MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lea 25125
Description: Approximate version of itg2le 25120. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫2𝐹 ≀ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2lea.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 i1ff 25056 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
10 eldifi 4087 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7033 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312rexrd 11210 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 13353 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
17 ffvelcdm 7033 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sselid 3943 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
20 ffvelcdm 7033 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sselid 3943 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
23 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
249ffnd 6670 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
2516ffnd 6670 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
26 reex 11147 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ℝ ∈ V)
28 inidm 4179 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
30 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3124, 25, 27, 27, 28, 29, 30ofrfval 7628 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3332r19.21bi 3233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3410, 33sylan2 594 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
35 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3635adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3713, 19, 22, 34, 36xrletrd 13087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
382, 3, 5, 7, 37itg2uba 25124 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))
3938expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
4039ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
41 itg2cl 25113 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
421, 41syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
43 itg2leub 25115 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4415, 42, 43syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4540, 44mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617  β„cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  [,]cicc 13273  vol*covol 24842  βˆ«1citg1 24995  βˆ«2citg2 24996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001
This theorem is referenced by:  itg2eqa  25126
  Copyright terms: Public domain W3C validator