Theorem gsmsymgreq 19302

Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreq	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
2	1	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
5	4	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢‘𝑖) = (∅‘𝑖))
7	6	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
8	5, 7	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
9	8	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
10	3, 9	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
14	13	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
15	12, 14	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
16	15	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
17	10, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
20	19	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘𝑖) = (𝑥‘𝑖))
23	22	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑥‘𝑖)‘𝑛))
24		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
25	24	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛))
26	23, 25	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
27	26	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
28	21, 27	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
29		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
30	29	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
32	31	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
33	30, 32	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
34	33	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
35	28, 34	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
36	35	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
39	38	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
41	40	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
43	42	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
44	41, 43	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
45	44	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
46	39, 45	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
48	47	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
50	49	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
51	48, 50	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
52	51	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
53	46, 52	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
56	55	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
58	57	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑊‘𝑖)‘𝑛))
59	58	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
60	59	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
61	56, 60	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
62		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
63	62	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
64	63	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
65	64	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
66	61, 65	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
67	66	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
69	68	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))
70	69	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
71	70	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
72	71	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
73		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
74	73	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
75	74	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
76	75	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
77	72, 76	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
78	77	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79		gsmsymgreq.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
80		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ 𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀)))
81		elin 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀))
82	80, 81	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀)))
83		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑁)
84	82, 83	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁))
85	79, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁)
86	85	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑁)
87		fvresi 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑀)
90	82, 89	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀))
91	79, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀)
92	91	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑀)
93		fvresi 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
95	88, 94	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
96	95	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
98	97	gsum0 18605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
99		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
100	99	symgid 19271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
102	98, 101	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103	102	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
105	104	gsum0 18605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 Σg ∅) = (0g‘𝑍)
106		gsmsymgreq.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107	106	symgid 19271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
108	107	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
109	105, 108	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110	109	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111	103, 110	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112	111	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
113	96, 112	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114	113	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115		gsmsymgrfix.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
116		gsmsymgreq.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
117	99, 115, 106, 116, 79	gsmsymgreqlem2 19301	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118	117	expcom 414	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119	118	a2d 29	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
120	18, 36, 54, 67, 78, 114, 119	wrd2ind 14675	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121	120	impcom 408	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947  ∅c0 4322   I cid 5573   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  ..^cfzo 13629  ♯chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  ⟨“cs1 14547  Basecbs 17146  0_gc0g 17387   Σ_g cgsu 17388  SymGrpcsymg 19236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-symg 19237

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21159