Theorem itg2uba 26071

Description: Approximate version of itg2ub 26061. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫₁𝐺 ≤ ∫₂𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 26013	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11364	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ*)
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		nulmbl 25863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
9		cmmbl 25862	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		ifnot 4534	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))
12		eldif 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
13	12	baibr 546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
14	13	ifbid 4505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
15	11, 14	eqtr3id 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
16	15	mpteq2ia 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
17	16	i1fres 26033	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
18	1, 10, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
19		itg1cl 26013	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11364	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ*)
22		itg2uba.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 26060	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25		i1ff 26004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
26	1, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
27		eldifi 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		ffvelcdm 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
30	29	leidd 11887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ (𝐺‘𝑦))
31		eldif 4048	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32		eleq1w 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
34	32, 33	ifbieq2d 4508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
35		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))
36		c0ex 11305	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37		fvex 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
38	36, 37	ifex 4532	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) ∈ V
39	34, 35, 38	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
40		iffalse 4490	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) = (𝐺‘𝑦))
41	39, 40	sylan9eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
42	31, 41	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
43	42	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
44	30, 43	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦))
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 26040	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))))
46		iftrue 4487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
48	22	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49		elxrge0 13593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	50	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
53	47, 52	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
54		iffalse 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
55	54	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
57	12, 56	sylan2br 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58	57	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
59	55, 58	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
60	53, 59	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
62		reex 11296	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
64		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
65	36, 64	ifex 4532	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
67		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
68		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))))
69	22	feqmptd 6956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 7716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
71	61, 70	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹)
72		itg2ub 26061	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 13296	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∘_r cofr 7694  ℝcr 11204  0cc0 11205  +∞cpnf 11345  ℝ^*cxr 11347   ≤ cle 11349  [,]cicc 13484  vol*covol 25790  volcvol 25791  ∫₁citg1 25943  ∫₂citg2 25944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-sum 15861  df-rest 17600  df-topgen 17621  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-top 23219  df-topon 23236  df-bases 23271  df-cmp 23712  df-ovol 25792  df-vol 25793  df-mbf 25947  df-itg1 25948  df-itg2 25949

This theorem is used by:  itg2lea  26072  itg2split  26077