MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2uba 25261
Description: Approximate version of itg2ub 25251. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≀ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2uba.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2uba.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2uba.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25202 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
43rexrd 11264 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
7 nulmbl 25052 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 25051 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4581 . . . . . . . 8 if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))
12 eldif 3959 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
1312baibr 538 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)))
1413ifbid 4552 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1511, 14eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1615mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1716i1fres 25223 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 25202 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11264 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25250 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
25 i1ff 25193 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
27 eldifi 4127 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3029leidd 11780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
31 eldif 3959 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32 eleq1w 2817 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
3432, 33ifbieq2d 4555 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))
36 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
3836, 37ifex 4579 . . . . . . . 8 if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
40 iffalse 4538 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) = (πΊβ€˜π‘¦))
4139, 40sylan9eq 2793 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4342adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4430, 43breqtrrd 5177 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 25230 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))))
46 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4746adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4822ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 13434 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5150simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5251adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5347, 52eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
54 iffalse 4538 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
5554adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5712, 56sylan2br 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5857anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5955, 58eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6053, 59pm2.61dan 812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6160ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
62 reex 11201 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
64 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V
6536, 64ifex 4579 . . . . . 6 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
67 fvexd 6907 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
68 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))))
6922feqmptd 6961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7691 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7161, 70mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹)
72 itg2ub 25251 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 13141 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132  βˆ«2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138
This theorem is referenced by:  itg2lea  25262  itg2split  25267
  Copyright terms: Public domain W3C validator