Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1le 24413
 Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 0ss 4292 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
32a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4 ovol0 24193 . . 3 (vol*‘∅) = 0
54a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6 simp2 1134 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
8 i1ff 24376 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
9 ffn 6498 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
11 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
12 i1ff 24376 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
13 ffn 6498 . . . . . . 7 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
15 reex 10666 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17 inidm 4123 . . . . . 6 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18 eqidd 2759 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
19 eqidd 2759 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2010, 14, 16, 16, 17, 18, 19ofrval 7416 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹r𝐺𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
21203exp 1116 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹r𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))))
22213impia 1114 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
23 eldifi 4032 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
2422, 23impel 509 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
251, 3, 5, 6, 24itg1lea 24412 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹r𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  dom cdm 5524   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335   ∘r cofr 7404  ℝcr 10574  0cc0 10575   ≤ cle 10714  vol*covol 24162  ∫1citg1 24315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xadd 12549  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-xmet 20159  df-met 20160  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-mbf 24319  df-itg1 24320 This theorem is referenced by:  itg2itg1  24436  itg2i1fseq2  24456  itg2addnclem  35410  ftc1anclem5  35436
 Copyright terms: Public domain W3C validator