MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2uba 25030
Description: Approximate version of itg2ub 25020. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≀ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2uba.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2uba.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2uba.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 24971 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
43rexrd 11139 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
7 nulmbl 24821 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 24820 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4537 . . . . . . . 8 if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))
12 eldif 3919 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
1312baibr 538 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)))
1413ifbid 4508 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1511, 14eqtr3id 2792 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1615mpteq2ia 5207 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1716i1fres 24992 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 24971 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11139 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25019 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
25 i1ff 24962 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
27 eldifi 4085 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelcdm 7028 . . . . . 6 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3029leidd 11655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
31 eldif 3919 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33 fveq2 6838 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
3432, 33ifbieq2d 4511 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
35 eqid 2738 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))
36 c0ex 11083 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6851 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
3836, 37ifex 4535 . . . . . . . 8 if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6944 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
40 iffalse 4494 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) = (πΊβ€˜π‘¦))
4139, 40sylan9eq 2798 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4342adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4430, 43breqtrrd 5132 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 24999 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))))
46 iftrue 4491 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4746adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4822ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 13303 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5150simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5251adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5347, 52eqbrtrd 5126 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
54 iffalse 4494 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
5554adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5712, 56sylan2br 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5857anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5955, 58eqbrtrd 5126 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6053, 59pm2.61dan 812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6160ralrimiva 3142 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
62 reex 11076 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
64 fvex 6851 . . . . . . 7 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V
6536, 64ifex 4535 . . . . . 6 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
67 fvexd 6853 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
68 eqidd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))))
6922feqmptd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7629 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7161, 70mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹)
72 itg2ub 25020 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 13010 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906   βŠ† wss 3909  ifcif 4485   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  dom cdm 5631  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∘r cofr 7607  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  vol*covol 24748  volcvol 24749  βˆ«1citg1 24901  βˆ«2citg2 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-sum 15506  df-rest 17239  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907
This theorem is referenced by:  itg2lea  25031  itg2split  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator