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Theorem itg2splitlem 25129
Description: Lemma for itg2split 25130. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
itg2split.i (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
itg2split.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
itg2split.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
itg2split.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
itg2split.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
itg2split.sf (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2split.sg (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25065 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))
76i1fres 25086 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 25065 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))
1413i1fres 25086 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 25065 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
23 inss1 4193 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
24 mblss 24911 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2623, 25sstrid 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
30 reex 11149 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
32 fvex 6860 . . . . . . . . . . . 12 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V
33 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4541 . . . . . . . . . . 11 if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4541 . . . . . . . . . . 11 if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V)
38 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
39 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7642 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))))
428, 15i1fadd 25075 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 25056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
46 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4948leidd 11728 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
5049adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
51 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
53 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
55 elin 3931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5654, 55sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
57 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡))
5958imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = ((π‘“β€˜π‘¦) + 0))
6348recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
6564addid1d 11362 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) + 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
6662, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = (π‘“β€˜π‘¦))
6750, 66breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
6849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
69 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
7168, 70breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
7473eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
75 elun 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡))
7674, 75bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡)))
7776notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡)))
78 ioran 983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)))
8079biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)
8245ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
83 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
85 0e0iccpnf 13383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
8784, 86ifclda 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
88 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
8987, 88fmptd 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
9089ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
9230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ℝ ∈ V)
93 inidm 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
95 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
9682, 91, 92, 92, 93, 94, 95ofrfval 7632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
9781, 96mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
9897r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
9946, 98sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
10146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
102 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
103 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝑦
104 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
10588, 104nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝐻
106105, 103nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦)
107106nfeq1 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦) = 0
108 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π»β€˜π‘¦) = 0))
109 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
11088fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π»β€˜π‘₯) = ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
111 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 0)
112111fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)) = ( I β€˜0))
113 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ β„‚
114 fvi 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I β€˜0) = 0
116112, 115eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)) = 0)
117110, 116sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0)
118109, 117sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0)
119103, 107, 108, 118vtoclgaf 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
120102, 119sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
121101, 120sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
122100, 121breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
12380, 122syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
124123anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
12560adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
126124, 125breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
12771, 126pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
128 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
129128adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
130129oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
131 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
13348, 131, 132sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
134133recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ β„‚)
135134adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ β„‚)
136135addid2d 11363 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0 + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
137130, 136eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
138127, 137breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
13967, 138pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
140 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
141 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
142140, 141ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
143 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
144143, 141ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
145142, 144oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
146 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
147 ovex 7395 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
149101, 148syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
150139, 149breqtrrd 5138 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦))
1511, 27, 29, 43, 150itg1lea 25093 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
15241fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
1538, 15itg1add 25082 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
154152, 153eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
155151, 154breqtrd 5136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
15619adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
15720adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
158 ssun1 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
159158, 72sseqtrrid 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
160159sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
161160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
162161, 84syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
16385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
164162, 163ifclda 4526 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
165 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
166164, 165fmptd 7067 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
167166adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
168 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯πœ‘
169 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ dom ∫1
170 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑓
171 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ ∘r ≀
172170, 171, 105nfbr 5157 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻
173169, 172nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)
174168, 173nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻))
1755, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
176175sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
17832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
17987adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
18044adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
181180feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
18288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
183177, 178, 179, 181, 182ofrfval2 7643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
184183biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
185184impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
186185r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
187176, 186syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
188160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
189188iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
190187, 189breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 𝐢)
191 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
192191adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
193 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
194193adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
195190, 192, 1943brtr4d 5142 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
196 0le0 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
198 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = 0)
199 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
200197, 198, 1993brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
201200adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
202195, 201pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
203202a1d 25 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
204174, 203ralrimi 3243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
205165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
20631, 35, 164, 38, 205ofrfval2 7643 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
207206adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
208204, 207mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
209 itg2ub 25114 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
210167, 8, 208, 209syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
211 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
212211, 72sseqtrrid 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
213212sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
214213adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
215214, 84syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
21685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
217215, 216ifclda 4526 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
218 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
219217, 218fmptd 7067 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
220219adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
221 mblss 24911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
22212, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
223222sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
224223, 186syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
225213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
226225iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
227224, 226breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 𝐢)
228 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
229228adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
230 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 𝐢)
231230adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 𝐢)
232227, 229, 2313brtr4d 5142 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
233196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ 0 ≀ 0)
234 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = 0)
235 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 0)
236233, 234, 2353brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
237236adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
238232, 237pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
239238a1d 25 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
240174, 239ralrimi 3243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
241218a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
24231, 37, 217, 39, 241ofrfval2 7643 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
243242adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
244240, 243mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺)
245 itg2ub 25114 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΊ))
246220, 15, 244, 245syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΊ))
24710, 17, 156, 157, 210, 246le2addd 11781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2483, 18, 22, 155, 247letrd 11319 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
249248expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
250249ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
25121rexrd 11212 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
252 itg2leub 25115 . . 3 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))))
25389, 251, 252syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))))
254250, 253mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ∘r cofr 7621  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  [,]cicc 13274  vol*covol 24842  volcvol 24843  βˆ«1citg1 24995  βˆ«2citg2 24996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001
This theorem is referenced by:  itg2split  25130
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