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Theorem itg2split 25709
Description: The ∫2 integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 25719, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
itg2split.i (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
itg2split.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
itg2split.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
itg2split.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
itg2split.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
itg2split.sf (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2split.sg (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)
Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.c . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
21adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
3 0e0iccpnf 13468 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
52, 4ifclda 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.h . . . 4 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
75, 6fmptd 7121 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
8 itg2cl 25692 . . 3 (𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ*)
10 itg2split.sf . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
11 itg2split.sg . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
1210, 11readdcld 11273 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11294 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
14 itg2split.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
15 itg2split.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
16 itg2split.i . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
17 itg2split.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
18 itg2split.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
19 itg2split.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
2014, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11itg2splitlem 25708 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2111adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
22 itg2lecl 25698 . . . . . . . . 9 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
237, 12, 20, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
25 itg1cl 25644 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
2625ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
27 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
28 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
2927, 28itg1add 25661 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
307adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3127, 28i1fadd 25654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
33 mblss 25490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3532, 34sstrid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
3716adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
38 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯πœ‘
39 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ dom ∫1
40 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝑓
41 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯ ∘r ≀
42 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
4318, 42nfcxfr 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐹
4440, 41, 43nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹
4539, 44nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
46 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ dom ∫1
47 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝑔
48 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
4919, 48nfcxfr 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐺
5047, 41, 49nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺
5146, 50nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)
5245, 51nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))
5338, 52nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)))
54 eldifi 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
55 i1ff 25635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
5756ffnd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
58 i1ff 25635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
5928, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
6059ffnd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
61 reex 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ ℝ ∈ V)
63 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
65 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
6657, 60, 62, 62, 63, 64, 65ofval 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)))
6754, 66sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)))
68 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6956, 54, 68syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
70 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7159, 54, 70syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7269, 71readdcld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7372rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
7473adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
7569adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
77 iccssxr 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
78 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
7930, 54, 78syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
8077, 79sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
8271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
83 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
84 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)
8561a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
86 fvexd 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ V)
87 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
8887, 17sseqtrrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
8988sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
9089adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
9190, 2syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
9391, 92ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
9493adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
95 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
96 dffn5 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
9985, 86, 94, 97, 98ofrfval2 7704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
10060, 99syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
10184, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
102101r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
10354, 102sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
104103adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
105 eldifn 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
106105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
107 elin 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
108106, 107sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
109 imnan 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
110108, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡))
111110imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡)
112111iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 0)
113104, 112breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ 0)
11482, 83, 75, 113leadd2dd 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + 0))
11575recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
116115addridd 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
117114, 116breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π‘“β€˜π‘₯))
118 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
11961a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
120 fvexd 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
121 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
122121, 17sseqtrrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
123122sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
124123adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
125124, 2syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
1263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
127125, 126ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
128127adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
129 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
130 dffn5 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
131129, 130sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
13218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
133119, 120, 128, 131, 132ofrfval2 7704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
13457, 133syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
135118, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
136135r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
13754, 136sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
138137adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
139122ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
140139sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
141140iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
142 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1435adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
1446fvmpt2 7013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
145142, 143, 144syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
14654, 145sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
147146adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
148 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
149148adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
150141, 147, 1493eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
151138, 150breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
15274, 76, 81, 117, 151xrletrd 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
15373adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
15471adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
155154rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15680adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15769adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
158 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
159137adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
160 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
161160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
162159, 161breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 0)
163157, 158, 154, 162leadd1dd 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (0 + (π‘”β€˜π‘₯)))
164154recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
165164addlidd 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 + (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
166163, 165breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π‘”β€˜π‘₯))
167103adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
168146adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
16917ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
170169eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
171 elun 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ 𝐡))
172 biorf 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ 𝐡)))
173171, 172bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
174173adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
175170, 174bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
176175ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
177168, 176eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
178167, 177breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
179153, 155, 156, 166, 178xrletrd 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
180152, 179pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
18167, 180eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
182181ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯)))
18353, 182ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
184 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑦((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯)
185 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦)
186 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯ ≀
187 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
1886, 187nfcxfr 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐻
189 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝑦
190188, 189nffv 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦)
191185, 186, 190nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)
192 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦))
193 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘¦))
194192, 193breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
195184, 191, 194cbvralw 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
196183, 195sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
197196r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
19830, 31, 36, 37, 197itg2uba 25703 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) ≀ (∫2β€˜π»))
19929, 198eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) ≀ (∫2β€˜π»))
20026adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
201 itg1cl 25644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
20228, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
20323adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
204200, 202, 203leaddsub2d 11846 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
205199, 204mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
206205anassrs 466 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
207206expr 455 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
208207ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
20993, 19fmptd 7121 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
210209adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21124, 26resubcld 11672 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ)
212211rexrd 11294 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ*)
213 itg2leub 25694 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))))
214210, 212, 213syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))))
215208, 214mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
21621, 24, 26, 215lesubd 11848 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))
217216expr 455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
218217ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
219127, 18fmptd 7121 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
22023, 11resubcld 11672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
221220rexrd 11294 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
222 itg2leub 25694 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))))
223219, 221, 222syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))))
224218, 223mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))
225 leaddsub 11720 . . . 4 (((∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜π») ∈ ℝ) β†’ (((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
22610, 11, 23, 225syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
227224, 226mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π»))
2289, 13, 20, 227xrletrid 13166 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5677   Fn wfn 6542  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∘f cof 7681   ∘r cofr 7682  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  [,]cicc 13359  vol*covol 25421  volcvol 25422  βˆ«1citg1 25574  βˆ«2citg2 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22826  df-topon 22843  df-bases 22879  df-cmp 23321  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  25722  itgsplit  25795  iblsplit  45417
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