MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2uba 25108
Description: Approximate version of itg2ub 25098. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then 1𝐺 ≤ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25049 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
43rexrd 11205 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 nulmbl 24899 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 24898 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4538 . . . . . . . 8 if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))
12 eldif 3920 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
1312baibr 537 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
1413ifbid 4509 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1511, 14eqtr3id 2790 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1615mpteq2ia 5208 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1716i1fres 25070 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 25049 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11205 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 25097 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
25 i1ff 25040 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
27 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
3029leidd 11721 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ (𝐺𝑦))
31 eldif 3920 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴))
32 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
33 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
3432, 33ifbieq2d 4512 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
35 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))
36 c0ex 11149 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑦) ∈ V
3836, 37ifex 4536 . . . . . . . 8 if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
40 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) = (𝐺𝑦))
4139, 40sylan9eq 2796 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4342adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4430, 43breqtrrd 5133 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 25077 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))))
46 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4746adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4822ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 13374 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5150simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5251adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5347, 52eqbrtrd 5127 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
54 iffalse 4495 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5712, 56sylan2br 595 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5857anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5955, 58eqbrtrd 5127 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6053, 59pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6160ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
62 reex 11142 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
64 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
6536, 64ifex 4536 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V)
67 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
68 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))))
6922feqmptd 6910 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7638 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
7161, 70mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹)
72 itg2ub 25098 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 13081 1 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  [,]cicc 13267  vol*covol 24826  volcvol 24827  1citg1 24979  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985
This theorem is referenced by:  itg2lea  25109  itg2split  25114
  Copyright terms: Public domain W3C validator