Theorem gsmsymgrfix 19529

Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfix	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
2	1	elv 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
3	2	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
4	3	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5		fzo0 13731	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
8	7	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
9	8	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
10	6, 9	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
14	10, 13	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
17	16	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
19	18	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑦‘𝑖)‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
23	22	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
24	23	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
25	21, 24	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
26	25	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
28	27	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
30	29	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
32	28, 31	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
34	33	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
35	34	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
36	32, 35	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
37	36	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
39	38	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	40	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
42	41	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
43	39, 42	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
45	44	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
47	43, 46	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
48	47	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
50	49	gsum0 18771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
51		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
52	51	symgid 19502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
53	52	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
54	50, 53	eqtr4id 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
55	54	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56		fvresi 7178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
57	56	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
58	55, 57	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
59	58	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60		ccatws1len 14680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
61	60	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
62	61	raleqdv 3326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63	62	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
64	63	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
66	51, 65	gsmsymgrfixlem1 19528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67	66	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68	64, 67	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
69	68	exp32 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
70	69	a2d 30	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
71	15, 26, 37, 48, 59, 70	wrdind 14783	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
72	71	com12 33	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73	72	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458  ∅c0 4289   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  SymGrpcsymg 19470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-symg 19471

This theorem is used by:  psgndiflemB  21787