MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2lea 25624
Description: Approximate version of itg2le 25619. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫2𝐹 ≀ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2lea.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 i1ff 25555 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
98ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
10 eldifi 4121 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7076 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312rexrd 11265 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 13410 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
17 ffvelcdm 7076 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sselid 3975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
20 ffvelcdm 7076 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sselid 3975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
23 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
249ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
2516ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
26 reex 11200 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ℝ ∈ V)
28 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
30 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3124, 25, 27, 27, 28, 29, 30ofrfval 7676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3332r19.21bi 3242 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3410, 33sylan2 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
35 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3635adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3713, 19, 22, 34, 36xrletrd 13144 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
382, 3, 5, 7, 37itg2uba 25623 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))
3938expr 456 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
4039ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
41 itg2cl 25612 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
421, 41syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
43 itg2leub 25614 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4415, 42, 43syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4540, 44mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘r cofr 7665  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  [,]cicc 13330  vol*covol 25341  βˆ«1citg1 25494  βˆ«2citg2 25495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500
This theorem is referenced by:  itg2eqa  25625
  Copyright terms: Public domain W3C validator