Theorem i1fpos 25632

Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fpos.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fpos	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fpos.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4		i1ff 25602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
7		elrege0 13351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	6, 7	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
9	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10		ffn 6651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11		elpreima 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
13	3, 8, 12	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞))))
14	13	ifbid 4499	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
15	14	mpteq2dva 5184	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
16	1, 15	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
17		i1fima 25604	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
19	18	i1fres 25631	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
20	17, 19	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
21	16, 20	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003  +∞cpnf 11140   ≤ cle 11144  [,)cico 13244  volcvol 25389  ∫₁citg1 25541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-rest 17323  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-cmp 23300  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546

This theorem is referenced by:  i1fposd  25633  i1fibl  25734  itg2addnclem  37710  ftc1anclem5  37736