MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2splitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2splitlem 25783
Description: Lemma for itg2split 25784. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25720 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))
76i1fres 25740 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 25720 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))
1413i1fres 25740 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 25720 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11290 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
23 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
24 mblss 25566 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2623, 25sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
30 reex 11246 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
32 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
33 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4576 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4576 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
38 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)))
39 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7717 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
428, 15i1fadd 25730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 25711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4948leidd 11829 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
5049adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
51 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
53 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
55 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5654, 55sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
57 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5856, 57sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑦𝐵)
60 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = ((𝑓𝑦) + 0))
6348recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6564addridd 11461 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑓𝑦) + 0) = (𝑓𝑦))
6662, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (𝑓𝑦))
6750, 66breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
6849ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
69 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7168, 70breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
7473eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝐴𝐵)))
75 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
7674, 75bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
7776notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
78 ioran 986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)))
8079biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦𝑈)
81 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓r𝐻)
8245ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85 0e0iccpnf 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8784, 86ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
8987, 88fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
9089ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
9230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ℝ ∈ V)
93 inidm 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑦))
95 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
9682, 91, 92, 92, 93, 94, 95ofrfval 7707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
9781, 96mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9897r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
9946, 98sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈))
103 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦
104 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
10588, 104nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
106105, 103nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑦)
107106nfeq1 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦) = 0
108 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = 0 ↔ (𝐻𝑦) = 0))
109 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈))
11088fvmpt2i 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻𝑥) = ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
111 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112111fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
114 fvi 6985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I ‘0) = 0
116112, 115eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117110, 116sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
118109, 117sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
119103, 107, 108, 118vtoclgaf 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
120102, 119sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
121101, 120sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
122100, 121breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12380, 122syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
124123anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12560adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
126124, 125breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
12771, 126pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
128 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
130129oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
131 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
13348, 131, 132sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
134133recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
136135addlidd 11462 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
137130, 136eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
138127, 137breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
13967, 138pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
140 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
141 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
142140, 141ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0))
143 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
144143, 141ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
145142, 144oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
146 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
147 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
149101, 148syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
150139, 149breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦))
1511, 27, 29, 43, 150itg1lea 25747 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15241fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
1538, 15itg1add 25736 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
154152, 153eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
155151, 154breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15619adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
15720adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
158 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
159158, 72sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
160159sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
161160adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
162161, 84syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164162, 163ifclda 4561 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
166164, 165fmptd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167166adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
169 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑓
171 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥r
172170, 171, 105nfbr 5190 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓r𝐻
173169, 172nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)
174168, 173nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻))
1755, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176175sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
17987adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
18044adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181180feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
18288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
183177, 178, 179, 181, 182ofrfval2 7718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
184183biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
185184impr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
186185r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
187176, 186syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
188160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
189188iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190187, 189breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
191 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
192191adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
193 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194193adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195190, 192, 1943brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
196 0le0 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
198 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = 0)
199 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200197, 198, 1993brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
201200adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
202195, 201pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
203202a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
204174, 203ralrimi 3257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
205165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
20631, 35, 164, 38, 205ofrfval2 7718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
207206adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
208204, 207mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹)
209 itg2ub 25768 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
210167, 8, 208, 209syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
211 ssun2 4179 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
212211, 72sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑈)
213212sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
214213adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
215214, 84syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217215, 216ifclda 4561 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
219217, 218fmptd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220219adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221 mblss 25566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
22212, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223222sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224223, 186syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
225213adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
226225iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227224, 226breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
228 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
229228adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
230 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231230adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232227, 229, 2313brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
233196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → 0 ≤ 0)
234 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = 0)
235 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236233, 234, 2353brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
237236adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
238232, 237pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
239238a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
240174, 239ralrimi 3257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
241218a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
24231, 37, 217, 39, 241ofrfval2 7718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
243242adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
244240, 243mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺)
245 itg2ub 25768 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘r𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
246220, 15, 244, 245syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
24710, 17, 156, 157, 210, 246le2addd 11882 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2483, 18, 22, 155, 247letrd 11418 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
249248expr 456 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
250249ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
25121rexrd 11311 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
252 itg2leub 25769 . . 3 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
25389, 251, 252syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
254250, 253mpbird 257 1 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  vol*covol 25497  volcvol 25498  1citg1 25650  2citg2 25651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656
This theorem is referenced by:  itg2split  25784
  Copyright terms: Public domain W3C validator