Theorem itg2splitlem 23806

Description: Lemma for itg2split 23807. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2splitlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 23743	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
4		itg2split.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
5	4	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))
7	6	i1fres 23763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
8	1, 5, 7	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9		itg1cl 23743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11		itg2split.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
12	11	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))
14	13	i1fres 23763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
15	1, 12, 14	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16		itg1cl 23743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 10323	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19		itg2split.sf	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
20		itg2split.sg	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
21	19, 20	readdcld 10323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
22	21	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
23		inss1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
24		mblss 23589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	23, 25	syl5ss 3772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	26	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
28		itg2split.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
29	28	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
30		reex 10280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
32		fvex 6388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
33		c0ex 10287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 33	ifex 4291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
36	32, 33	ifex 4291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ∈ V)
38		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)))
39		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
40	31, 35, 37, 38, 39	offval2 7112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
41	40	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))))
42	8, 15	i1fadd 23753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
43	41, 42	eqeltrrd 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44		i1ff 23734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46		eldifi 3894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47		ffvelrn 6547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	syl2an 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
49	48	leidd 10848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
51		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
52	51	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
53		eldifn 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
54	53	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
55		elin 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
56	54, 55	sylnib 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
57		imnan 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
58	56, 57	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
59	58	imp 395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
60		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
62	52, 61	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = ((𝑓‘𝑦) + 0))
63	48	recnd 10322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
65	64	addid1d 10490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑦) + 0) = (𝑓‘𝑦))
66	62, 65	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (𝑓‘𝑦))
67	50, 66	breqtrrd 4837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
68	49	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝑓‘𝑦))
69		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
70	69	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = (𝑓‘𝑦))
71	68, 70	breqtrrd 4837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
72		itg2split.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
73	72	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
74	73	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
75		elun 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵))
76	74, 75	syl6bb 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
77	76	notbid 309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵)))
78		ioran 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
79	77, 78	syl6bb 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpar 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
81		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)
82	45	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
83		itg2split.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
84	83	adantlr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85		0e0iccpnf 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
87	84, 86	ifclda 4277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
88		itg2split.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
89	87, 88	fmptd 6574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
90	89	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℝ)
91	90	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
92	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ℝ ∈ V)
93		inidm 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
94		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
95		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
96	82, 91, 92, 92, 93, 94, 95	ofrfval 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
97	81, 96	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
98	97	r19.21bi 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
99	46, 98	sylan2 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
100	99	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
101	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102		eldif 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈))
103		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
104		nfmpt1 4906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
105	88, 104	nfcxfr 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
106	105, 103	nffv 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
107	106	nfeq1 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦) = 0
108		fveqeq2 6384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) = 0 ↔ (𝐻‘𝑦) = 0))
109		eldif 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈))
110	88	fvmpt2i 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻‘𝑥) = ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
111		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 0)
112	111	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
113		0cn 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
114		fvi 6444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( I ‘0) = 0
116	112, 115	syl6eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
117	110, 116	sylan9eq 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
118	109, 117	sylbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑥) = 0)
119	103, 107, 108, 118	vtoclgaf 3423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
120	102, 119	sylbir 226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
121	101, 120	sylan 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑦) = 0)
122	100, 121	breqtrd 4835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
123	80, 122	syldan 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
124	123	anassrs 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ 0)
125	60	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
126	124, 125	breqtrrd 4837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
127	71, 126	pm2.61dan 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
128		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
129	128	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) = 0)
130	129	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
131		0re 10295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
132		ifcl 4287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
133	48, 131, 132	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
134	133	recnd 10322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
135	134	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0) ∈ ℂ)
136	135	addid2d 10491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
137	130, 136	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
138	127, 137	breqtrrd 4837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
139	67, 138	pm2.61dan 847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
140		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
141		fveq2 6375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
142	140, 141	ifbieq1d 4266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0))
143		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
144	143, 141	ifbieq1d 4266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0))
145	142, 144	oveq12d 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
146		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))
147		ovex 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)) ∈ V
148	145, 146, 147	fvmpt 6471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
149	101, 148	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑦), 0) + if(𝑦 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑦), 0)))
150	139, 149	breqtrrd 4837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))‘𝑦))
151	1, 27, 29, 43, 150	itg1lea 23770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
152	41	fveq2d 6379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
153	8, 15	itg1add 23759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
154	152, 153	eqtr3d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
155	151, 154	breqtrd 4835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))))
156	19	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
157	20	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
158		ssun1 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
159	158, 72	syl5sseqr 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
160	159	sselda 3761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
161	160	adantlr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
162	161, 84	syldan 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
163	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
164	162, 163	ifclda 4277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
165		itg2split.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
166	164, 165	fmptd 6574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
167	166	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
168		nfv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
169		nfv 2009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
170		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
171		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘𝑟 ≤
172	170, 171, 105	nfbr 4856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻
173	169, 172	nfan 1998	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)
174	168, 173	nfan 1998	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻))
175	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
176	175	sselda 3761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
177	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
178	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
179	87	adantlr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
180	44	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
181	180	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
182	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
183	177, 178, 179, 181, 182	ofrfval2 7113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
184	183	biimpd 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0)))
185	184	impr 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
186	185	r19.21bi 3079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
187	176, 186	syldan 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
188	160	adantlr 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
189	188	iftrued 4251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
190	187, 189	breqtrd 4835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
191		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
192	191	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
193		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
194	193	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
195	190, 192, 194	3brtr4d 4841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
196		0le0 11380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 0
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0)
198		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
199		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
200	197, 198, 199	3brtr4d 4841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
201	200	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
202	195, 201	pm2.61dan 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
203	202	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
204	174, 203	ralrimi 3104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
205	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
206	31, 35, 164, 38, 205	ofrfval2 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
207	206	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
208	204, 207	mpbird 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹)
209		itg2ub 23791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
210	167, 8, 208, 209	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
211		ssun2 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
212	211, 72	syl5sseqr 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
213	212	sselda 3761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
214	213	adantlr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
215	214, 84	syldan 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
216	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
217	215, 216	ifclda 4277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
218		itg2split.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
219	217, 218	fmptd 6574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
220	219	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
221		mblss 23589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
222	12, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
223	222	sselda 3761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
224	223, 186	syldan 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
225	213	adantlr 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
226	225	iftrued 4251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
227	224, 226	breqtrd 4835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑥) ≤ 𝐶)
228		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
229	228	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = (𝑓‘𝑥))
230		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
231	230	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
232	227, 229, 231	3brtr4d 4841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
233	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 0)
234		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) = 0)
235		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
236	233, 234, 235	3brtr4d 4841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
237	236	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
238	232, 237	pm2.61dan 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
239	238	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
240	174, 239	ralrimi 3104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
241	218	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
242	31, 37, 217, 39, 241	ofrfval2 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
243	242	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
244	240, 243	mpbird 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺)
245		itg2ub 23791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
246	220, 15, 244, 245	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐺))
247	10, 17, 156, 157, 210, 246	le2addd 10900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝑓‘𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, (𝑓‘𝑥), 0)))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
248	3, 18, 22, 155, 247	letrd 10448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
249	248	expr 448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
250	249	ralrimiva 3113	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
251	21	rexrd 10343	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
252		itg2leub 23792	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
253	89, 251, 252	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘𝑟 ≤ 𝐻 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))))
254	250, 253	mpbird 248	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055  Vcvv 3350   ∖ cdif 3729   ∪ cun 3730   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888   I cid 5184  dom cdm 5277   Fn wfn 6063  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842   ∘_𝑓 cof 7093   ∘_𝑟 cofr 7094  ℂcc 10187  ℝcr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  ℝ^*cxr 10327   ≤ cle 10329  [,]cicc 12380  vol*covol 23520  volcvol 23521  ∫₁citg1 23673  ∫₂citg2 23674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cmp 21470  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679

This theorem is referenced by:  itg2split  23807