Theorem i1fpos 25683

Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fpos.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fpos	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fpos.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
4		i1ff 25653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
7		elrege0 13398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	6, 7	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
9	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
11		elpreima 7004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))))
13	3, 8, 12	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞))))
14	13	ifbid 4491	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
15	14	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
16	1, 15	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
17		i1fima 25655	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
19	18	i1fres 25682	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
20	17, 19	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (0[,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
21	16, 20	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  volcvol 25440  ∫₁citg1 25592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cmp 23362  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597

This theorem is referenced by:  i1fposd  25684  i1fibl  25785  itg2addnclem  38006  ftc1anclem5  38032