MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1lea 25093
Description: Approximate version of itg1le 25094. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫1𝐹 ≀ ∫1𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1lea.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1lea (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
3 i1fsub 25089 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹) ∈ dom ∫1)
41, 2, 3syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹) ∈ dom ∫1)
5 itg10a.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg10a.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
7 itg1lea.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
8 eldifi 4091 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 i1ff 25056 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
1110ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12 i1ff 25056 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1511, 14subge0d 11752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
168, 15sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
177, 16mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
1810ffnd 6674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
1913ffnd 6674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
20 reex 11149 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
22 inidm 4183 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
24 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2518, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7633 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
268, 25sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2717, 26breqtrrd 5138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯))
284, 5, 6, 27itg1ge0a 25092 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)))
29 itg1sub 25090 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)) = ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
301, 2, 29syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)) = ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
3128, 30breqtrd 5136 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
32 itg1cl 25065 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
331, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
34 itg1cl 25065 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
352, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3633, 35subge0d 11752 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ)))
3731, 36mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  vol*covol 24842  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg1le  25094  itg2uba  25124  itg2splitlem  25129
  Copyright terms: Public domain W3C validator