MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1le 25594
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 0ss 4391 . . 3 βˆ… βŠ† ℝ
32a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆ… βŠ† ℝ)
4 ovol0 25373 . . 3 (vol*β€˜βˆ…) = 0
54a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (vol*β€˜βˆ…) = 0)
6 simp2 1134 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
8 i1ff 25556 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
9 ffn 6710 . . . . . . 7 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
11 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
12 i1ff 25556 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
13 ffn 6710 . . . . . . 7 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
15 reex 11200 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
17 inidm 4213 . . . . . 6 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18 eqidd 2727 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
19 eqidd 2727 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2010, 14, 16, 16, 17, 18, 19ofrval 7678 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
21203exp 1116 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
22213impia 1114 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯)))
23 eldifi 4121 . . 3 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2422, 23impel 505 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
251, 3, 5, 6, 24itg1lea 25593 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536   ∘r cofr 7665  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11250  vol*covol 25342  βˆ«1citg1 25495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25617  itg2i1fseq2  25637  itg2addnclem  37050  ftc1anclem5  37076
  Copyright terms: Public domain W3C validator