Theorem itg2lea 26095

Description: Approximate version of itg2le 26090. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₂𝐹 ≤ ∫₂𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2lea	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4		itg2lea.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2lea.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8		i1ff 26027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
9	8	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10		eldifi 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ffvelcdm 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11386	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
14		iccssxr 13588	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		itg2lea.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17		ffvelcdm 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18	16, 10, 17	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
20		ffvelcdm 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
21	2, 10, 20	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
22	14, 21	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ*)
23		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
24	9	ffnd 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
25	16	ffnd 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
26		reex 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ℝ ∈ V)
28		inidm 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
30		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
31	24, 25, 27, 27, 28, 29, 30	ofrfval 7727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	23, 31	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	32	r19.21bi 3258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	10, 33	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
35		itg2lea.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
36	35	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
37	13, 19, 22, 34, 36	xrletrd 13318	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
38	2, 3, 5, 7, 37	itg2uba 26094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))
39	38	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
40	39	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺)))
41		itg2cl 26083	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	1, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
43		itg2leub 26085	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
44	15, 42, 43	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ (∫2‘𝐺))))
45	40, 44	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_r cofr 7716  ℝcr 11226  0cc0 11227  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371  [,]cicc 13506  vol*covol 25813  ∫₁citg1 25966  ∫₂citg2 25967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cmp 23735  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972

This theorem is used by:  itg2eqa  26096