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Theorem itg2splitlem 24356
Description: Lemma for itg2split 24357. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 24293 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))
76i1fres 24313 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 24293 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))
1413i1fres 24313 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 24293 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 10663 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
23 inss1 4158 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
24 mblss 24139 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2623, 25sstrid 3929 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
30 reex 10621 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
32 fvex 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
33 c0ex 10628 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4476 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4476 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
38 eqidd 2802 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)))
39 eqidd 2802 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7410 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
4140adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
428, 15i1fadd 24303 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2894 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 24284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4948leidd 11199 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
5049adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
51 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
5251adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
53 eldifn 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
5453adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
55 elin 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5654, 55sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
57 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5856, 57sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵))
5958imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑦𝐵)
60 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = ((𝑓𝑦) + 0))
6348recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6463adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6564addid1d 10833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑓𝑦) + 0) = (𝑓𝑦))
6662, 65eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (𝑓𝑦))
6750, 66breqtrrd 5061 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
6849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
69 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7069adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7168, 70breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
7473eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝐴𝐵)))
75 elun 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
7674, 75syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
7776notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
78 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
7977, 78syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)))
8079biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦𝑈)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓r𝐻)
8245ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85 0e0iccpnf 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8784, 86ifclda 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
8987, 88fmptd 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
9089ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
9190adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
9230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ℝ ∈ V)
93 inidm 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑦))
95 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
9682, 91, 92, 92, 93, 94, 95ofrfval 7401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
9781, 96mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9897r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9946, 98sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10099adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10146adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈))
103 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦
104 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
10588, 104nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
106105, 103nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑦)
107106nfeq1 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦) = 0
108 fveqeq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = 0 ↔ (𝐻𝑦) = 0))
109 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈))
11088fvmpt2i 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻𝑥) = ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
111 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112111fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113 0cn 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
114 fvi 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I ‘0) = 0
116112, 115eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117110, 116sylan9eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
118109, 117sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
119103, 107, 108, 118vtoclgaf 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
120102, 119sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
121101, 120sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
122100, 121breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12380, 122syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
124123anassrs 471 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12560adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
126124, 125breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
12771, 126pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
128 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
129128adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
130129oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
131 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 ifcl 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
13348, 131, 132sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
134133recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
135134adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
136135addid2d 10834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
137130, 136eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
138127, 137breqtrrd 5061 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
13967, 138pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
140 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
141 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
142140, 141ifbieq1d 4451 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0))
143 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
144143, 141ifbieq1d 4451 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
145142, 144oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
146 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
147 ovex 7172 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6749 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
149101, 148syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
150139, 149breqtrrd 5061 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦))
1511, 27, 29, 43, 150itg1lea 24320 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15241fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
1538, 15itg1add 24309 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
154152, 153eqtr3d 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
155151, 154breqtrd 5059 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15619adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
15720adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
158 ssun1 4102 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
159158, 72sseqtrrid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
160159sselda 3918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
161160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
162161, 84syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164162, 163ifclda 4462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
166164, 165fmptd 6859 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167166adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
169 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑓
171 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑥r
172170, 171, 105nfbr 5080 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓r𝐻
173169, 172nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)
174168, 173nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻))
1755, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176175sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
17987adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
18044adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181180feqmptd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
18288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
183177, 178, 179, 181, 182ofrfval2 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
184183biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
185184impr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
186185r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
187176, 186syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
188160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
189188iftrued 4436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190187, 189breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
191 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
192191adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
193 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194193adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195190, 192, 1943brtr4d 5065 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
196 0le0 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
198 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = 0)
199 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200197, 198, 1993brtr4d 5065 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
201200adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
202195, 201pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
203202a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
204174, 203ralrimi 3183 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
205165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
20631, 35, 164, 38, 205ofrfval2 7411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
207206adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
208204, 207mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹)
209 itg2ub 24341 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
210167, 8, 208, 209syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
211 ssun2 4103 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
212211, 72sseqtrrid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑈)
213212sselda 3918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
214213adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
215214, 84syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217215, 216ifclda 4462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
219217, 218fmptd 6859 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220219adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221 mblss 24139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
22212, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223222sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224223, 186syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
225213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
226225iftrued 4436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227224, 226breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
228 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
229228adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
230 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231230adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232227, 229, 2313brtr4d 5065 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
233196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → 0 ≤ 0)
234 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = 0)
235 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236233, 234, 2353brtr4d 5065 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
237236adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
238232, 237pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
239238a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
240174, 239ralrimi 3183 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
241218a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
24231, 37, 217, 39, 241ofrfval2 7411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
243242adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
244240, 243mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺)
245 itg2ub 24341 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
246220, 15, 244, 245syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
24710, 17, 156, 157, 210, 246le2addd 11252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2483, 18, 22, 155, 247letrd 10790 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
249248expr 460 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
250249ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
25121rexrd 10684 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
252 itg2leub 24342 . . 3 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
25389, 251, 252syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
254250, 253mpbird 260 1 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  cin 3883  wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113   I cid 5427  dom cdm 5523   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  f cof 7391  r cofr 7392  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  *cxr 10667  cle 10669  [,]cicc 12733  vol*covol 24070  volcvol 24071  1citg1 24223  2citg2 24224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cmp 21996  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228  df-itg2 24229
This theorem is referenced by:  itg2split  24357
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