Theorem gsmsymgreq 19299

Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreq	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊   𝑛,𝐼   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍   𝐵,𝑛,𝑖   𝑖,𝐼   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑈,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgreq

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑝 𝑥 𝑏 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
2	1	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘∅)))
4		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
5	4	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
6		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢‘𝑖) = (∅‘𝑖))
7	6	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛))
8	5, 7	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
9	8	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
10	3, 9	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛)))
11		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛))
13		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg ∅))
14	13	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
15	12, 14	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
16	15	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
17	10, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = ∅ ∧ 𝑢 = ∅) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))))
19		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑥))
20	19	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑥)))
22		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘𝑖) = (𝑥‘𝑖))
23	22	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑥‘𝑖)‘𝑛))
24		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
25	24	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛))
26	23, 25	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
27	26	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
28	21, 27	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛)))
29		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑥))
30	29	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛))
31		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑦))
32	31	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))
33	30, 32	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
34	33	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))
35	28, 34	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))))
36	35	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝑦) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)))))
37		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
39	38	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))))
40		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖))
41	40	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
42		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
43	42	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛))
44	41, 43	eqeqan12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
45	44	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
46	39, 45	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛)))
47		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))
48	47	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛))
49		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
50	49	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))
51	48, 50	eqeqan12d 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
52	51	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))
53	46, 52	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((𝑤 = (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩) ∧ 𝑢 = (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
55		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
56	55	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
57		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
58	57	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑊‘𝑖)‘𝑛))
59	58	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
60	59	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
61	56, 60	raleqbidv 3342	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
62		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
63	62	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛))
64	63	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
65	64	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
66	61, 65	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
67	66	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
68		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
69	68	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛))
70	69	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
71	70	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
72	71	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛)))
73		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 Σg 𝑢) = (𝑍 Σg 𝑈))
74	73	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))
75	74	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
76	75	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))
77	72, 76	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
78	77	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑢)‘𝑛))) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑤‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))))
79		gsmsymgreq.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
80		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ 𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀)))
81		elin 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀))
82	80, 81	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↔ (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀)))
83		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑁)
84	82, 83	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁))
85	79, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑁)
86	85	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑁)
87		fvresi 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = 𝑛)
89		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑀) → 𝑛 ∈ 𝑀)
90	82, 89	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀) → (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀))
91	79, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ 𝑀)
92	91	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑀)
93		fvresi 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑀 → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑀)‘𝑛) = 𝑛)
95	88, 94	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
96	95	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
97		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
98	97	gsum0 18602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
99		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
100	99	symgid 19268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
102	98, 101	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
103	102	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑛))
104		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
105	104	gsum0 18602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 Σg ∅) = (0g‘𝑍)
106		gsmsymgreq.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
107	106	symgid 19268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
108	107	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑀) = (0g‘𝑍))
109	105, 108	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑍 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑀))
110	109	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛))
111	103, 110	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
112	111	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (( I ↾ 𝑁)‘𝑛) = (( I ↾ 𝑀)‘𝑛)))
113	96, 112	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛))
114	113	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((∅‘𝑖)‘𝑛) = ((∅‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg ∅)‘𝑛) = ((𝑍 Σg ∅)‘𝑛)))
115		gsmsymgrfix.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
116		gsmsymgreq.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
117	99, 115, 106, 116, 79	gsmsymgreqlem2 19298	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛))))
118	117	expcom 414	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
119	118	a2d 29	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑥))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑦‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑥)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑦)‘𝑛))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)))∀𝑛 ∈ 𝐼 (((𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩)‘𝑖)‘𝑛) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg (𝑥 ++ ⟨“𝑏”⟩))‘𝑛) = ((𝑍 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑝”⟩))‘𝑛)))))
120	18, 36, 54, 67, 78, 114, 119	wrd2ind 14672	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛))))
121	120	impcom 408	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑊‘𝑖)‘𝑛) = ((𝑈‘𝑖)‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑈)‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947  ∅c0 4322   I cid 5573   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  0cc0 11109  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Word cword 14463   ++ cconcat 14519  ⟨“cs1 14544  Basecbs 17143  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  SymGrpcsymg 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-symg 19234

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21152