512, 14eqeqan12d 2751 . . . . . 6 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1615ralbidv 3118 . . . . 5 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
1710, 16imbi12d 348 . . . 4 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
1817imbi2d 344 . . 3 ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19 fveq2 6722 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
2019oveq2d 7234 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
2120adantr 484 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑖) = (𝑥𝑖))
2322fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑥𝑖)‘𝑛))
24 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑖) = (𝑦𝑖))
2524fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛))
2623, 25eqeqan12d 2751 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2726ralbidv 3118 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
2821, 27raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛)))
29 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
3029fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
3231fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
3330, 32eqeqan12d 2751 . . . . . 6 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3433ralbidv 3118 . . . . 5 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
3528, 34imbi12d 348 . . . 4 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
3635imbi2d 344 . . 3 ((𝑤 = 𝑥𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37 fveq2 6722 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq2d 7234 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
3938adantr 484 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
4140fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4342fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
4441, 43eqeqan12d 2751 . . . . . . 7 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4544ralbidv 3118 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
4639, 45raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4847fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
5049fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
5148, 50eqeqan12d 2751 . . . . . 6 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5251ralbidv 3118 . . . . 5 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
5346, 52imbi12d 348 . . . 4 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
5453imbi2d 344 . . 3 ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55 fveq2 6722 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5655oveq2d 7234 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
5857fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑊𝑖)‘𝑛))
5958eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6059ralbidv 3118 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
6156, 60raleqbidv 3318 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
62 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
6362fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
6463eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6564ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
6661, 65imbi12d 348 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
6766imbi2d 344 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68 fveq1 6721 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑖) = (𝑈𝑖))
6968fveq1d 6724 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
7069eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7170ralbidv 3118 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
7271ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛)))
73 oveq2 7226 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
7473fveq1d 6724 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
7574eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7675ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
7772, 76imbi12d 348 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
7877imbi2d 344 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑢𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛𝐼 ((𝑤𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁𝑀)
80 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛 ∈ (𝑁𝑀)))
81 elin 3887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁𝑀) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
8280, 81bitrdi 290 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼 ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
83 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑁)
8482, 83syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑁))
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑁)
8685adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑁)
87 fvresi 6993 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑁𝑛𝑀) → 𝑛𝑀)
9082, 89syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑀) → (𝑛𝐼𝑛𝑀))
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐼𝑛𝑀)
9291adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑛𝑀)
93 fvresi 6993 . . . . . . . 8 (𝑛𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
9588, 94eqtr4d 2780 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
9695ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9897gsum0 18161 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
99 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
10099symgid 18798 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
101100adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
10298, 101eqtr4id 2797 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103102fveq1d 6724 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
105104gsum0 18161 . . . . . . . . 9 (𝑍 Σg ∅) = (0g𝑍)
106 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107106symgid 18798 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
108107adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g𝑍))
109105, 108eqtr4id 2797 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110109fveq1d 6724 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111103, 110eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112111ralbidv 3118 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
11396, 112mpbird 260 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114113a1d 25 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑍)
11799, 115, 106, 116, 79gsmsymgreqlem2 18828 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118117expcom 417 . . . 4 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119118a2d 29 . . 3 (((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛𝐼 ((𝑥𝑖)‘𝑛) = ((𝑦𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 14293 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121120impcom 411 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛𝐼 ((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cin 3870  c0 4242   I cid 5459  cres 5558  cfv 6385  (class class class)co 7218  Fincfn 8631  0cc0 10734  ..^cfzo 13243  chash 13901  Word cword 14074   ++ cconcat 14130  ⟨“cs1 14157  Basecbs 16765  0gc0g 16949   Σg cgsu 16950  SymGrpcsymg 18764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-map 8515  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-card 9560  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-xnn0 12168  df-z 12182  df-uz 12444  df-fz 13101  df-fzo 13244  df-seq 13580  df-hash 13902  df-word 14075  df-lsw 14123  df-concat 14131  df-s1 14158  df-substr 14211  df-pfx 14241  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-tset 16826  df-0g 16951  df-gsum 16952  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-submnd 18224  df-efmnd 18301  df-grp 18373  df-symg 18765
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20567
  Copyright terms: Public domain W3C validator