Theorem i1fpos 25587

Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fpos.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fpos	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fpos.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4		i1ff 25556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
7		elrege0 13434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	6, 7	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
9	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10		ffn 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11		elpreima 7052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
13	3, 8, 12	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞))))
14	13	ifbid 4546	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
15	14	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
16	1, 15	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
17		i1fima 25558	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
19	18	i1fres 25586	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
20	17, 19	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
21	16, 20	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669   “ cima 5672   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246   ≤ cle 11250  [,)cico 13329  volcvol 25343  ∫₁citg1 25495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cmp 23242  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500

This theorem is referenced by:  i1fposd  25588  i1fibl  25688  itg2addnclem  37050  ftc1anclem5  37076