MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2lea 25694
Description: Approximate version of itg2le 25689. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫2𝐹 ≀ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2lea.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
76adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 i1ff 25625 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
98ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
10 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7096 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312rexrd 11302 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 13447 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
1615adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
17 ffvelcdm 7096 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sselid 3980 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
20 ffvelcdm 7096 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sselid 3980 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
23 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
249ffnd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
2516ffnd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
26 reex 11237 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ℝ ∈ V)
28 inidm 4221 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29 eqidd 2729 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
30 eqidd 2729 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3124, 25, 27, 27, 28, 29, 30ofrfval 7701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3332r19.21bi 3246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3410, 33sylan2 591 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
35 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3635adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3713, 19, 22, 34, 36xrletrd 13181 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
382, 3, 5, 7, 37itg2uba 25693 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))
3938expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
4039ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
41 itg2cl 25682 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
421, 41syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
43 itg2leub 25684 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4415, 42, 43syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4540, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘r cofr 7690  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  [,]cicc 13367  vol*covol 25411  βˆ«1citg1 25564  βˆ«2citg2 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570
This theorem is referenced by:  itg2eqa  25695
  Copyright terms: Public domain W3C validator