Theorem gsmsymgrfix 19451

Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfix	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
2	1	elv 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
3	2	biimpri 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
4	3	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
5		fzo0 13686	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
7		fveq1 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤‘𝑖) = (∅‘𝑖))
8	7	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
9	8	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
10	6, 9	raleqbidv 3335	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
11		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
12	11	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
14	10, 13	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
15	14	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
16		fveq2 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
17	16	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
18		fveq1 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤‘𝑖) = (𝑦‘𝑖))
19	18	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑦‘𝑖)‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	raleqbidv 3335	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
22		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
23	22	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
24	23	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
25	21, 24	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
26	25	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
27		fveq2 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
28	27	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
29		fveq1 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
30	29	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
31	30	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
32	28, 31	raleqbidv 3335	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
33		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
34	33	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
35	34	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
36	32, 35	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
37	36	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
38		fveq2 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
39	38	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
40		fveq1 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	40	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
42	41	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
43	39, 42	raleqbidv 3335	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
44		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
45	44	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
47	43, 46	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
48	47	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
49		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
50	49	gsum0 18701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
51		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
52	51	symgid 19424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
53	52	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘𝑆))
54	50, 53	eqtr4id 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
55	54	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
56		fvresi 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
57	56	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
58	55, 57	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
59	58	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
60		ccatws1len 14631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
61	60	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
62	61	raleqdv 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63	62	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
64	63	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
65		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
66	51, 65	gsmsymgrfixlem1 19450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
67	66	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68	64, 67	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
69	68	exp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
70	69	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
71	15, 26, 37, 48, 59, 70	wrdind 14732	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
72	71	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
73	72	3impia 1129	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  ∅c0 4285   I cid 5539   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580  ⟨“cs1 14606  Basecbs 17228  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  SymGrpcsymg 19392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-tset 17288  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-symg 19393

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  21632