Theorem itg2uba 24813

Description: Approximate version of itg2ub 24803. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫₁𝐺 ≤ ∫₂𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 24754	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10956	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ*)
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		nulmbl 24604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
9		cmmbl 24603	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		ifnot 4508	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))
12		eldif 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
13	12	baibr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
14	13	ifbid 4479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
15	11, 14	eqtr3id 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
16	15	mpteq2ia 5173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
17	16	i1fres 24775	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
18	1, 10, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
19		itg1cl 24754	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 10956	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ*)
22		itg2uba.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 24802	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25		i1ff 24745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
27		eldifi 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
30	29	leidd 11471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ (𝐺‘𝑦))
31		eldif 3893	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32		eleq1w 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
34	32, 33	ifbieq2d 4482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
35		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))
36		c0ex 10900	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37		fvex 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
38	36, 37	ifex 4506	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) ∈ V
39	34, 35, 38	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
40		iffalse 4465	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) = (𝐺‘𝑦))
41	39, 40	sylan9eq 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
42	31, 41	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
43	42	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
44	30, 43	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦))
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 24782	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))))
46		iftrue 4462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
48	22	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49		elxrge0 13118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	48, 49	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	50	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
53	47, 52	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
54		iffalse 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
57	12, 56	sylan2br 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58	57	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
59	55, 58	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
60	53, 59	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
62		reex 10893	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
64		fvex 6769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
65	36, 64	ifex 4506	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
67		fvexd 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
68		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))))
69	22	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 7532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
71	61, 70	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹)
72		itg2ub 24803	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 12825	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  vol*covol 24531  volcvol 24532  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2lea  24814  itg2split  24819