Theorem gsmsymgrfix 19105

Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfix	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
2	1	elv 3447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
3	2	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
4	3	oveq2d 7331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5		fzo0 13484	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7		fveq1 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
8	7	fveq1d 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
10	6, 9	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11		oveq2 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
14	10, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16		fveq2 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
17	16	oveq2d 7331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18		fveq1 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
19	18	fveq1d 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑦‘𝑖)‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22		oveq2 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
23	22	fveq1d 6813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
25	21, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
26	25	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27		fveq2 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
28	27	oveq2d 7331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29		fveq1 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
30	29	fveq1d 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
32	28, 31	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33		oveq2 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
34	33	fveq1d 6813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
35	34	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
36	32, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
37	36	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38		fveq2 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
39	38	oveq2d 7331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40		fveq1 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	40	fveq1d 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
42	41	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
43	39, 42	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44		oveq2 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
45	44	fveq1d 6813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
47	43, 46	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
48	47	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
50	49	gsum0 18438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
51		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
52	51	symgid 19078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
53	52	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
54	50, 53	eqtr4id 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
55	54	fveq1d 6813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56		fvresi 7084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
57	56	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
58	55, 57	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
59	58	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60		ccatws1len 14397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
61	60	oveq2d 7331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
62	61	raleqdv 3310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63	62	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
64	63	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
66	51, 65	gsmsymgrfixlem1 19104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67	66	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68	64, 67	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
69	68	exp32 421	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
70	69	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
71	15, 26, 37, 48, 59, 70	wrdind 14507	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
72	71	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73	72	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062  Vcvv 3441  ∅c0 4267   I cid 5506   ↾ cres 5609  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Fincfn 8781  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947  ..^cfzo 13455  ♯chash 14117  Word cword 14289   ++ cconcat 14345  ⟨“cs1 14372  Basecbs 16982  0_gc0g 17220   Σ_g cgsu 17221  SymGrpcsymg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-xnn0 12379  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-hash 14118  df-word 14290  df-lsw 14338  df-concat 14346  df-s1 14373  df-substr 14426  df-pfx 14456  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-tset 17051  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-efmnd 18577  df-grp 18649  df-symg 19044

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20877