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Theorem itg2splitlem 25266
Description: Lemma for itg2split 25267. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
itg2split.i (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
itg2split.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
itg2split.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
itg2split.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
itg2split.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
itg2split.sf (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2split.sg (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25202 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))
76i1fres 25223 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 25202 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))
1413i1fres 25223 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 25202 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
23 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
24 mblss 25048 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2623, 25sstrid 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
30 reex 11201 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
32 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V
33 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4579 . . . . . . . . . . 11 if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4579 . . . . . . . . . . 11 if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ V)
38 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
39 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7690 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))))
428, 15i1fadd 25212 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 25193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
46 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4948leidd 11780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
5049adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
51 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
53 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
55 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5654, 55sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
57 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡))
5958imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = ((π‘“β€˜π‘¦) + 0))
6348recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
6564addridd 11414 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) + 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
6662, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = (π‘“β€˜π‘¦))
6750, 66breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
6849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π‘“β€˜π‘¦))
69 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = (π‘“β€˜π‘¦))
7168, 70breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
7473eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
75 elun 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡))
7674, 75bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡)))
7776notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡)))
78 ioran 983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ ↔ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)))
8079biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)
8245ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
83 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
85 0e0iccpnf 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
8784, 86ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
88 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
8987, 88fmptd 7114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
9089ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
9230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ℝ ∈ V)
93 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
95 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
9682, 91, 92, 92, 93, 94, 95ofrfval 7680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
9781, 96mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
9897r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
9946, 98sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
10146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
102 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
103 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝑦
104 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
10588, 104nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝐻
106105, 103nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦)
107106nfeq1 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦) = 0
108 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π»β€˜π‘¦) = 0))
109 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
11088fvmpt2i 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π»β€˜π‘₯) = ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
111 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 0)
112111fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)) = ( I β€˜0))
113 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ β„‚
114 fvi 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I β€˜0) = 0
116112, 115eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ( I β€˜if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)) = 0)
117110, 116sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0)
118109, 117sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0)
119103, 107, 108, 118vtoclgaf 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
120102, 119sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
121101, 120sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = 0)
122100, 121breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
12380, 122syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
124123anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ 0)
12560adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
126124, 125breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
12771, 126pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
128 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
129128adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) = 0)
130129oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
131 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
13348, 131, 132sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
134133recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ β„‚)
135134adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0) ∈ β„‚)
136135addlidd 11415 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0 + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
137130, 136eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
138127, 137breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
13967, 138pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
140 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
141 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
142140, 141ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
143 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
144143, 141ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0))
145142, 144oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
146 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))
147 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
149101, 148syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘¦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘¦), 0)))
150139, 149breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘¦))
1511, 27, 29, 43, 150itg1lea 25230 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
15241fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
1538, 15itg1add 25219 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
154152, 153eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) = ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
155151, 154breqtrd 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))))
15619adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
15720adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
158 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
159158, 72sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
160159sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
161160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
162161, 84syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
16385a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
164162, 163ifclda 4564 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
165 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
166164, 165fmptd 7114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
167166adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
168 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯πœ‘
169 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ dom ∫1
170 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑓
171 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ ∘r ≀
172170, 171, 105nfbr 5196 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻
173169, 172nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)
174168, 173nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻))
1755, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
176175sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
17832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
17987adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
18044adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
181180feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
18288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
183177, 178, 179, 181, 182ofrfval2 7691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
184183biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0)))
185184impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
186185r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
187176, 186syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
188160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
189188iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
190187, 189breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 𝐢)
191 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
192191adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
193 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
194193adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
195190, 192, 1943brtr4d 5181 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
196 0le0 12313 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
198 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = 0)
199 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
200197, 198, 1993brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
201200adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
202195, 201pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
203202a1d 25 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
204174, 203ralrimi 3255 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
205165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
20631, 35, 164, 38, 205ofrfval2 7691 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
207206adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
208204, 207mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
209 itg2ub 25251 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
210167, 8, 208, 209syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
211 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
212211, 72sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
213212sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
214213adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
215214, 84syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
21685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
217215, 216ifclda 4564 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
218 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
219217, 218fmptd 7114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
220219adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
221 mblss 25048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
22212, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
223222sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
224223, 186syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
225213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
226225iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
227224, 226breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 𝐢)
228 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
229228adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
230 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 𝐢)
231230adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 𝐢)
232227, 229, 2313brtr4d 5181 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
233196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ 0 ≀ 0)
234 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) = 0)
235 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 0)
236233, 234, 2353brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
237236adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
238232, 237pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
239238a1d 25 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
240174, 239ralrimi 3255 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
241218a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
24231, 37, 217, 39, 241ofrfval2 7691 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
243242adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
244240, 243mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺)
245 itg2ub 25251 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΊ))
246220, 15, 244, 245syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΊ))
24710, 17, 156, 157, 210, 246le2addd 11833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ ((∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (π‘“β€˜π‘₯), 0))) + (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, (π‘“β€˜π‘₯), 0)))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2483, 18, 22, 155, 247letrd 11371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐻)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
249248expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
250249ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
25121rexrd 11264 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
252 itg2leub 25252 . . 3 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))))
25389, 251, 252syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐻 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))))
254250, 253mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132  βˆ«2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138
This theorem is referenced by:  itg2split  25267
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