Theorem itg2uba 25793

Description: Approximate version of itg2ub 25783. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫₁𝐺 ≤ ∫₂𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 25735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11226	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ*)
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		nulmbl 25585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
9		cmmbl 25584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		ifnot 4530	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))
12		eldif 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
13	12	baibr 544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
14	13	ifbid 4501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
15	11, 14	eqtr3id 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
16	15	mpteq2ia 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
17	16	i1fres 25755	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
18	1, 10, 17	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
19		itg1cl 25735	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11226	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ*)
22		itg2uba.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 25782	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25		i1ff 25726	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
27		eldifi 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		ffvelcdm 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
30	29	leidd 11747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ (𝐺‘𝑦))
31		eldif 3912	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32		eleq1w 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
34	32, 33	ifbieq2d 4504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
35		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))
36		c0ex 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37		fvex 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
38	36, 37	ifex 4528	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) ∈ V
39	34, 35, 38	fvmpt 6970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
40		iffalse 4486	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) = (𝐺‘𝑦))
41	39, 40	sylan9eq 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
42	31, 41	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
43	42	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
44	30, 43	breqtrrd 5125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦))
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 25762	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))))
46		iftrue 4483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
48	22	ffvelcdmda 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49		elxrge0 13455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	48, 49	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	50	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
52	51	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
53	47, 52	eqbrtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
54		iffalse 4486	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
55	54	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
57	12, 56	sylan2br 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58	57	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
59	55, 58	eqbrtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
60	53, 59	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
62		reex 11158	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
64		fvex 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
65	36, 64	ifex 4528	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
67		fvexd 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
68		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))))
69	22	feqmptd 6930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 7676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
71	61, 70	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹)
72		itg2ub 25783	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 13158	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4477   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_r cofr 7654  ℝcr 11066  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  [,]cicc 13346  vol*covol 25512  volcvol 25513  ∫₁citg1 25665  ∫₂citg2 25666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-rest 17442  df-topgen 17463  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-cmp 23435  df-ovol 25514  df-vol 25515  df-mbf 25669  df-itg1 25670  df-itg2 25671

This theorem is referenced by:  itg2lea  25794  itg2split  25799