MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseqle 25119
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25086, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘r𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑀))
21fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
3 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
4 fvex 6855 . . . . . 6 ((𝑃𝑀)‘𝑦) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
65ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
7 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
10 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
1110mpteq2dv 5207 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
12 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1311, 12breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
1413rspccva 3580 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
159, 14sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
1615adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
17 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
1817fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
19 fvex 6855 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ V
2018, 3, 19fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
2120adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25040 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2726an32s 650 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2821, 27eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 717 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3231ralimi 3086 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3517, 34breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3635rspccva 3580 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3733, 36sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
3923, 24, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
40 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
4222, 40, 41syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43 i1ff 25040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46 reex 11142 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48 inidm 4178 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
50 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5139, 45, 47, 47, 48, 49, 50ofrfval 7627 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5352r19.21bi 3234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5453an32s 650 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
5655fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
5856, 3, 57fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5940, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6059adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6154, 21, 603brtr4d 5137 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
6261adantllr 717 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
637, 8, 16, 29, 62climub 15546 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹𝑦))
646, 63eqbrtrrd 5129 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6564ralrimiva 3143 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6622ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ dom ∫1)
67 i1ff 25040 . . . 4 ((𝑃𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ)
68 ffn 6668 . . . 4 ((𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
6966, 67, 683syl 18 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
70 itg2i1fseq.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7170ffnd 6669 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
7271adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
7346a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74 eqidd 2737 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
75 eqidd 2737 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
7669, 72, 73, 73, 48, 74, 75ofrfval 7627 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦)))
7765, 76mpbird 256 1 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘r𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cle 11190  cn 12153  [,)cico 13266  cli 15366  MblFncmbf 24978  1citg1 24979  0𝑝c0p 25033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25120  itg2i1fseq3  25122  itg2addlem  25123
  Copyright terms: Public domain W3C validator