Theorem itg1lea 25681

Description: Approximate version of itg1le 25682. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₁𝐹 ≤ ∫₁𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
3		i1fsub 25677	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
5		itg10a.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg10a.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		itg1lea.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
8		eldifi 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1ff 25645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
11	10	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
12		i1ff 25645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	11, 14	subge0d 11739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
16	8, 15	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
17	7, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
18	10	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
19	13	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
20		reex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
22		inidm 4181	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	18, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
26	8, 25	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
27	17, 26	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥))
28	4, 5, 6, 27	itg1ge0a 25680	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)))
29		itg1sub 25678	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
30	1, 2, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
31	28, 30	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
32		itg1cl 25654	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
34		itg1cl 25654	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
35	2, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
36	33, 35	subge0d 11739	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)) ↔ (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺)))
37	31, 36	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179   − cmin 11376  vol*covol 25431  ∫₁citg1 25584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589

This theorem is referenced by:  itg1le  25682  itg2uba  25712  itg2splitlem  25717