Theorem itg1lea 25762

Description: Approximate version of itg1le 25763. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₁𝐹 ≤ ∫₁𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
3		i1fsub 25758	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
5		itg10a.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg10a.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		itg1lea.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
8		eldifi 4141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1ff 25725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
11	10	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
12		i1ff 25725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	11, 14	subge0d 11851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
16	8, 15	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
17	7, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
18	10	ffnd 6738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
19	13	ffnd 6738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
20		reex 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
22		inidm 4235	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	18, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
26	8, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
27	17, 26	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥))
28	4, 5, 6, 27	itg1ge0a 25761	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)))
29		itg1sub 25759	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
30	1, 2, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
31	28, 30	breqtrd 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
32		itg1cl 25734	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
34		itg1cl 25734	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
35	2, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
36	33, 35	subge0d 11851	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)) ↔ (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺)))
37	31, 36	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294   − cmin 11490  vol*covol 25511  ∫₁citg1 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669

This theorem is referenced by:  itg1le  25763  itg2uba  25793  itg2splitlem  25798