Theorem itg2i1fseqle 25709

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25676, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseqle	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑀))
2	1	fveq1d 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
4		fvex 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6936	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
6	5	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
7		nnuz 12816	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9		itg2i1fseq.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
10		fveq2 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
11	10	mpteq2dv 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
12		fveq2 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	breq12d 5087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
14	13	rspccva 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
15	9, 14	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
16	15	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
17		fveq2 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18	17	fveq1d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
19		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ V
20	18, 3, 19	fvmpt 6936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
22		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
27	26	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
28	21, 27	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 720	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
32	31	ralimi 3072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
35	17, 34	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	35	rspccva 3561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
37	33, 36	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38		ffn 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
39	23, 24, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
40		peano2nn 12175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
42	22, 40, 41	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43		i1ff 25631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44		ffn 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46		reex 11118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48		inidm 4157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
50		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
51	39, 45, 47, 47, 48, 49, 50	ofrfval 7630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
52	37, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
53	52	r19.21bi 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
54	53	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55		fveq2 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
56	55	fveq1d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57		fvex 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
58	56, 3, 57	fvmpt 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
59	40, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
60	59	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
61	54, 21, 60	3brtr4d 5106	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
62	61	adantllr 720	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
63	7, 8, 16, 29, 62	climub 15613	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑦))
64	6, 63	eqbrtrrd 5098	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
65	64	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
66	22	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1)
67		i1ff 25631	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ)
68		ffn 6657	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
69	66, 67, 68	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
70		itg2i1fseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71	70	ffnd 6658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
73	46	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
75		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
76	69, 72, 73, 73, 48, 74, 75	ofrfval 7630	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦)))
77	65, 76	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  Vcvv 3427   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  dom cdm 5620   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_r cofr 7619  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  +∞cpnf 11165   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  [,)cico 13289   ⇝ cli 15435  MblFncmbf 25569  ∫₁citg1 25570  0_𝑝c0p 25624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-itg1 25575

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25710  itg2i1fseq3  25712  itg2addlem  25713