Theorem itg2lea 25689

Description: Approximate version of itg2le 25684. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₂𝐹 ≤ ∫₂𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2lea	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4		itg2lea.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2lea.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8		i1ff 25621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
9	8	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ffvelcdm 7025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11183	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
14		iccssxr 13347	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		itg2lea.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17		ffvelcdm 7025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18	16, 10, 17	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
20		ffvelcdm 7025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
21	2, 10, 20	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
22	14, 21	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ*)
23		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
24	9	ffnd 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
25	16	ffnd 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
26		reex 11118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ℝ ∈ V)
28		inidm 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
30		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
31	24, 25, 27, 27, 28, 29, 30	ofrfval 7632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	23, 31	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	32	r19.21bi 3230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	10, 33	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
35		itg2lea.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
36	35	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
37	13, 19, 22, 34, 36	xrletrd 13077	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
38	2, 3, 5, 7, 37	itg2uba 25688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))
39	38	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
40	39	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
41		itg2cl 25677	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	1, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
43		itg2leub 25679	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
44	15, 42, 43	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
45	40, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∘_r cofr 7621  ℝcr 11026  0cc0 11027  +∞cpnf 11164  ℝ^*cxr 11166   ≤ cle 11168  [,]cicc 13265  vol*covol 25407  ∫₁citg1 25560  ∫₂citg2 25561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611  df-rest 17343  df-topgen 17364  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566

This theorem is referenced by:  itg2eqa  25690