Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfix 18552
 Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfix ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheq0 13724 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
21elv 3449 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
32biimpri 231 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
43oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5 fzo0 13060 . . . . . . . 8 (0..^0) = ∅
64, 5eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
87fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
98eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
106, 9raleqbidv 3357 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6651 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
1312eqeq1d 2803 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
1410, 13imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
1514imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
1716oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑖) = (𝑦𝑖))
1918fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑦𝑖)‘𝐾))
2019eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
2117, 20raleqbidv 3357 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
2322fveq1d 6651 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
2423eqeq1d 2803 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
2521, 24imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
2625imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
2827oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
3029fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
3130eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
3228, 31raleqbidv 3357 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
3433fveq1d 6651 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
3534eqeq1d 2803 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
3632, 35imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
3736imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3938oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
4140fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
4241eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4339, 42raleqbidv 3357 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
4544fveq1d 6651 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
4645eqeq1d 2803 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
4743, 46imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
4847imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5049gsum0 17890 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
51 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
5251symgid 18525 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5352adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5450, 53eqtr4id 2855 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
5554fveq1d 6651 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56 fvresi 6916 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5756adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5855, 57eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
5958a1d 25 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60 ccatws1len 13969 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
6160oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
6261raleqdv 3367 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6362adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6463adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
6651, 65gsmsymgrfixlem1 18551 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67663expb 1117 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6864, 67sylbid 243 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6968exp32 424 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7069a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7115, 26, 37, 48, 59, 70wrdind 14079 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
7271com12 32 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73723impia 1114 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ∅c0 4246   I cid 5427   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690  Word cword 13861   ++ cconcat 13917  ⟨“cs1 13944  Basecbs 16479  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  SymGrpcsymg 18491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-tset 16580  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-efmnd 18030  df-grp 18102  df-symg 18492 This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20293
 Copyright terms: Public domain W3C validator