Theorem itg2splitlem 24818

Description: Lemma for itg2split 24819. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 24754	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))
7	6	i1fres 24775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
8	1, 5, 7	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9		itg1cl 24754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))
14	13	i1fres 24775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
15	1, 12, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16		itg1cl 24754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 10935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
21	19, 20	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
23		inss1 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
24		mblss 24600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	23, 25	sstrid 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
30		reex 10893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
32		fvex 6769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
33		c0ex 10900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 33	ifex 4506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
36	32, 33	ifex 4506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
38		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)))
39		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 7531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
42	8, 15	i1fadd 24764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
43	41, 42	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44		i1ff 24745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
49	48	leidd 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
51		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
53		eldifn 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
55		elin 3899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
56	54, 55	sylnib 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
57		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
58	56, 57	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
60		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
62	52, 61	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = ((𝑓‘𝑦) + 0))
63	48	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
65	64	addid1d 11105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) + 0) = (𝑓‘𝑦))
66	62, 65	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (𝑓‘𝑦))
67	50, 66	breqtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
68	49	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
69		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
71	68, 70	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
73	72	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
74	73	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
75		elun 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵))
76	74, 75	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
77	76	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
78		ioran 980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
79	77, 78	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
81		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)
82	45	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
84	83	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85		0e0iccpnf 13120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
87	84, 86	ifclda 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
89	87, 88	fmptd 6970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
90	89	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
92	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ℝ ∈ V)
93		inidm 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
95		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
96	82, 91, 92, 92, 93, 94, 95	ofrfval 7521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
97	81, 96	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
98	97	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
99	46, 98	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
101	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102		eldif 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈))
103		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
104		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
105	88, 104	nfcxfr 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
106	105, 103	nffv 6766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
107	106	nfeq1 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦) = 0
108		fveqeq2 6765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) = 0 ↔ (𝐻‘𝑦) = 0))
109		eldif 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
110	88	fvmpt2i 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻‘𝑥) = ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
111		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112	111	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113		0cn 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
114		fvi 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( I ‘0) = 0
116	112, 115	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117	110, 116	sylan9eq 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
118	109, 117	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
119	103, 107, 108, 118	vtoclgaf 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
120	102, 119	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
121	101, 120	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
122	100, 121	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
123	80, 122	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
124	123	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
125	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
126	124, 125	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
127	71, 126	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
128		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
130	129	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
131		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
132		ifcl 4501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
133	48, 131, 132	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
134	133	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
136	135	addid2d 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
137	130, 136	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
138	127, 137	breqtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
139	67, 138	pm2.61dan 809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
140		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
141		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
142	140, 141	ifbieq1d 4480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0))
143		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
144	143, 141	ifbieq1d 4480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
145	142, 144	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
146		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
147		ovex 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) ∈ V
148	145, 146, 147	fvmpt 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
149	101, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
150	139, 149	breqtrrd 5098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦))
151	1, 27, 29, 43, 150	itg1lea 24782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
152	41	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
153	8, 15	itg1add 24771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
154	152, 153	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
155	151, 154	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
156	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
157	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
158		ssun1 4102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
159	158, 72	sseqtrrid 3970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
160	159	sselda 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
161	160	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
162	161, 84	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164	162, 163	ifclda 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165		itg2split.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
166	164, 165	fmptd 6970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167	166	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
169		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
171		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘r ≤
172	170, 171, 105	nfbr 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘r ≤ 𝐻
173	169, 172	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)
174	168, 173	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻))
175	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176	175	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
177	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
178	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
179	87	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
180	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181	180	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
182	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
183	177, 178, 179, 181, 182	ofrfval2 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
184	183	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
185	184	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
186	185	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
187	176, 186	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
188	160	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
189	188	iftrued 4464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190	187, 189	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
191		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
193		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194	193	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195	190, 192, 194	3brtr4d 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
196		0le0 12004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 0
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0)
198		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
199		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200	197, 198, 199	3brtr4d 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
201	200	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
202	195, 201	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
203	202	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
204	174, 203	ralrimi 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
205	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
206	31, 35, 164, 38, 205	ofrfval2 7532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
207	206	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
208	204, 207	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
209		itg2ub 24803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
210	167, 8, 208, 209	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
211		ssun2 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
212	211, 72	sseqtrrid 3970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
213	212	sselda 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
214	213	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
215	214, 84	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
216	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217	215, 216	ifclda 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218		itg2split.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
219	217, 218	fmptd 6970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220	219	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221		mblss 24600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
222	12, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223	222	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224	223, 186	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
225	213	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
226	225	iftrued 4464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227	224, 226	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
228		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
229	228	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
230		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232	227, 229, 231	3brtr4d 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
233	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 0)
234		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
235		iffalse 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236	233, 234, 235	3brtr4d 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
237	236	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
238	232, 237	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
239	238	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
240	174, 239	ralrimi 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
241	218	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
242	31, 37, 217, 39, 241	ofrfval2 7532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
243	242	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
244	240, 243	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺)
245		itg2ub 24803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
246	220, 15, 244, 245	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
247	10, 17, 156, 157, 210, 246	le2addd 11524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
248	3, 18, 22, 155, 247	letrd 11062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
249	248	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
250	249	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
251	21	rexrd 10956	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
252		itg2leub 24804	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
253	89, 251, 252	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
254	250, 253	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  dom cdm 5580   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ∘_r cofr 7510  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  vol*covol 24531  volcvol 24532  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2split  24819