Theorem itg2le 24949

Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2le	⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Proof of Theorem itg2le

Dummy variables 𝑥 𝑧 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
3		i1ff 24885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
4	3	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
5		ressxr 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6		fss 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ℎ:ℝ⟶ℝ*)
8		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		iccssxr 13208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		fss 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
11	8, 9, 10	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
12		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
13		fss 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
14	12, 9, 13	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
15		xrletr 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	15	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
17	2, 7, 11, 14, 16	caoftrn 7603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ℎ ∘r ≤ 𝐺))
18		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
19		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∈ dom ∫1)
20		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → ℎ ∘r ≤ 𝐺)
21		itg2ub 24943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ (ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐺)) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))
23	22	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → (ℎ ∘r ≤ 𝐺 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
24	17, 23	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((ℎ ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
25	24	ancomsd 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘r ≤ 𝐺 ∧ ℎ ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
26	25	exp4b 432	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
27	26	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹 ∘r ≤ 𝐺 → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))))
28	27	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
29	28	ralrimiv 3139	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺)))
30		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31		itg2cl 24942	. . . 4 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
32	31	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
33		itg2leub 24944	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
34	30, 32, 33	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺) ↔ ∀ℎ ∈ dom ∫1(ℎ ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘ℎ) ≤ (∫2‘𝐺))))
35	29, 34	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐺) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  dom cdm 5600  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∘_r cofr 7564  ℝcr 10916  0cc0 10917  +∞cpnf 11052  ℝ^*cxr 11054   ≤ cle 11056  [,]cicc 13128  ∫₁citg1 24824  ∫₂citg2 24825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xadd 12895  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443  df-xmet 20635  df-met 20636  df-ovol 24673  df-vol 24674  df-mbf 24828  df-itg1 24829  df-itg2 24830

This theorem is referenced by:  itg2const2  24951  itg2monolem1  24960  itg2mono  24963  itg2gt0  24970  itg2cnlem2  24972  iblss  25014  itgle  25019  ibladdlem  25029  iblabs  25038  iblabsr  25039  iblmulc2  25040  bddmulibl  25048  bddiblnc  25051  itg2gt0cn  35876  ibladdnclem  35877  iblabsnc  35885  iblmulc2nc  35886  ftc1anclem4  35897  ftc1anclem6  35899  ftc1anclem7  35900  ftc1anclem8  35901  ftc1anc  35902