Theorem itg2i1fseqle 25504

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 25471, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseqle	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑀))
2	1	fveq1d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
4		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6997	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
6	5	ad2antlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
7		nnuz 12869	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9		itg2i1fseq.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
10		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
11	10	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
12		fveq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	11, 12	breq12d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
14	13	rspccva 3610	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
15	9, 14	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
16	15	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
17		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18	17	fveq1d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
19		fvex 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ V
20	18, 3, 19	fvmpt 6997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
21	20	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
22		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
27	26	an32s 648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
28	21, 27	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
32	31	ralimi 3081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
35	17, 34	breq12d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	35	rspccva 3610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
37	33, 36	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38		ffn 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
39	23, 24, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) Fn ℝ)
40		peano2nn 12228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
42	22, 40, 41	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43		i1ff 25425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44		ffn 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46		reex 11203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48		inidm 4217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49		eqidd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑦))
50		eqidd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
51	39, 45, 47, 47, 48, 49, 50	ofrfval 7682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
52	37, 51	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
53	52	r19.21bi 3246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
54	53	an32s 648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
56	55	fveq1d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57		fvex 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
58	56, 3, 57	fvmpt 6997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
59	40, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
60	59	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
61	54, 21, 60	3brtr4d 5179	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
62	61	adantllr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
63	7, 8, 16, 29, 62	climub 15612	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑦))
64	6, 63	eqbrtrrd 5171	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
65	64	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦))
66	22	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1)
67		i1ff 25425	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ)
68		ffn 6716	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
69	66, 67, 68	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) Fn ℝ)
70		itg2i1fseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71	70	ffnd 6717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
72	71	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
73	46	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑀)‘𝑦))
75		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
76	69, 72, 73, 73, 48, 74, 75	ofrfval 7682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑦)))
77	65, 76	mpbird 256	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑀) ∘r ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘_r cofr 7671  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  [,)cico 13330   ⇝ cli 15432  MblFncmbf 25363  ∫₁citg1 25364  0_𝑝c0p 25418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-itg1 25369

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25505  itg2i1fseq3  25507  itg2addlem  25508