MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1le 25661
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 0ss 4398 . . 3 βˆ… βŠ† ℝ
32a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆ… βŠ† ℝ)
4 ovol0 25440 . . 3 (vol*β€˜βˆ…) = 0
54a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (vol*β€˜βˆ…) = 0)
6 simp2 1134 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
8 i1ff 25623 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
9 ffn 6725 . . . . . . 7 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
11 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
12 i1ff 25623 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
13 ffn 6725 . . . . . . 7 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
15 reex 11235 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
17 inidm 4219 . . . . . 6 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
19 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2010, 14, 16, 16, 17, 18, 19ofrval 7701 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
21203exp 1116 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
22213impia 1114 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
23 eldifi 4125 . . 3 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2422, 23impel 504 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
251, 3, 5, 6, 24itg1lea 25660 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4324   class class class wbr 5150  dom cdm 5680   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551   ∘r cofr 7688  β„cr 11143  0cc0 11144   ≀ cle 11285  vol*covol 25409  βˆ«1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25684  itg2i1fseq2  25704  itg2addnclem  37149  ftc1anclem5  37175
  Copyright terms: Public domain W3C validator