MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2le Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2le 25256
Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2le ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Proof of Theorem itg2le
Dummy variables π‘₯ 𝑧 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11200 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
3 i1ff 25192 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
43adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
5 ressxr 11257 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
6 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„*)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„*)
8 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
9 iccssxr 13406 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
10 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
12 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
13 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„*)
1412, 9, 13sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„*)
15 xrletr 13136 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
172, 7, 11, 14, 16caoftrn 7707 . . . . . . . 8 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((β„Ž ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ β„Ž ∘r ≀ 𝐺))
18 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
19 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ β„Ž ∈ dom ∫1)
20 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)
21 itg2ub 25250 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))
2322expr 457 . . . . . . . 8 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2417, 23syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((β„Ž ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2524ancomsd 466 . . . . . 6 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2625exp4b 431 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))))
2726com23 86 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))))
28273impia 1117 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
2928ralrimiv 3145 . 2 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
30 simp1 1136 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
31 itg2cl 25249 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
32313ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
33 itg2leub 25251 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
3430, 32, 33syl2anc 584 . 2 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
3529, 34mpbird 256 1 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘r cofr 7668  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  [,]cicc 13326  βˆ«1citg1 25131  βˆ«2citg2 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137
This theorem is referenced by:  itg2const2  25258  itg2monolem1  25267  itg2mono  25270  itg2gt0  25277  itg2cnlem2  25279  iblss  25321  itgle  25326  ibladdlem  25336  iblabs  25345  iblabsr  25346  iblmulc2  25347  bddmulibl  25355  bddiblnc  25358  itg2gt0cn  36538  ibladdnclem  36539  iblabsnc  36547  iblmulc2nc  36548  ftc1anclem4  36559  ftc1anclem6  36561  ftc1anclem7  36562  ftc1anclem8  36563  ftc1anc  36564
  Copyright terms: Public domain W3C validator