Theorem itg2split 25961

Description: The ∫₂ integral splits under an almost disjoint union. The proof avoids the use of itg2add 25971, which requires countable choice. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
itg2split.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
itg2split.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2split	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2split.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2	1	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3		0e0iccpnf 13504	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
5	2, 4	ifclda 4525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
6		itg2split.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
7	5, 6	fmptd 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
8		itg2cl 25944	. . 3 ⊢ (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ*)
10		itg2split.sf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
11		itg2split.sg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
14		itg2split.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
15		itg2split.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
16		itg2split.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
17		itg2split.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
18		itg2split.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
19		itg2split.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
20	14, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 6, 10, 11	itg2splitlem 25960	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
21	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
22		itg2lecl 25950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
23	7, 12, 20, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
25		itg1cl 25897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
26	25	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
27		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
28		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
29	27, 28	itg1add 25913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘f + 𝑔)) = ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)))
30	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
31	27, 28	i1fadd 25907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
32		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
33		mblss 25743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
34	14, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	32, 34	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
37	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
38		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
39		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
40		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑓
41		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 ∘r ≤
42		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
43	18, 42	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
44	40, 41, 43	nfbr 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∘r ≤ 𝐹
45	39, 44	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
46		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
47		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑔
48		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
49	19, 48	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
50	47, 41, 49	nfbr 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∘r ≤ 𝐺
51	46, 50	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)
52	45, 51	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))
53	38, 52	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)))
54		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
55		i1ff 25888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
56	27, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
57	56	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
58		i1ff 25888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
59	28, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
60	59	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
61		reex 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℝ ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ℝ ∈ V)
63		inidm 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
64		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
65		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
66	57, 60, 62, 62, 63, 64, 65	ofval 7695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
67	54, 66	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)))
68		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
69	56, 54, 68	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
70		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
71	59, 54, 70	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
72	69, 71	readdcld 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
73	72	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
75	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ*)
77		iccssxr 13475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
78		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
79	30, 54, 78	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
80	77, 79	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
82	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
83		0red 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
84		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)
85	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
86		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
87		ssun2 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
88	87, 17	sseqtrrid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
89	88	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
90	89	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
91	90, 2	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
92	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
93	91, 92	ifclda 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
94	93	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
95		dffn5 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
96	95	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔‘𝑥)))
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
98	85, 86, 94, 96, 97	ofrfval2 7705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ℝ) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
99	60, 98	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
100	84, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
101	100	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
102	54, 101	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
104		eldifn 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
105	104	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
106		elin 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
107	105, 106	sylnib 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
108		imnan 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
109	107, 108	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
110	109	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
111	110	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
112	103, 111	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ 0)
113	82, 83, 75, 112	leadd2dd 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + 0))
114	75	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
115	114	addridd 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + 0) = (𝑓‘𝑥))
116	113, 115	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑓‘𝑥))
117		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)
118	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
119		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
120		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
121	120, 17	sseqtrrid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈)
122	121	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
123	122	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
124	123, 2	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
125	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
126	124, 125	ifclda 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
127	126	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128		dffn5 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
129	128	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑥)))
130	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
131	118, 119, 127, 129, 130	ofrfval2 7705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ℝ) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
132	57, 131	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
133	117, 132	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
134	133	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
135	54, 134	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
137	121	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
138	137	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
139	138	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
140		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
141	5	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
142	6	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
143	140, 141, 142	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
144	54, 143	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
145	144	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
146		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
147	146	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
148	139, 145, 147	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
149	136, 148	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
150	74, 76, 81, 116, 149	xrletrd 13205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
151	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ*)
152	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
153	152	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ*)
154	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℝ*)
155	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
156		0red 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
157	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
158		iffalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
159	158	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
160	157, 159	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ≤ 0)
161	155, 156, 152, 160	leadd1dd 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (0 + (𝑔‘𝑥)))
162	152	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℂ)
163	162	addlidd 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 + (𝑔‘𝑥)) = (𝑔‘𝑥))
164	161, 163	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝑔‘𝑥))
165	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
166	144	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
167	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
168	167	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
169		elun 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
170		biorf 950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)))
171	169, 170	bitr4id 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
172	171	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
173	168, 172	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
174	173	ifbid 4513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
175	166, 174	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
176	165, 175	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
177	151, 153, 154, 164, 176	xrletrd 13205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
178	150, 177	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓‘𝑥) + (𝑔‘𝑥)) ≤ (𝐻‘𝑥))
179	67, 178	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
180	179	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)))
181	53, 180	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥))
182		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥)
183		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦)
184		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
185		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 𝐶, 0))
186	6, 185	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
187		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
188	186, 187	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑦)
189	183, 184, 188	nfbr 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)
190		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦))
191		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
192	190, 191	breq12d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦)))
193	182, 189, 192	cbvralw 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
194	181, 193	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
195	194	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻‘𝑦))
196	30, 31, 36, 37, 195	itg2uba 25955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘(𝑓 ∘f + 𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
197	29, 196	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → ((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻))
198	26	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
199		itg1cl 25897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
200	28, 199	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ∈ ℝ)
201	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫2‘𝐻) ∈ ℝ)
202	198, 200, 201	leaddsub2d 11833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (((∫1‘𝑓) + (∫1‘𝑔)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
203	197, 202	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺))) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
204	203	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐺)) → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
205	204	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
206	205	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓))))
207	93, 19	fmptd 7113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
208	207	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
209	24, 26	resubcld 11659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ)
210	209	rexrd 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*)
211		itg2leub 25946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
212	208, 210, 211	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → ((∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘𝑔) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))))
213	206, 212	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫2‘𝐺) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫1‘𝑓)))
214	21, 24, 26, 213	lesubd 11835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐹)) → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
215	214	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
216	215	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
217	126, 18	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
218	23, 11	resubcld 11659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
219	218	rexrd 11276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*)
220		itg2leub 25946	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
221	217, 219, 220	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑓) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))))
222	216, 221	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺)))
223		leaddsub 11707	. . . 4 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
224	10, 11, 23, 223	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐻) − (∫2‘𝐺))))
225	222, 224	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ≤ (∫2‘𝐻))
226	9, 13, 20, 225	xrletrid 13198	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐻) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ∘_r cofr 7683  ℝcr 11116  0cc0 11117   + caddc 11120  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259   ≤ cle 11261   − cmin 11458  [,]cicc 13393  vol*covol 25674  volcvol 25675  ∫₁citg1 25827  ∫₂citg2 25828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-rest 17499  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cmp 23596  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-mbf 25831  df-itg1 25832  df-itg2 25833

This theorem is used by:  itg2cnlem2  25974  itgsplit  26048  iblsplit  46740