Theorem itg1lea 25662

Description: Approximate version of itg1le 25663. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₁𝐹 ≤ ∫₁𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
3		i1fsub 25658	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
5		itg10a.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg10a.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		itg1lea.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
8		eldifi 4127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1ff 25625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
11	10	ffvelcdmda 7099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
12		i1ff 25625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	11, 14	subge0d 11842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
16	8, 15	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
17	7, 16	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
18	10	ffnd 6728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
19	13	ffnd 6728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
20		reex 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
22		inidm 4221	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	18, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7702	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
26	8, 25	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
27	17, 26	breqtrrd 5180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥))
28	4, 5, 6, 27	itg1ge0a 25661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)))
29		itg1sub 25659	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
30	1, 2, 29	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
31	28, 30	breqtrd 5178	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
32		itg1cl 25634	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
34		itg1cl 25634	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
35	2, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
36	33, 35	subge0d 11842	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)) ↔ (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺)))
37	31, 36	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689  ℝcr 11145  0cc0 11146   ≤ cle 11287   − cmin 11482  vol*covol 25411  ∫₁citg1 25564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569

This theorem is referenced by:  itg1le  25663  itg2uba  25693  itg2splitlem  25698