Theorem itg2lea 25702

Description: Approximate version of itg2le 25697. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₂𝐹 ≤ ∫₂𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2lea	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4		itg2lea.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2lea.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8		i1ff 25634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
9	8	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10		eldifi 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
14		iccssxr 13452	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		itg2lea.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18	16, 10, 17	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
20		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
21	2, 10, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
22	14, 21	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ*)
23		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
24	9	ffnd 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
25	16	ffnd 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
26		reex 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ℝ ∈ V)
28		inidm 4207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
30		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
31	24, 25, 27, 27, 28, 29, 30	ofrfval 7686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	23, 31	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	32	r19.21bi 3238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	10, 33	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
35		itg2lea.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
36	35	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
37	13, 19, 22, 34, 36	xrletrd 13183	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
38	2, 3, 5, 7, 37	itg2uba 25701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))
39	38	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
40	39	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
41		itg2cl 25690	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	1, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
43		itg2leub 25692	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
44	15, 42, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
45	40, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_r cofr 7675  ℝcr 11133  0cc0 11134  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  [,]cicc 13370  vol*covol 25420  ∫₁citg1 25573  ∫₂citg2 25574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577  df-itg1 25578  df-itg2 25579

This theorem is referenced by:  itg2eqa  25703