MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2lea 25253
Description: Approximate version of itg2le 25248. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫2𝐹 ≀ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2lea.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2lea.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
8 i1ff 25184 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
98ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
10 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312rexrd 11260 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 13403 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
17 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sselid 3979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
20 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sselid 3979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
23 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
249ffnd 6715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
2516ffnd 6715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
26 reex 11197 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ℝ ∈ V)
28 inidm 4217 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
30 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3124, 25, 27, 27, 28, 29, 30ofrfval 7676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3332r19.21bi 3248 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3410, 33sylan2 593 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
35 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3635adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3713, 19, 22, 34, 36xrletrd 13137 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
382, 3, 5, 7, 37itg2uba 25252 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))
3938expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
4039ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
41 itg2cl 25241 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
421, 41syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
43 itg2leub 25243 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4415, 42, 43syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
4540, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  [,]cicc 13323  vol*covol 24970  βˆ«1citg1 25123  βˆ«2citg2 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129
This theorem is referenced by:  itg2eqa  25254
  Copyright terms: Public domain W3C validator