MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fpos 25074
Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fpos (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
32biantrurd 534 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))))
4 i1ff 25043 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
7 elrege0 13372 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
86, 7bitr4di 289 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
94adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
10 ffn 6669 . . . . . . 7 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
11 elpreima 7009 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))))
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))))
133, 8, 123bitr4d 311 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞))))
1413ifbid 4510 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1514mpteq2dva 5206 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
161, 15eqtrid 2789 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
17 i1fima 25045 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18 eqid 2737 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1918i1fres 25073 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
2017, 19mpdan 686 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (0[,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
2116, 20eqeltrd 2838 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187   ≀ cle 11191  [,)cico 13267  volcvol 24830  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  i1fposd  25075  i1fibl  25175  itg2addnclem  36132  ftc1anclem5  36158
  Copyright terms: Public domain W3C validator