MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fpos 24010
Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fpos (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
2 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32biantrurd 525 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4 i1ff 23980 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ffvelrnda 6676 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
65biantrurd 525 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
7 elrege0 12658 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
86, 7syl6bbr 281 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
94adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 ffn 6344 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11 elpreima 6653 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
133, 8, 123bitr4d 303 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞))))
1413ifbid 4372 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1514mpteq2dva 5022 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
161, 15syl5eq 2827 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
17 i1fima 23982 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18 eqid 2779 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1918i1fres 24009 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2017, 19mpdan 674 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2116, 20eqeltrd 2867 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  ifcif 4350   class class class wbr 4929  cmpt 5008  ccnv 5406  dom cdm 5407  cima 5410   Fn wfn 6183  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335  +∞cpnf 10471  cle 10475  [,)cico 12556  volcvol 23767  1citg1 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-rest 16552  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258  df-cmp 21699  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923  df-itg1 23924
This theorem is referenced by:  i1fposd  24011  i1fibl  24111  itg2addnclem  34381  ftc1anclem5  34409
  Copyright terms: Public domain W3C validator