MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fpos 25023
Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fpos (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32biantrurd 534 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4 i1ff 24992 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7032 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
65biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
7 elrege0 13326 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
86, 7bitr4di 289 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
94adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 ffn 6666 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11 elpreima 7006 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
133, 8, 123bitr4d 311 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞))))
1413ifbid 4508 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1514mpteq2dva 5204 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
161, 15eqtrid 2790 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
17 i1fima 24994 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
1918i1fres 25022 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2017, 19mpdan 686 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
2116, 20eqeltrd 2839 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4485   class class class wbr 5104  cmpt 5187  ccnv 5631  dom cdm 5632  cima 5635   Fn wfn 6489  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cr 11009  0cc0 11010  +∞cpnf 11145  cle 11149  [,)cico 13221  volcvol 24779  1citg1 24931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-dju 9796  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-rest 17264  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cmp 22690  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-mbf 24935  df-itg1 24936
This theorem is referenced by:  i1fposd  25024  i1fibl  25124  itg2addnclem  36061  ftc1anclem5  36087
  Copyright terms: Public domain W3C validator