MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfix 19461
Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfix ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheq0 14399 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
21elv 3483 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
32biimpri 228 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
43oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5 fzo0 13720 . . . . . . . 8 (0..^0) = ∅
64, 5eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
87fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
98eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
106, 9raleqbidv 3344 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1211fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
1312eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
1410, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
1716oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑖) = (𝑦𝑖))
1918fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑦𝑖)‘𝐾))
2019eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
2117, 20raleqbidv 3344 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
2322fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
2423eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
2625imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
2827oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
3029fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
3130eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
3228, 31raleqbidv 3344 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
3433fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
3534eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
3632, 35imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
3736imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3938oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
4140fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
4241eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4339, 42raleqbidv 3344 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
4544fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
4645eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
4743, 46imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
4847imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5049gsum0 18710 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
51 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
5251symgid 19434 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5450, 53eqtr4id 2794 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
5554fveq1d 6909 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56 fvresi 7193 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5756adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5855, 57eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
5958a1d 25 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60 ccatws1len 14655 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
6261raleqdv 3324 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6362adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6463adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
6651, 65gsmsymgrfixlem1 19460 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67663expb 1119 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6864, 67sylbid 240 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6968exp32 420 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7069a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7115, 26, 37, 48, 59, 70wrdind 14757 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
7271com12 32 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73723impia 1116 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  Basecbs 17245  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21636
  Copyright terms: Public domain W3C validator