Theorem itg2i1fseqle 25924

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25891, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseqle	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑀))
2	1	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
4		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
6	5	ad2antlr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
7		nnuz 12907	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9		itg2i1fseq.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
10		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
11	10	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
12		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	breq12d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
14	13	rspccva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
15	9, 14	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
16	15	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
17		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18	17	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
19		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ V
20	18, 3, 19	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
21	20	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
22		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
27	26	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
28	21, 27	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
32	31	ralimi 3101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
35	17, 34	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	35	rspccva 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
37	33, 36	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38		ffn 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
39	23, 24, 38	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
40		peano2nn 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
42	22, 40, 41	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43		i1ff 25846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44		ffn 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
45	42, 43, 44	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46		reex 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48		inidm 4178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
50		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
51	39, 45, 47, 47, 48, 49, 50	ofrfval 7686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
52	37, 51	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
53	52	r19.21bi 3256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
54	53	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
56	55	fveq1d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
58	56, 3, 57	fvmpt 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
59	40, 58	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
60	59	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
61	54, 21, 60	3brtr4d 5142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
62	61	adantllr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
63	7, 8, 16, 29, 62	climub 15720	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑦))
64	6, 63	eqbrtrrd 5134	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
65	64	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
66	22	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1)
67		i1ff 25846	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ)
68		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
69	66, 67, 68	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
70		itg2i1fseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71	70	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
72	71	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
73	46	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
75		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
76	69, 72, 73, 73, 48, 74, 75	ofrfval 7686	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦)))
77	65, 76	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∘_r cofr 7675  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11246   ≤ cle 11250  ℕcn 12239  [,)cico 13380   ⇝ cli 15542  MblFncmbf 25784  ∫₁citg1 25785  0_𝑝c0p 25839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-itg1 25790

This theorem is used by:  itg2i1fseq  25925  itg2i1fseq3  25927  itg2addlem  25928