Theorem itg2uba 24908

Description: Approximate version of itg2ub 24898. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫₁𝐺 ≤ ∫₂𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2uba.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2uba	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2uba.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
2		itg1cl 24849	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11025	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ*)
5		itg2uba.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		itg2uba.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7		nulmbl 24699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
9		cmmbl 24698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		ifnot 4511	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))
12		eldif 3897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
13	12	baibr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
14	13	ifbid 4482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝐺‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
15	11, 14	eqtr3id 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
16	15	mpteq2ia 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺‘𝑥), 0))
17	16	i1fres 24870	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
18	1, 10, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
19		itg1cl 24849	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11025	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ∈ ℝ*)
22		itg2uba.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 24897	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25		i1ff 24840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
27		eldifi 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		ffvelrn 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
30	29	leidd 11541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ (𝐺‘𝑦))
31		eldif 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
32		eleq1w 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
33		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
34	32, 33	ifbieq2d 4485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
35		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))
36		c0ex 10969	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
37		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
38	36, 37	ifex 4509	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) ∈ V
39	34, 35, 38	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)))
40		iffalse 4468	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑦)) = (𝐺‘𝑦))
41	39, 40	sylan9eq 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
42	31, 41	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
43	42	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
44	30, 43	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))‘𝑦))
45	1, 5, 6, 18, 44	itg1lea 24877	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))))
46		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = 0)
48	22	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49		elxrge0 13189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	48, 49	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	50	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
53	47, 52	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
54		iffalse 4468	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
55	54	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
56		itg2uba.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
57	12, 56	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58	57	anassrs 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
59	55, 58	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
60	53, 59	pm2.61dan 810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥))
62		reex 10962	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
64		fvex 6787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
65	36, 64	ifex 4509	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
67		fvexd 6789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
68		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))))
69	22	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	63, 66, 67, 68, 69	ofrfval2 7554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)) ≤ (𝐹‘𝑥)))
71	61, 70	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹)
72		itg2ub 24898	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥))) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
73	22, 18, 71, 72	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 0, (𝐺‘𝑥)))) ≤ (∫2‘𝐹))
74	4, 21, 24, 45, 73	xrletrd 12896	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_r cofr 7532  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  vol*covol 24626  volcvol 24627  ∫₁citg1 24779  ∫₂citg2 24780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785

This theorem is referenced by:  itg2lea  24909  itg2split  24914