MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2le Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2le 25257
Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2le ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Proof of Theorem itg2le
Dummy variables π‘₯ 𝑧 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
3 i1ff 25193 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
43adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
5 ressxr 11258 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
6 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„*)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„*)
8 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
9 iccssxr 13407 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
10 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„*)
12 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
13 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„*)
1412, 9, 13sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„*)
15 xrletr 13137 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
1615adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
172, 7, 11, 14, 16caoftrn 7708 . . . . . . . 8 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((β„Ž ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ β„Ž ∘r ≀ 𝐺))
18 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
19 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ β„Ž ∈ dom ∫1)
20 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)
21 itg2ub 25251 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ (β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐺)) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))
2322expr 458 . . . . . . . 8 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐺 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2417, 23syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((β„Ž ∘r ≀ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2524ancomsd 467 . . . . . 6 (((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) β†’ ((𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ β„Ž ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
2625exp4b 432 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))))
2726com23 86 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (𝐹 ∘r ≀ 𝐺 β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))))
28273impia 1118 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
2928ralrimiv 3146 . 2 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ)))
30 simp1 1137 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
31 itg2cl 25250 . . . 4 (𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
32313ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
33 itg2leub 25252 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
3430, 32, 33syl2anc 585 . 2 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ) ↔ βˆ€β„Ž ∈ dom ∫1(β„Ž ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜β„Ž) ≀ (∫2β€˜πΊ))))
3529, 34mpbird 257 1 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327  βˆ«1citg1 25132  βˆ«2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138
This theorem is referenced by:  itg2const2  25259  itg2monolem1  25268  itg2mono  25271  itg2gt0  25278  itg2cnlem2  25280  iblss  25322  itgle  25327  ibladdlem  25337  iblabs  25346  iblabsr  25347  iblmulc2  25348  bddmulibl  25356  bddiblnc  25359  itg2gt0cn  36591  ibladdnclem  36592  iblabsnc  36600  iblmulc2nc  36601  ftc1anclem4  36612  ftc1anclem6  36614  ftc1anclem7  36615  ftc1anclem8  36616  ftc1anc  36617
  Copyright terms: Public domain W3C validator