Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2uba 24326
 Description: Approximate version of itg2ub 24316. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≤ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 24268 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
43rexrd 10669 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 nulmbl 24118 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 24117 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4493 . . . . . . . 8 if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))
12 eldif 3923 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
1312baibr 539 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
1413ifbid 4465 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1511, 14syl5eqr 2869 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1615mpteq2ia 5133 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1716i1fres 24288 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 24268 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 10669 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 24315 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
25 i1ff 24259 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
27 eldifi 4082 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelrn 6825 . . . . . 6 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
3029leidd 11184 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ (𝐺𝑦))
31 eldif 3923 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴))
32 eleq1w 2893 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
33 fveq2 6646 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
3432, 33ifbieq2d 4468 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
35 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))
36 c0ex 10613 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6659 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑦) ∈ V
3836, 37ifex 4491 . . . . . . . 8 if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6744 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
40 iffalse 4452 . . . . . . 7 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) = (𝐺𝑦))
4139, 40sylan9eq 2875 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4231, 41sylbi 219 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4342adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4430, 43breqtrrd 5070 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 24295 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))))
46 iftrue 4449 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4746adantl 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4822ffvelrnda 6827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 12826 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5048, 49sylib 220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5150simprd 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5251adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5347, 52eqbrtrd 5064 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
54 iffalse 4452 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
5554adantl 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5712, 56sylan2br 596 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5857anassrs 470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5955, 58eqbrtrd 5064 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6053, 59pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6160ralrimiva 3169 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
62 reex 10606 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
64 fvex 6659 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
6536, 64ifex 4491 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V)
67 fvexd 6661 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
68 eqidd 2821 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))))
6922feqmptd 6709 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7405 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
7161, 70mpbird 259 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹)
72 itg2ub 24316 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 12534 1 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  Vcvv 3473   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4443   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  dom cdm 5531  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∘r cofr 7386  ℝcr 10514  0cc0 10515  +∞cpnf 10650  ℝ*cxr 10652   ≤ cle 10654  [,]cicc 12720  vol*covol 24045  volcvol 24046  ∫1citg1 24198  ∫2citg2 24199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-rest 16675  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-cmp 21971  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204 This theorem is referenced by:  itg2lea  24327  itg2split  24332
 Copyright terms: Public domain W3C validator