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Theorem itg2i1fseqle 25272
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25239, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2i1fseq.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∘r ≀ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
21fveq1d 6894 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦))
3 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
4 fvex 6905 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘€) = ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦))
65ad2antlr 726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘€) = ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦))
7 nnuz 12865 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
8 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
10 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
1110mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
12 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
1311, 12breq12d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
1413rspccva 3612 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
159, 14sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
1615adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
1817fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
19 fvex 6905 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ V
2018, 3, 19fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
2120adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
2322ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25193 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜):β„βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜):β„βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2726an32s 651 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2821, 27eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2928adantllr 718 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
31 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
3231ralimi 3084 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
34 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3517, 34breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3635rspccva 3612 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3733, 36sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
38 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜π‘˜):β„βŸΆβ„ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) Fn ℝ)
3923, 24, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) Fn ℝ)
40 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
41 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
4222, 40, 41syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
43 i1ff 25193 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)):β„βŸΆβ„)
44 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)):β„βŸΆβ„ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) Fn ℝ)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) Fn ℝ)
46 reex 11201 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
48 inidm 4219 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
50 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
5139, 45, 47, 47, 48, 49, 50ofrfval 7680 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
5352r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
5453an32s 651 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
5655fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
57 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦) ∈ V
5856, 3, 57fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
5940, 58syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
6059adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))β€˜π‘¦))
6154, 21, 603brtr4d 5181 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜(π‘˜ + 1)))
6261adantllr 718 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜(π‘˜ + 1)))
637, 8, 16, 29, 62climub 15608 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
646, 63eqbrtrrd 5173 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6564ralrimiva 3147 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6622ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ dom ∫1)
67 i1ff 25193 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€):β„βŸΆβ„)
68 ffn 6718 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜π‘€):β„βŸΆβ„ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) Fn ℝ)
6966, 67, 683syl 18 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) Fn ℝ)
70 itg2i1fseq.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7170ffnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
7271adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
7346a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
74 eqidd 2734 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦))
75 eqidd 2734 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
7669, 72, 73, 73, 48, 74, 75ofrfval 7680 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘€) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘€)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
7765, 76mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∘r ≀ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  [,)cico 13326   ⇝ cli 15428  MblFncmbf 25131  βˆ«1citg1 25132  0𝑝c0p 25186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25273  itg2i1fseq3  25275  itg2addlem  25276
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