Theorem itg1le 25222

Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1le	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Proof of Theorem itg1le

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		0ss 4395	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4		ovol0 25001	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
8		i1ff 25184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9		ffn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
12		i1ff 25184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		ffn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
15		reex 11197	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17		inidm 4217	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 14, 16, 16, 17, 18, 19	ofrval 7678	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
21	20	3exp 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))))
22	21	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
23		eldifi 4125	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	22, 23	impel 506	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
25	1, 3, 5, 6, 24	itg1lea 25221	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   ∘_r cofr 7665  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245  vol*covol 24970  ∫₁citg1 25123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25245  itg2i1fseq2  25265  itg2addnclem  36527  ftc1anclem5  36553