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Theorem itg2split 25666
Description: The ∫2 integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 25676, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
itg2split.i (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
itg2split.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
itg2split.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
itg2split.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
itg2split.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
itg2split.sf (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2split.sg (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)
Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.c . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
21adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
3 0e0iccpnf 13460 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
52, 4ifclda 4559 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.h . . . 4 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
75, 6fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
8 itg2cl 25649 . . 3 (𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ*)
10 itg2split.sf . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
11 itg2split.sg . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
1210, 11readdcld 11265 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11286 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
14 itg2split.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
15 itg2split.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
16 itg2split.i . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
17 itg2split.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
18 itg2split.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
19 itg2split.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
2014, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11itg2splitlem 25665 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2111adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
22 itg2lecl 25655 . . . . . . . . 9 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜π») ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
237, 12, 20, 22syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
25 itg1cl 25601 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
27 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
2927, 28itg1add 25618 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)))
307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞))
3127, 28i1fadd 25611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
33 mblss 25447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3532, 34sstrid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
3716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = 0)
38 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯πœ‘
39 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ dom ∫1
40 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝑓
41 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯ ∘r ≀
42 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
4318, 42nfcxfr 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐹
4440, 41, 43nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹
4539, 44nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
46 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ dom ∫1
47 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝑔
48 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
4919, 48nfcxfr 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐺
5047, 41, 49nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺
5146, 50nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)
5245, 51nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))
5338, 52nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)))
54 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
55 i1ff 25592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
5756ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
58 i1ff 25592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
5928, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
6059ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
61 reex 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ ℝ ∈ V)
63 inidm 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
65 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
6657, 60, 62, 62, 63, 64, 65ofval 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)))
6754, 66sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)))
68 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6956, 54, 68syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
70 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7159, 54, 70syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7269, 71readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7372rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
7569adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
77 iccssxr 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
78 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
7930, 54, 78syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
8077, 79sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
8271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
83 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
84 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)
8561a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
86 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ V)
87 ssun2 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
8887, 17sseqtrrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
8988sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
9190, 2syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
9391, 92ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
9493adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝑔 Fn ℝ)
96 dffn5 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝑔 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
9985, 86, 94, 97, 98ofrfval2 7700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn ℝ) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
10060, 99syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0)))
10184, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
102101r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
10354, 102sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
105 eldifn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
107 elin 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
108106, 107sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
109 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
110108, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡))
111110imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡)
112111iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0) = 0)
113104, 112breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ 0)
11482, 83, 75, 113leadd2dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + 0))
11575recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
116115addridd 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + 0) = (π‘“β€˜π‘₯))
117114, 116breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π‘“β€˜π‘₯))
118 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)
11961a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
120 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V)
121 ssun1 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
122121, 17sseqtrrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
123122sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
125124, 2syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
1263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
127125, 126ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
130 dffn5 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
131129, 130sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
13218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
133119, 120, 128, 131, 132ofrfval2 7700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑓 Fn ℝ) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
13457, 133syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
135118, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
136135r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
13754, 136sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
139122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† π‘ˆ)
140139sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
141140iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = 𝐢)
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1435adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞))
1446fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
145142, 143, 144syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
14654, 145sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
147146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
148 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
150141, 147, 1493eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
151138, 150breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
15274, 76, 81, 117, 151xrletrd 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
15373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
15471adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
155154rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15680adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15769adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
158 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
159137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
160 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
161160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
162159, 161breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≀ 0)
163157, 158, 154, 162leadd1dd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (0 + (π‘”β€˜π‘₯)))
164154recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
165164addlidd 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 + (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘”β€˜π‘₯))
166163, 165breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π‘”β€˜π‘₯))
167103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
168146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
16917ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
170169eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
171 elun 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ 𝐡))
172 biorf 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ 𝐡)))
173171, 172bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
174173adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
175170, 174bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
176175ifbid 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
177168, 176eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐡, 𝐢, 0))
178167, 177breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
179153, 155, 156, 166, 178xrletrd 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
180152, 179pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘”β€˜π‘₯)) ≀ (π»β€˜π‘₯))
18167, 180eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
182181ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯)))
18353, 182ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯))
184 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑦((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯)
185 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦)
186 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯ ≀
187 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝐢, 0))
1886, 187nfcxfr 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐻
189 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝑦
190188, 189nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘¦)
191185, 186, 190nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)
192 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦))
193 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘¦))
194192, 193breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦)))
195184, 191, 194cbvralw 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘₯) ≀ (π»β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
196183, 195sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
197196r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔)β€˜π‘¦) ≀ (π»β€˜π‘¦))
19830, 31, 36, 37, 197itg2uba 25660 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜(𝑓 ∘f + 𝑔)) ≀ (∫2β€˜π»))
19929, 198eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ ((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) ≀ (∫2β€˜π»))
20026adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
201 itg1cl 25601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
20228, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ∈ ℝ)
20323adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫2β€˜π») ∈ ℝ)
204200, 202, 203leaddsub2d 11838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (((∫1β€˜π‘“) + (∫1β€˜π‘”)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
205199, 204mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺))) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
206205anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
207206expr 456 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
208207ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“))))
20993, 19fmptd 7118 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
210209adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
21124, 26resubcld 11664 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ)
212211rexrd 11286 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ*)
213 itg2leub 25651 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))))
214210, 212, 213syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))))
215208, 214mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫2β€˜πΊ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫1β€˜π‘“)))
21621, 24, 26, 215lesubd 11840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))
217216expr 456 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
218217ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
219127, 18fmptd 7118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
22023, 11resubcld 11664 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
221220rexrd 11286 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
222 itg2leub 25651 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))))
223219, 221, 222syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))))
224218, 223mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ)))
225 leaddsub 11712 . . . 4 (((∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜π») ∈ ℝ) β†’ (((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
22610, 11, 23, 225syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π») ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜π») βˆ’ (∫2β€˜πΊ))))
227224, 226mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ≀ (∫2β€˜π»))
2289, 13, 20, 227xrletrid 13158 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜π») = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   ∘r cofr 7678  β„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  [,]cicc 13351  vol*covol 25378  volcvol 25379  βˆ«1citg1 25531  βˆ«2citg2 25532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  25679  itgsplit  25752  iblsplit  45277
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