Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1lea 24305
 Description: Approximate version of itg1le 24306. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫1𝐹 ≤ ∫1𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1lea (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
3 i1fsub 24301 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺f𝐹) ∈ dom ∫1)
41, 2, 3syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f𝐹) ∈ dom ∫1)
5 itg10a.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg10a.3 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 itg1lea.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
8 eldifi 4101 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 i1ff 24269 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
12 i1ff 24269 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1511, 14subge0d 11222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
168, 15sylan2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
177, 16mpbird 259 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
1810ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
1913ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
20 reex 10620 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
22 inidm 4193 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23 eqidd 2820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
24 eqidd 2820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
2518, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7410 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺f𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
268, 25sylan2 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺f𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
2717, 26breqtrrd 5085 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺f𝐹)‘𝑥))
284, 5, 6, 27itg1ge0a 24304 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺f𝐹)))
29 itg1sub 24302 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺f𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
301, 2, 29syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝐺f𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
3128, 30breqtrd 5083 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
32 itg1cl 24278 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
34 itg1cl 24278 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
352, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
3633, 35subge0d 11222 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)) ↔ (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺)))
3731, 36mpbid 234 1 (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3493   ∖ cdif 3931   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘f cof 7399  ℝcr 10528  0cc0 10529   ≤ cle 10668   − cmin 10862  vol*covol 24055  ∫1citg1 24208 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20530  df-met 20531  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213 This theorem is referenced by:  itg1le  24306  itg2uba  24336  itg2splitlem  24341
 Copyright terms: Public domain W3C validator