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Theorem itg2split 24463
 Description: The ∫2 integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 24473, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3 0e0iccpnf 12904 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
52, 4ifclda 4458 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.h . . . 4 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
75, 6fmptd 6875 . . 3 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
8 itg2cl 24446 . . 3 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
10 itg2split.sf . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
11 itg2split.sg . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
1210, 11readdcld 10721 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10742 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
14 itg2split.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
15 itg2split.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
16 itg2split.i . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
17 itg2split.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
18 itg2split.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
19 itg2split.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
2014, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11itg2splitlem 24462 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2111adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
22 itg2lecl 24452 . . . . . . . . 9 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
237, 12, 20, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
25 itg1cl 24399 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
27 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
2927, 28itg1add 24415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1‘(𝑓f + 𝑔)) = ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)))
307adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
3127, 28i1fadd 24409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32 inss1 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
33 mblss 24245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3532, 34sstrid 3905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3716adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
38 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝜑
39 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
40 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑓
41 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥r
42 nfmpt1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
4318, 42nfcxfr 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
4440, 41, 43nfbr 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓r𝐹
4539, 44nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)
46 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
47 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑔
48 nfmpt1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
4919, 48nfcxfr 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
5047, 41, 49nfbr 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔r𝐺
5146, 50nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)
5245, 51nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))
5338, 52nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)))
54 eldifi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 i1ff 24390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
5756ffnd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
58 i1ff 24390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
5928, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
6059ffnd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
61 reex 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ℝ ∈ V)
63 inidm 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
65 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6657, 60, 62, 62, 63, 64, 65ofval 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
6754, 66sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
68 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6956, 54, 68syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
70 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7159, 54, 70syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7269, 71readdcld 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7372rexrd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7473adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7569adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7675rexrd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
77 iccssxr 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
78 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7930, 54, 78syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8077, 79sseldi 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8180adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8271adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
83 0red 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
84 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔r𝐺)
8561a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
86 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ V)
87 ssun2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
8887, 17sseqtrrid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝐵𝑈)
8988sselda 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9190, 2syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
9391, 92ifclda 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
9493adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
95 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
96 dffn5 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9795, 96sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9985, 86, 94, 97, 98ofrfval2 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → (𝑔r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10060, 99syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑔r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10184, 100mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
102101r19.21bi 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
10354, 102sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
104103adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
105 eldifn 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
106105adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
107 elin 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
108106, 107sylnib 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
109 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
110108, 109sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
111110imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
112111iffalsed 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
113104, 112breqtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ 0)
11482, 83, 75, 113leadd2dd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ ((𝑓𝑥) + 0))
11575recnd 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
116115addid1d 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + 0) = (𝑓𝑥))
117114, 116breqtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑓𝑥))
118 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓r𝐹)
11961a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
120 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
121 ssun1 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
122121, 17sseqtrrid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐴𝑈)
123122sselda 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
125124, 2syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
127125, 126ifclda 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
129 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
130 dffn5 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
131129, 130sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
13218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
133119, 120, 128, 131, 132ofrfval2 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → (𝑓r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
13457, 133syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑓r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
135118, 134mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
136135r19.21bi 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
13754, 136sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
138137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
139122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝐴𝑈)
140139sselda 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
141140iftrued 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
142 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1435adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1446fvmpt2 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
145142, 143, 144syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
14654, 145sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
147146adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
148 iftrue 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149148adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
150141, 147, 1493eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
151138, 150breqtrrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
15274, 76, 81, 117, 151xrletrd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
15373adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
15471adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
155154rexrd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ*)
15680adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
15769adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
158 0red 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
159137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
160 iffalse 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161160adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
162159, 161breqtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 0)
163157, 158, 154, 162leadd1dd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (0 + (𝑔𝑥)))
164154recnd 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
165164addid2d 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (0 + (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
166163, 165breqtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑔𝑥))
167103adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
168146adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
16917ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
170169eleq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
171 elun 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
172 biorf 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥𝐴 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
173171, 172bitr4id 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
174173adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
175170, 174bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥𝐵))
176175ifbid 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
177168, 176eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
178167, 177breqtrrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
179153, 155, 156, 166, 178xrletrd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
180152, 179pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
18167, 180eqbrtrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
182181ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)))
18353, 182ralrimi 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
184 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)
185 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓f + 𝑔)‘𝑦)
186 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥
187 nfmpt1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1886, 187nfcxfr 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐻
189 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑦
190188, 189nffv 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦)
191185, 186, 190nfbr 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)
192 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦))
193 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
194192, 193breq12d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
195184, 191, 194cbvralw 3352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
196183, 195sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
197196r19.21bi 3137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
19830, 31, 36, 37, 197itg2uba 24457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1‘(𝑓f + 𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19929, 198eqbrtrrd 5060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
20026adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
201 itg1cl 24399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20228, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20323adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
204200, 202, 203leaddsub2d 11293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
205199, 204mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
206205anassrs 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
207206expr 460 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
208207ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
20993, 19fmptd 6875 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
210209adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21124, 26resubcld 11119 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ)
212211rexrd 10742 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*)
213 itg2leub 24448 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
214210, 212, 213syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
215208, 214mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
21621, 24, 26, 215lesubd 11295 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
217216expr 460 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
218217ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
219127, 18fmptd 6875 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
22023, 11resubcld 11119 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
221220rexrd 10742 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
222 itg2leub 24448 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
223219, 221, 222syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
224218, 223mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
225 leaddsub 11167 . . . 4 (((∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
22610, 11, 23, 225syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
227224, 226mpbird 260 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))
2289, 13, 20, 227xrletrid 12602 1 (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ifcif 4423   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  dom cdm 5528   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409   ∘r cofr 7410  ℝcr 10587  0cc0 10588   + caddc 10591  +∞cpnf 10723  ℝ*cxr 10725   ≤ cle 10727   − cmin 10921  [,]cicc 12795  vol*covol 24176  volcvol 24177  ∫1citg1 24329  ∫2citg2 24330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-rest 16768  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-top 21608  df-topon 21625  df-bases 21660  df-cmp 22101  df-ovol 24178  df-vol 24179  df-mbf 24333  df-itg1 24334  df-itg2 24335 This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  24476  itgsplit  24549  iblsplit  43019
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