Theorem gsmsymgrfix 19369

Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfix	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
2	1	elv 3447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
3	2	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
4	3	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5		fzo0 13611	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
8	7	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
10	6, 9	raleqbidv 3318	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
14	10, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
17	16	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
19	18	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑦‘𝑖)‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	raleqbidv 3318	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
23	22	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
25	21, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
26	25	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
30	29	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
32	28, 31	raleqbidv 3318	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
34	33	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
35	34	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
36	32, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
37	36	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
39	38	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	40	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
42	41	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
43	39, 42	raleqbidv 3318	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
45	44	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
47	43, 46	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
48	47	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
50	49	gsum0 18621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
51		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
52	51	symgid 19342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
53	52	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
54	50, 53	eqtr4id 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
55	54	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56		fvresi 7129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
57	56	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
58	55, 57	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
59	58	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60		ccatws1len 14556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
61	60	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
62	61	raleqdv 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
64	63	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
66	51, 65	gsmsymgrfixlem1 19368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67	66	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68	64, 67	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
69	68	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
70	69	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
71	15, 26, 37, 48, 59, 70	wrdind 14657	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
72	71	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73	72	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ∅c0 4287   I cid 5526   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  SymGrpcsymg 19310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-symg 19311

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21567