MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2split Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2split 25797
Description: The 2 integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 25807, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3 0e0iccpnf 13515 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
52, 4ifclda 4583 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.h . . . 4 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
75, 6fmptd 7146 . . 3 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
8 itg2cl 25780 . . 3 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
10 itg2split.sf . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
11 itg2split.sg . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
1210, 11readdcld 11315 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11336 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
14 itg2split.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
15 itg2split.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
16 itg2split.i . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
17 itg2split.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
18 itg2split.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
19 itg2split.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
2014, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11itg2splitlem 25796 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
22 itg2lecl 25786 . . . . . . . . 9 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
237, 12, 20, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
25 itg1cl 25732 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
27 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
2927, 28itg1add 25749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1‘(𝑓f + 𝑔)) = ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)))
307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
3127, 28i1fadd 25742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32 inss1 4252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
33 mblss 25578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3532, 34sstrid 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
38 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝜑
39 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
40 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑓
41 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥r
42 nfmpt1 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
4318, 42nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
4440, 41, 43nfbr 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓r𝐹
4539, 44nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)
46 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
47 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑔
48 nfmpt1 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
4919, 48nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
5047, 41, 49nfbr 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔r𝐺
5146, 50nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)
5245, 51nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))
5338, 52nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)))
54 eldifi 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 i1ff 25723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
5756ffnd 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
58 i1ff 25723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
5928, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
6059ffnd 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
61 reex 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ℝ ∈ V)
63 inidm 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
65 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6657, 60, 62, 62, 63, 64, 65ofval 7721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
6754, 66sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
68 ffvelcdm 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6956, 54, 68syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
70 ffvelcdm 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7159, 54, 70syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7269, 71readdcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7372rexrd 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7569adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7675rexrd 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
77 iccssxr 13486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
78 ffvelcdm 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7930, 54, 78syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8077, 79sselid 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
83 0red 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
84 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑔r𝐺)
8561a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
86 fvexd 6934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ V)
87 ssun2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
8887, 17sseqtrrid 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝐵𝑈)
8988sselda 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9190, 2syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
9391, 92ifclda 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
9493adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
96 dffn5 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9795, 96sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9985, 86, 94, 97, 98ofrfval2 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → (𝑔r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10060, 99syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑔r𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10184, 100mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
102101r19.21bi 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
10354, 102sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
105 eldifn 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
107 elin 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
108106, 107sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
109 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
110108, 109sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
111110imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
112111iffalsed 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
113104, 112breqtrd 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ 0)
11482, 83, 75, 113leadd2dd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ ((𝑓𝑥) + 0))
11575recnd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
116115addridd 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + 0) = (𝑓𝑥))
117114, 116breqtrd 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑓𝑥))
118 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → 𝑓r𝐹)
11961a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
120 fvexd 6934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
121 ssun1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
122121, 17sseqtrrid 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐴𝑈)
123122sselda 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
125124, 2syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
127125, 126ifclda 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
130 dffn5 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
131129, 130sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
13218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
133119, 120, 128, 131, 132ofrfval2 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → (𝑓r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
13457, 133syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑓r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
135118, 134mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
136135r19.21bi 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
13754, 136sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
139122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝐴𝑈)
140139sselda 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
141140iftrued 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1435adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1446fvmpt2 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
145142, 143, 144syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
14654, 145sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
147146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
148 iftrue 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
150141, 147, 1493eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
151138, 150breqtrrd 5197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
15274, 76, 81, 117, 151xrletrd 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
15373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
15471adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
155154rexrd 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ*)
15680adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
15769adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
158 0red 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
159137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
160 iffalse 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
162159, 161breqtrd 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 0)
163157, 158, 154, 162leadd1dd 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (0 + (𝑔𝑥)))
164154recnd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
165164addlidd 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (0 + (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
166163, 165breqtrd 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑔𝑥))
167103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
168146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
16917ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
170169eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
171 elun 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
172 biorf 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥𝐴 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
173171, 172bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
174173adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
175170, 174bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥𝐵))
176175ifbid 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
177168, 176eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
178167, 177breqtrrd 5197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
179153, 155, 156, 166, 178xrletrd 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
180152, 179pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
18167, 180eqbrtrd 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
182181ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)))
18353, 182ralrimi 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
184 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)
185 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓f + 𝑔)‘𝑦)
186 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥
187 nfmpt1 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1886, 187nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐻
189 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑦
190188, 189nffv 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦)
191185, 186, 190nfbr 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)
192 fveq2 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦))
193 fveq2 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
194192, 193breq12d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
195184, 191, 194cbvralw 3307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
196183, 195sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
197196r19.21bi 3252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
19830, 31, 36, 37, 197itg2uba 25791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1‘(𝑓f + 𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19929, 198eqbrtrrd 5193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
20026adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
201 itg1cl 25732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20228, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20323adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
204200, 202, 203leaddsub2d 11888 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
205199, 204mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺))) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
206205anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔r𝐺)) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
207206expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
208207ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
20993, 19fmptd 7146 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
210209adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21124, 26resubcld 11714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ)
212211rexrd 11336 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*)
213 itg2leub 25782 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
214210, 212, 213syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
215208, 214mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
21621, 24, 26, 215lesubd 11890 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓r𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
217216expr 456 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
218217ralrimiva 3148 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
219127, 18fmptd 7146 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
22023, 11resubcld 11714 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
221220rexrd 11336 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
222 itg2leub 25782 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
223219, 221, 222syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
224218, 223mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
225 leaddsub 11762 . . . 4 (((∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
22610, 11, 23, 225syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
227224, 226mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))
2289, 13, 20, 227xrletrid 13213 1 (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  Vcvv 3482  cdif 3967  cun 3968  cin 3969  wss 3970  ifcif 4548   class class class wbr 5169  cmpt 5252  dom cdm 5699   Fn wfn 6567  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  f cof 7708  r cofr 7709  cr 11179  0cc0 11180   + caddc 11183  +∞cpnf 11317  *cxr 11319  cle 11321  cmin 11516  [,]cicc 13406  vol*covol 25509  volcvol 25510  1citg1 25662  2citg2 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-ofr 7711  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-rest 17477  df-topgen 17498  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22914  df-topon 22931  df-bases 22967  df-cmp 23409  df-ovol 25511  df-vol 25512  df-mbf 25666  df-itg1 25667  df-itg2 25668
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  25810  itgsplit  25883  iblsplit  45821
  Copyright terms: Public domain W3C validator