Theorem itg2i1fseqle 25789

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25756, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseqle	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑀))
2	1	fveq1d 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
4		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
6	5	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
7		nnuz 12921	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9		itg2i1fseq.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
10		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
11	10	mpteq2dv 5244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
12		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	breq12d 5156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
14	13	rspccva 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
15	9, 14	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
17		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18	17	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
19		fvex 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ V
20	18, 3, 19	fvmpt 7016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
22		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
27	26	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
28	21, 27	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 719	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
32	31	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
35	17, 34	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	35	rspccva 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
37	33, 36	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
39	23, 24, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
40		peano2nn 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
42	22, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43		i1ff 25711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46		reex 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48		inidm 4227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
50		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
51	39, 45, 47, 47, 48, 49, 50	ofrfval 7707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
52	37, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
53	52	r19.21bi 3251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
54	53	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
56	55	fveq1d 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57		fvex 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
58	56, 3, 57	fvmpt 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
59	40, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
60	59	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
61	54, 21, 60	3brtr4d 5175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
62	61	adantllr 719	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
63	7, 8, 16, 29, 62	climub 15698	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑦))
64	6, 63	eqbrtrrd 5167	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
65	64	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
66	22	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1)
67		i1ff 25711	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ)
68		ffn 6736	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
69	66, 67, 68	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
70		itg2i1fseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71	70	ffnd 6737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
73	46	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
75		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
76	69, 72, 73, 73, 48, 74, 75	ofrfval 7707	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦)))
77	65, 76	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_r cofr 7696  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  [,)cico 13389   ⇝ cli 15520  MblFncmbf 25649  ∫₁citg1 25650  0_𝑝c0p 25704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-itg1 25655

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25790  itg2i1fseq3  25792  itg2addlem  25793