Theorem itg2uba 26119

Description: Approximate version of itg2ub 26109. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫₁𝐺 ≤ ∫₂𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 26061	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11398	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ*)
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		nulmbl 25911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
9		cmmbl 25910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		ifnot 4538	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))
12		eldif 4052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
13	12	baibr 546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
14	13	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
15	11, 14	eqtr3id 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
16	15	mpteq2ia 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
17	16	i1fres 26081	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
18	1, 10, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
19		itg1cl 26061	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11398	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ*)
22		itg2uba.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 26108	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25		i1ff 26052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
26	1, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
27		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		ffvelcdm 7113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
30	29	leidd 11922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ (𝐺‘𝑦))
31		eldif 4052	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32		eleq1w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
34	32, 33	ifbieq2d 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
35		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))
36		c0ex 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37		fvex 6929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
38	36, 37	ifex 4536	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) ∈ V
39	34, 35, 38	fvmpt 7024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
40		iffalse 4494	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) = (𝐺‘𝑦))
41	39, 40	sylan9eq 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
42	31, 41	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
43	42	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
44	30, 43	breqtrrd 5139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦))
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 26088	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))))
46		iftrue 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
48	22	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49		elxrge0 13628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	50	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
53	47, 52	eqbrtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
54		iffalse 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
55	54	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
57	12, 56	sylan2br 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58	57	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
59	55, 58	eqbrtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
60	53, 59	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
62		reex 11330	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
64		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
65	36, 64	ifex 4536	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
67		fvexd 6931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
68		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))))
69	22	feqmptd 6984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 7746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
71	61, 70	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹)
72		itg2ub 26109	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 13331	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_r cofr 7724  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519  vol*covol 25838  volcvol 25839  ∫₁citg1 25991  ∫₂citg2 25992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cmp 23760  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995  df-itg1 25996  df-itg2 25997

This theorem is used by:  itg2lea  26120  itg2split  26125