Theorem itg1le 25901

Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1le	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Proof of Theorem itg1le

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4		ovol0 25681	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
8		i1ff 25864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
12		i1ff 25864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
15		reex 11202	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17		inidm 4179	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 14, 16, 16, 17, 18, 19	ofrval 7692	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
21	20	3exp 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))))
22	21	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
23		eldifi 4085	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	22, 23	impel 515	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
25	1, 3, 5, 6, 24	itg1lea 25900	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  dom cdm 5663   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   ∘_r cofr 7679  ℝcr 11110  0cc0 11111   ≤ cle 11255  vol*covol 25650  ∫₁citg1 25803

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xadd 13149  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-xmet 21544  df-met 21545  df-ovol 25652  df-vol 25653  df-mbf 25807  df-itg1 25808

This theorem is used by:  itg2itg1  25924  itg2i1fseq2  25944  itg2addnclem  38355  ftc1anclem5  38381