MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2splitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2splitlem 25113
Description: Lemma for itg2split 25114. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25049 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))
76i1fres 25070 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 25049 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))
1413i1fres 25070 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 25049 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11184 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 11184 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
23 inss1 4188 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
24 mblss 24895 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2623, 25sstrid 3955 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
30 reex 11142 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
32 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
33 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4536 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4536 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
38 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)))
39 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
428, 15i1fadd 25059 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 25040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4948leidd 11721 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
5049adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
51 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
53 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
55 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5654, 55sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
57 imnan 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑦𝐵)
60 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = ((𝑓𝑦) + 0))
6348recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6564addid1d 11355 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑓𝑦) + 0) = (𝑓𝑦))
6662, 65eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (𝑓𝑦))
6750, 66breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
6849ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
69 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7168, 70breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7372ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
7473eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝐴𝐵)))
75 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
7674, 75bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
7776notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
78 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
7977, 78bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)))
8079biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦𝑈)
81 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓r𝐻)
8245ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85 0e0iccpnf 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8784, 86ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
8987, 88fmptd 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
9089ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
9230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ℝ ∈ V)
93 inidm 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑦))
95 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
9682, 91, 92, 92, 93, 94, 95ofrfval 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
9781, 96mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9897r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9946, 98sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈))
103 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦
104 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
10588, 104nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
106105, 103nffv 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑦)
107106nfeq1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦) = 0
108 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = 0 ↔ (𝐻𝑦) = 0))
109 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈))
11088fvmpt2i 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻𝑥) = ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
111 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112111fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
114 fvi 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I ‘0) = 0
116112, 115eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117110, 116sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
118109, 117sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
119103, 107, 108, 118vtoclgaf 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
120102, 119sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
121101, 120sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
122100, 121breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12380, 122syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
124123anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12560adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
126124, 125breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
12771, 126pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
128 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
129128adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
130129oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
131 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
13348, 131, 132sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
134133recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
135134adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
136135addid2d 11356 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
137130, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
138127, 137breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
13967, 138pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
140 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
141 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
142140, 141ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0))
143 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
144143, 141ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
145142, 144oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
146 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
147 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
149101, 148syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
150139, 149breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦))
1511, 27, 29, 43, 150itg1lea 25077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15241fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
1538, 15itg1add 25066 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
154152, 153eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
155151, 154breqtrd 5131 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15619adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
15720adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
158 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
159158, 72sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
160159sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
161160adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
162161, 84syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164162, 163ifclda 4521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
166164, 165fmptd 7062 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167166adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
169 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑓
171 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥r
172170, 171, 105nfbr 5152 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓r𝐻
173169, 172nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)
174168, 173nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻))
1755, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176175sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
17987adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
18044adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181180feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
18288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
183177, 178, 179, 181, 182ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
184183biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
185184impr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
186185r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
187176, 186syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
188160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
189188iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190187, 189breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
191 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
192191adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
193 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194193adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195190, 192, 1943brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
196 0le0 12254 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
198 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = 0)
199 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200197, 198, 1993brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
201200adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
202195, 201pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
203202a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
204174, 203ralrimi 3240 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
205165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
20631, 35, 164, 38, 205ofrfval2 7638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
207206adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
208204, 207mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹)
209 itg2ub 25098 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
210167, 8, 208, 209syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
211 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
212211, 72sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑈)
213212sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
214213adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
215214, 84syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217215, 216ifclda 4521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
219217, 218fmptd 7062 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220219adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221 mblss 24895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
22212, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223222sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224223, 186syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
225213adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
226225iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227224, 226breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
228 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
229228adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
230 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231230adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232227, 229, 2313brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
233196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → 0 ≤ 0)
234 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = 0)
235 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236233, 234, 2353brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
237236adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
238232, 237pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
239238a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
240174, 239ralrimi 3240 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
241218a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
24231, 37, 217, 39, 241ofrfval2 7638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
243242adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
244240, 243mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺)
245 itg2ub 25098 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
246220, 15, 244, 245syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
24710, 17, 156, 157, 210, 246le2addd 11774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2483, 18, 22, 155, 247letrd 11312 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
249248expr 457 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
250249ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
25121rexrd 11205 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
252 itg2leub 25099 . . 3 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
25389, 251, 252syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
254250, 253mpbird 256 1 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  r cofr 7616  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  [,]cicc 13267  vol*covol 24826  volcvol 24827  1citg1 24979  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985
This theorem is referenced by:  itg2split  25114
  Copyright terms: Public domain W3C validator