Theorem itg2splitlem 25665

Description: Lemma for itg2split 25666. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 25602	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))
7	6	i1fres 25622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
8	1, 5, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9		itg1cl 25602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))
14	13	i1fres 25622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
15	1, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16		itg1cl 25602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
21	19, 20	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
23		inss1 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
24		mblss 25448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	23, 25	sstrid 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
30		reex 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
32		fvex 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
33		c0ex 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 33	ifex 4529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
36	32, 33	ifex 4529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
38		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)))
39		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
42	8, 15	i1fadd 25612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
43	41, 42	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44		i1ff 25593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47		ffvelcdm 7019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
49	48	leidd 11704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
51		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
53		eldifn 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
55		elin 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
56	54, 55	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
57		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
58	56, 57	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
60		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
62	52, 61	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = ((𝑓‘𝑦) + 0))
63	48	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
65	64	addridd 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) + 0) = (𝑓‘𝑦))
66	62, 65	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (𝑓‘𝑦))
67	50, 66	breqtrrd 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
68	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
69		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
71	68, 70	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
73	72	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
74	73	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
75		elun 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵))
76	74, 75	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
77	76	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
78		ioran 985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
79	77, 78	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
81		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)
82	45	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
84	83	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85		0e0iccpnf 13380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
87	84, 86	ifclda 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
89	87, 88	fmptd 7052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
90	89	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
92	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ℝ ∈ V)
93		inidm 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
95		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
96	82, 91, 92, 92, 93, 94, 95	ofrfval 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
97	81, 96	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
98	97	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
99	46, 98	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
101	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102		eldif 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈))
103		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
104		nfmpt1 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
105	88, 104	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
106	105, 103	nffv 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
107	106	nfeq1 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦) = 0
108		fveqeq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) = 0 ↔ (𝐻‘𝑦) = 0))
109		eldif 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
110	88	fvmpt2i 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻‘𝑥) = ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
111		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112	111	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113		0cn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
114		fvi 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( I ‘0) = 0
116	112, 115	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117	110, 116	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
118	109, 117	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
119	103, 107, 108, 118	vtoclgaf 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
120	102, 119	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
121	101, 120	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
122	100, 121	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
123	80, 122	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
124	123	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
125	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
126	124, 125	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
127	71, 126	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
128		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
130	129	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
131		0re 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
132		ifcl 4524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
133	48, 131, 132	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
134	133	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
136	135	addlidd 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
137	130, 136	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
138	127, 137	breqtrrd 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
139	67, 138	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
140		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
141		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
142	140, 141	ifbieq1d 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0))
143		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
144	143, 141	ifbieq1d 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
145	142, 144	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
146		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
147		ovex 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) ∈ V
148	145, 146, 147	fvmpt 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
149	101, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
150	139, 149	breqtrrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦))
151	1, 27, 29, 43, 150	itg1lea 25629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
152	41	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
153	8, 15	itg1add 25618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
154	152, 153	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
155	151, 154	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
156	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
157	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
158		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
159	158, 72	sseqtrrid 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
160	159	sselda 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
161	160	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
162	161, 84	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164	162, 163	ifclda 4514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165		itg2split.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
166	164, 165	fmptd 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167	166	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
169		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
171		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘r ≤
172	170, 171, 105	nfbr 5142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘r ≤ 𝐻
173	169, 172	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)
174	168, 173	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻))
175	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176	175	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
177	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
178	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
179	87	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
180	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181	180	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
182	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
183	177, 178, 179, 181, 182	ofrfval2 7638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
184	183	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
185	184	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
186	185	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
187	176, 186	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
188	160	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
189	188	iftrued 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190	187, 189	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
191		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
193		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194	193	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195	190, 192, 194	3brtr4d 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
196		0le0 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 0
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0)
198		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
199		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200	197, 198, 199	3brtr4d 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
201	200	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
202	195, 201	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
203	202	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
204	174, 203	ralrimi 3227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
205	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
206	31, 35, 164, 38, 205	ofrfval2 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
207	206	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
208	204, 207	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
209		itg2ub 25650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
210	167, 8, 208, 209	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
211		ssun2 4132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
212	211, 72	sseqtrrid 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
213	212	sselda 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
214	213	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
215	214, 84	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
216	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217	215, 216	ifclda 4514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218		itg2split.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
219	217, 218	fmptd 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220	219	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221		mblss 25448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
222	12, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223	222	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224	223, 186	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
225	213	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
226	225	iftrued 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227	224, 226	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
228		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
229	228	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
230		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232	227, 229, 231	3brtr4d 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
233	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 0)
234		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
235		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236	233, 234, 235	3brtr4d 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
237	236	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
238	232, 237	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
239	238	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
240	174, 239	ralrimi 3227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
241	218	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
242	31, 37, 217, 39, 241	ofrfval2 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
243	242	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
244	240, 243	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺)
245		itg2ub 25650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
246	220, 15, 244, 245	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
247	10, 17, 156, 157, 210, 246	le2addd 11757	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
248	3, 18, 22, 155, 247	letrd 11291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
249	248	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
250	249	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
251	21	rexrd 11184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
252		itg2leub 25651	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
253	89, 251, 252	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
254	250, 253	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   I cid 5517  dom cdm 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269  vol*covol 25379  volcvol 25380  ∫₁citg1 25532  ∫₂citg2 25533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cmp 23290  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538

This theorem is referenced by:  itg2split  25666