Theorem itg1lea 25629

Description: Approximate version of itg1le 25630. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₁𝐹 ≤ ∫₁𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg1lea	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1lea.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg10a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
3		i1fsub 25625	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f − 𝐹) ∈ dom ∫1)
5		itg10a.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg10a.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		itg1lea.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
8		eldifi 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1ff 25593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
11	10	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
12		i1ff 25593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14	13	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	11, 14	subge0d 11728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
16	8, 15	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
17	7, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
18	10	ffnd 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
19	13	ffnd 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
20		reex 11119	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
22		inidm 4180	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
25	18, 19, 21, 21, 22, 23, 24	ofval 7628	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
26	8, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
27	17, 26	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺 ∘f − 𝐹)‘𝑥))
28	4, 5, 6, 27	itg1ge0a 25628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)))
29		itg1sub 25626	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
30	1, 2, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐺 ∘f − 𝐹)) = ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
31	28, 30	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)))
32		itg1cl 25602	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
34		itg1cl 25602	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
35	2, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
36	33, 35	subge0d 11728	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((∫1‘𝐺) − (∫1‘𝐹)) ↔ (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺)))
37	31, 36	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169   − cmin 11365  vol*covol 25379  ∫₁citg1 25532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537

This theorem is referenced by:  itg1le  25630  itg2uba  25660  itg2splitlem  25665