Theorem itg2lea 24814

Description: Approximate version of itg2le 24809. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₂𝐹 ≤ ∫₂𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2lea	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4		itg2lea.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2lea.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8		i1ff 24745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
9	8	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10		eldifi 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ffvelrn 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
14		iccssxr 13091	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		itg2lea.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17		ffvelrn 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18	16, 10, 17	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
20		ffvelrn 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
21	2, 10, 20	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
22	14, 21	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ*)
23		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
24	9	ffnd 6585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
25	16	ffnd 6585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
26		reex 10893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ℝ ∈ V)
28		inidm 4149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
30		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
31	24, 25, 27, 27, 28, 29, 30	ofrfval 7521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	23, 31	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	32	r19.21bi 3132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	10, 33	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
35		itg2lea.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
36	35	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
37	13, 19, 22, 34, 36	xrletrd 12825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
38	2, 3, 5, 7, 37	itg2uba 24813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))
39	38	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
40	39	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
41		itg2cl 24802	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	1, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
43		itg2leub 24804	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
44	15, 42, 43	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
45	40, 44	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  vol*covol 24531  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2eqa  24815