Theorem itg2split 25721

Description: The ∫₂ integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 25731, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2split	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2split.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2	1	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3		0e0iccpnf 13387	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
5	2, 4	ifclda 4517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
6		itg2split.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
7	5, 6	fmptd 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
8		itg2cl 25704	. . 3 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
10		itg2split.sf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
11		itg2split.sg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11194	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
14		itg2split.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
15		itg2split.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
16		itg2split.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
17		itg2split.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
18		itg2split.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
19		itg2split.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
20	14, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11	itg2splitlem 25720	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
21	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
22		itg2lecl 25710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
23	7, 12, 20, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
25		itg1cl 25657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
26	25	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
27		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
28		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
29	27, 28	itg1add 25673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)))
30	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
31	27, 28	i1fadd 25667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32		inss1 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
33		mblss 25503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	14, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	32, 34	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
37	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
38		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
39		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
40		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
41		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘r ≤
42		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
43	18, 42	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
44	40, 41, 43	nfbr 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘r ≤ 𝐹
45	39, 44	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
46		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
47		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑔
48		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
49	19, 48	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
50	47, 41, 49	nfbr 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∘r ≤ 𝐺
51	46, 50	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)
52	45, 51	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))
53	38, 52	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)))
54		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
55		i1ff 25648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
56	27, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
57	56	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
58		i1ff 25648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
59	28, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
60	59	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
61		reex 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℝ ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ℝ ∈ V)
63		inidm 4181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
65		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
66	57, 60, 62, 62, 63, 64, 65	ofval 7643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
67	54, 66	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
68		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
69	56, 54, 68	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
70		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
71	59, 54, 70	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
72	69, 71	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
73	72	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
75	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
77		iccssxr 13358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
78		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
79	30, 54, 78	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
80	77, 79	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
82	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
83		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
84		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)
85	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
86		fvexd 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
87		ssun2 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
88	87, 17	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
89	88	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
90	89	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
91	90, 2	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
92	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
93	91, 92	ifclda 4517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
94	93	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
95		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
96		dffn5 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
97	95, 96	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
98	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
99	85, 86, 94, 97, 98	ofrfval2 7653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
100	60, 99	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
101	84, 100	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
102	101	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
103	54, 102	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
105		eldifn 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
107		elin 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
108	106, 107	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
109		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
110	108, 109	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
111	110	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
112	111	iffalsed 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
113	104, 112	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ 0)
114	82, 83, 75, 113	leadd2dd 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + 0))
115	75	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
116	115	addridd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + 0) = (𝑓‘𝑥))
117	114, 116	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑓‘𝑥))
118		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
119	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
120		fvexd 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
121		ssun1 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
122	121, 17	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
123	122	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
124	123	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
125	124, 2	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
127	125, 126	ifclda 4517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128	127	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
130		dffn5 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
131	129, 130	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
132	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
133	119, 120, 128, 131, 132	ofrfval2 7653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
134	57, 133	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
135	118, 134	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
136	135	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
137	54, 136	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
139	122	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
140	139	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
141	140	iftrued 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
142		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
143	5	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
144	6	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
145	142, 143, 144	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
146	54, 145	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
148		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149	148	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
150	141, 147, 149	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
151	138, 150	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
152	74, 76, 81, 117, 151	xrletrd 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
153	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
154	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
155	154	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ*)
156	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
157	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
158		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
159	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
160		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
162	159, 161	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 0)
163	157, 158, 154, 162	leadd1dd 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (0 + (𝑔‘𝑥)))
164	154	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℂ)
165	164	addlidd 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 + (𝑔‘𝑥)) = (𝑔‘𝑥))
166	163, 165	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑔‘𝑥))
167	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
168	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
169	17	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
170	169	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
171		elun 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
172		biorf 937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)))
173	171, 172	bitr4id 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
174	173	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
175	170, 174	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
176	175	ifbid 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
177	168, 176	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
178	167, 177	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
179	153, 155, 156, 166, 178	xrletrd 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
180	152, 179	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
181	67, 180	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
182	181	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)))
183	53, 182	ralrimi 3236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
184		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)
185		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦)
186		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
187		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
188	6, 187	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
189		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
190	188, 189	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
191	185, 186, 190	nfbr 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)
192		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦))
193		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
194	192, 193	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
195	184, 191, 194	cbvralw 3280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
196	183, 195	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
197	196	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
198	30, 31, 36, 37, 197	itg2uba 25715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘f + 𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
199	29, 198	eqbrtrrd 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
200	26	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
201		itg1cl 25657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
202	28, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
203	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
204	200, 202, 203	leaddsub2d 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
205	199, 204	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
206	205	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
207	206	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
208	207	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
209	93, 19	fmptd 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
210	209	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
211	24, 26	resubcld 11577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ)
212	211	rexrd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*)
213		itg2leub 25706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
214	210, 212, 213	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
215	208, 214	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
216	21, 24, 26, 215	lesubd 11753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
217	216	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
218	217	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
219	127, 18	fmptd 7068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
220	23, 11	resubcld 11577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
221	220	rexrd 11194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
222		itg2leub 25706	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
223	219, 221, 222	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
224	218, 223	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
225		leaddsub 11625	. . . 4 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
226	10, 11, 23, 225	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
227	224, 226	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻))
228	9, 13, 20, 227	xrletrid 13081	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ∘_r cofr 7631  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179   − cmin 11376  [,]cicc 13276  vol*covol 25434  volcvol 25435  ∫₁citg1 25587  ∫₂citg2 25588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-top 22853  df-topon 22870  df-bases 22905  df-cmp 23346  df-ovol 25436  df-vol 25437  df-mbf 25591  df-itg1 25592  df-itg2 25593

This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  25734  itgsplit  25808  iblsplit  46328