MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfix 19446
Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfix ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheq0 14402 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
21elv 3485 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
32biimpri 228 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
43oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5 fzo0 13723 . . . . . . . 8 (0..^0) = ∅
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
87fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
98eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
106, 9raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
1312eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
1410, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
1716oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑖) = (𝑦𝑖))
1918fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑦𝑖)‘𝐾))
2019eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
2117, 20raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
2322fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
2423eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
2625imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
2827oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
3029fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
3130eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
3228, 31raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
3433fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
3534eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
3632, 35imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
3736imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3938oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
4140fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
4241eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4339, 42raleqbidv 3346 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
4544fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
4645eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
4743, 46imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
4847imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5049gsum0 18697 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
51 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
5251symgid 19419 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5450, 53eqtr4id 2796 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
5554fveq1d 6908 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56 fvresi 7193 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5756adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5855, 57eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
5958a1d 25 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60 ccatws1len 14658 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
6261raleqdv 3326 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6362adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6463adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
6651, 65gsmsymgrfixlem1 19445 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67663expb 1121 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6864, 67sylbid 240 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6968exp32 420 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7069a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7115, 26, 37, 48, 59, 70wrdind 14760 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
7271com12 32 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73723impia 1118 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  c0 4333   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  SymGrpcsymg 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-symg 19387
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21618
  Copyright terms: Public domain W3C validator