Theorem gsmsymgrfix 19338

Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfix	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
2	1	elv 3479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
3	2	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
4	3	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5		fzo0 13661	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
8	7	fveq1d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
9	8	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
10	6, 9	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
14	10, 13	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
15	14	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
19	18	fveq1d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑦‘𝑖)‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
23	22	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
24	23	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
25	21, 24	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
26	25	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
28	27	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
30	29	fveq1d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
32	28, 31	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
34	33	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
35	34	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
36	32, 35	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
37	36	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
39	38	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	40	fveq1d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
42	41	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
43	39, 42	raleqbidv 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
45	44	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
47	43, 46	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
48	47	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
50	49	gsum0 18610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
51		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
52	51	symgid 19311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
53	52	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
54	50, 53	eqtr4id 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
55	54	fveq1d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56		fvresi 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
57	56	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
58	55, 57	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
59	58	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60		ccatws1len 14575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
61	60	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
62	61	raleqdv 3324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
64	63	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
66	51, 65	gsmsymgrfixlem1 19337	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67	66	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68	64, 67	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
69	68	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
70	69	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
71	15, 26, 37, 48, 59, 70	wrdind 14677	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
72	71	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73	72	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473  ∅c0 4323   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  ..^cfzo 13632  ♯chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  ⟨“cs1 14550  Basecbs 17149  0_gc0g 17390   Σ_g cgsu 17391  SymGrpcsymg 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-efmnd 18787  df-grp 18859  df-symg 19277

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21373