Theorem itg1le 24859

Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1le	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Proof of Theorem itg1le

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4		ovol0 24638	. . 3 ⊢ (vol*‘∅) = 0
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6		simp2 1135	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
8		i1ff 24821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9		ffn 6596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
12		i1ff 24821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		ffn 6596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
15		reex 10946	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
17		inidm 4157	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
18		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 14, 16, 16, 17, 18, 19	ofrval 7536	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
21	20	3exp 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))))
22	21	3impia 1115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥)))
23		eldifi 4065	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	22, 23	impel 505	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
25	1, 3, 5, 6, 24	itg1lea 24858	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261   class class class wbr 5078  dom cdm 5588   Fn wfn 6425  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430   ∘_r cofr 7523  ℝcr 10854  0cc0 10855   ≤ cle 10994  vol*covol 24607  ∫₁citg1 24760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xadd 12831  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-xmet 20571  df-met 20572  df-ovol 24609  df-vol 24610  df-mbf 24764  df-itg1 24765

This theorem is referenced by:  itg2itg1  24882  itg2i1fseq2  24902  itg2addnclem  35807  ftc1anclem5  35833