MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1lea 25597
Description: Approximate version of itg1le 25598. If 𝐹 ≀ 𝐺 for almost all π‘₯, then ∫1𝐹 ≀ ∫1𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg1lea.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg1lea (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg10a.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
3 i1fsub 25593 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹) ∈ dom ∫1)
41, 2, 3syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹) ∈ dom ∫1)
5 itg10a.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg10a.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
7 itg1lea.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
8 eldifi 4121 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
1110ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1413ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1511, 14subge0d 11808 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
168, 15sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
177, 16mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
1810ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
1913ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
20 reex 11203 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
22 inidm 4213 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
24 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2518, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7678 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
268, 25sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2717, 26breqtrrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ 0 ≀ ((𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)β€˜π‘₯))
284, 5, 6, 27itg1ge0a 25596 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)))
29 itg1sub 25594 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)) = ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
301, 2, 29syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(𝐺 ∘f βˆ’ 𝐹)) = ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
3128, 30breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)))
32 itg1cl 25569 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
331, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
34 itg1cl 25569 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
352, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3633, 35subge0d 11808 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((∫1β€˜πΊ) βˆ’ (∫1β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ)))
3731, 36mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  vol*covol 25346  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  itg1le  25598  itg2uba  25628  itg2splitlem  25633
  Copyright terms: Public domain W3C validator