MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1le 24229
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 0ss 4353 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
32a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4 ovol0 24009 . . 3 (vol*‘∅) = 0
54a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6 simp2 1131 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
8 i1ff 24192 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
9 ffn 6510 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
12 i1ff 24192 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
13 ffn 6510 . . . . . . 7 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
15 reex 10620 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17 inidm 4198 . . . . . 6 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18 eqidd 2825 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
19 eqidd 2825 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2010, 14, 16, 16, 17, 18, 19ofrval 7412 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹r𝐺𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
21203exp 1113 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹r𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))))
22213impia 1111 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
23 eldifi 4106 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
2422, 23impel 506 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
251, 3, 5, 6, 24itg1lea 24228 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  Vcvv 3499  cdif 3936  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  dom cdm 5553   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  r cofr 7401  cr 10528  0cc0 10529  cle 10668  vol*covol 23978  1citg1 24131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-xmet 20454  df-met 20455  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135  df-itg1 24136
This theorem is referenced by:  itg2itg1  24252  itg2i1fseq2  24272  itg2addnclem  34811  ftc1anclem5  34839
  Copyright terms: Public domain W3C validator