MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2uba 25485
Description: Approximate version of itg2ub 25475. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≀ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
itg2uba.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg2uba.4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg2uba.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 25426 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
43rexrd 11268 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
7 nulmbl 25276 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 25275 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4580 . . . . . . . 8 if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))
12 eldif 3958 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
1312baibr 537 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)))
1413ifbid 4551 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴, (πΊβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1511, 14eqtr3id 2786 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1615mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴), (πΊβ€˜π‘₯), 0))
1716i1fres 25447 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 25426 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11268 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25474 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
25 i1ff 25417 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
27 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3029leidd 11784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
31 eldif 3958 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32 eleq1w 2816 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
3432, 33ifbieq2d 4554 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))
36 c0ex 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
3836, 37ifex 4578 . . . . . . . 8 if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)))
40 iffalse 4537 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘¦)) = (πΊβ€˜π‘¦))
4139, 40sylan9eq 2792 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4342adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
4430, 43breqtrrd 5176 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 25454 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))))
46 iftrue 4534 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4746adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
4822ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 13438 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5150simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5251adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5347, 52eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
54 iffalse 4537 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5712, 56sylan2br 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5857anassrs 468 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5955, 58eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6053, 59pm2.61dan 811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6160ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
62 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
64 fvex 6904 . . . . . . 7 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V
6536, 64ifex 4578 . . . . . 6 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
67 fvexd 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
68 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))))
6922feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7693 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7161, 70mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹)
72 itg2ub 25475 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯))) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 0, (πΊβ€˜π‘₯)))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 13145 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΊ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘r cofr 7671  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  [,]cicc 13331  vol*covol 25203  volcvol 25204  βˆ«1citg1 25356  βˆ«2citg2 25357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362
This theorem is referenced by:  itg2lea  25486  itg2split  25491
  Copyright terms: Public domain W3C validator