Theorem itg2le 25909

Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2le	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Proof of Theorem itg2le

Dummy variables 𝑥 𝑧 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
3		i1ff 25846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
4	3	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
5		ressxr 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		fss 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
8		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		iccssxr 13463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		fss 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
11	8, 9, 10	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
12		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
13		fss 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
14	12, 9, 13	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
15		xrletr 13189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	15	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
17	2, 7, 11, 14, 16	caoftrn 7717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ℎ ∘r ≤ 𝐺))
18		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
19		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∈ dom ∫1)
20		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∘r ≤ 𝐺)
21		itg2ub 25903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
23	22	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → (ℎ ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
24	17, 23	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
25	24	ancomsd 470	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
26	25	exp4b 435	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
27	26	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
28	27	3impia 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
29	28	ralrimiv 3155	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
30		simp1 1153	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31		itg2cl 25902	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
32	31	3ad2ant2 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
33		itg2leub 25904	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
35	29, 34	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∘_r cofr 7675  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250  [,]cicc 13381  ∫₁citg1 25785  ∫₂citg2 25786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13144  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-xmet 21526  df-met 21527  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-mbf 25789  df-itg1 25790  df-itg2 25791

This theorem is used by:  itg2const2  25911  itg2monolem1  25920  itg2mono  25923  itg2gt0  25930  itg2cnlem2  25932  iblss  25975  itgle  25980  ibladdlem  25990  iblabs  25999  iblabsr  26000  iblmulc2  26001  bddmulibl  26009  bddiblnc  26012  itg2gt0cn  38354  ibladdnclem  38355  iblabsnc  38363  iblmulc2nc  38364  ftc1anclem4  38375  ftc1anclem6  38377  ftc1anclem7  38378  ftc1anclem8  38379  ftc1anc  38380