Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lea 24344
 Description: Approximate version of itg2le 24339. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫2𝐹 ≤ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8 i1ff 24276 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
98ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10 eldifi 4088 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelrn 6837 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
1312rexrd 10683 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 12813 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17 ffvelrn 6837 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sseldi 3950 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
20 ffvelrn 6837 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sseldi 3950 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
23 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝑓r𝐹)
249ffnd 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
2516ffnd 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
26 reex 10620 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ℝ ∈ V)
28 inidm 4179 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
29 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
30 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3124, 25, 27, 27, 28, 29, 30ofrfval 7407 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (𝑓r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3223, 31mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3332r19.21bi 3203 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3410, 33sylan2 595 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
35 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3635adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3713, 19, 22, 34, 36xrletrd 12548 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
382, 3, 5, 7, 37itg2uba 24343 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))
3938expr 460 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
4039ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
41 itg2cl 24332 . . . 4 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
421, 41syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
43 itg2leub 24334 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4415, 42, 43syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4540, 44mpbird 260 1 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145   ∘r cofr 7398  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668  [,]cicc 12734  vol*covol 24062  ∫1citg1 24215  ∫2citg2 24216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-top 21495  df-topon 21512  df-bases 21547  df-cmp 21988  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221 This theorem is referenced by:  itg2eqa  24345
 Copyright terms: Public domain W3C validator