Theorem itg1lea 26063

Description: Approximate version of itg1le 26064. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₁𝐹 ≤ ∫₁𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
3		i1fsub 26059	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
5		itg10a.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg10a.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		itg1lea.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
8		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1ff 26027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
11	10	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
12		i1ff 26027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	2, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	11, 14	subge0d 11933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
16	8, 15	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
17	7, 16	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
18	10	ffnd 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
19	13	ffnd 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
20		reex 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
22		inidm 4126	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	18, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
26	8, 25	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
27	17, 26	breqtrrd 5136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥))
28	4, 5, 6, 27	itg1ge0a 26062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)))
29		itg1sub 26060	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
30	1, 2, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
31	28, 30	breqtrd 5134	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
32		itg1cl 26036	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
33	1, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
34		itg1cl 26036	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
35	2, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
36	33, 35	subge0d 11933	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)) ↔ (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺)))
37	31, 36	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  ℝcr 11226  0cc0 11227   ≤ cle 11371   − cmin 11568  vol*covol 25813  ∫₁citg1 25966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xadd 13269  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-xmet 21701  df-met 21702  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971

This theorem is used by:  itg1le  26064  itg2uba  26094  itg2splitlem  26099