Theorem itg2le 25706

Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2le	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Proof of Theorem itg2le

Dummy variables 𝑥 𝑧 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
3		i1ff 25643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
5		ressxr 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		fss 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
8		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		iccssxr 13383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		fss 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
11	8, 9, 10	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
12		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
13		fss 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
14	12, 9, 13	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
15		xrletr 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
17	2, 7, 11, 14, 16	caoftrn 7672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ℎ ∘r ≤ 𝐺))
18		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
19		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∈ dom ∫1)
20		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∘r ≤ 𝐺)
21		itg2ub 25700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
23	22	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → (ℎ ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
24	17, 23	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
25	24	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
26	25	exp4b 430	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
27	26	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
28	27	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
29	28	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
30		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31		itg2cl 25699	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
32	31	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
33		itg2leub 25701	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
34	30, 32, 33	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
35	29, 34	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∘_r cofr 7630  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  ∫₁citg1 25582  ∫₂citg2 25583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588

This theorem is referenced by:  itg2const2  25708  itg2monolem1  25717  itg2mono  25720  itg2gt0  25727  itg2cnlem2  25729  iblss  25772  itgle  25777  ibladdlem  25787  iblabs  25796  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  bddmulibl  25806  bddiblnc  25809  itg2gt0cn  37996  ibladdnclem  37997  iblabsnc  38005  iblmulc2nc  38006  ftc1anclem4  38017  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  ftc1anc  38022