MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2le 24322
Description: If one function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2le ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))

Proof of Theorem itg2le
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10606 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
3 i1ff 24259 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
43adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → :ℝ⟶ℝ)
5 ressxr 10663 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6 fss 6503 . . . . . . . . . 10 ((:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → :ℝ⟶ℝ*)
74, 5, 6sylancl 588 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → :ℝ⟶ℝ*)
8 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9 iccssxr 12799 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 fss 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
118, 9, 10sylancl 588 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ*)
12 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
13 fss 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
1412, 9, 13sylancl 588 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → 𝐺:ℝ⟶ℝ*)
15 xrletr 12530 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
1615adantl 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
172, 7, 11, 14, 16caoftrn 7422 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → ((r𝐹𝐹r𝐺) → r𝐺))
18 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ( ∈ dom ∫1r𝐺)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
19 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ( ∈ dom ∫1r𝐺)) → ∈ dom ∫1)
20 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ( ∈ dom ∫1r𝐺)) → r𝐺)
21 itg2ub 24316 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ∈ dom ∫1r𝐺) → (∫1) ≤ (∫2𝐺))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ( ∈ dom ∫1r𝐺)) → (∫1) ≤ (∫2𝐺))
2322expr 459 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → (r𝐺 → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))
2417, 23syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → ((r𝐹𝐹r𝐺) → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))
2524ancomsd 468 . . . . . 6 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) ∧ ∈ dom ∫1) → ((𝐹r𝐺r𝐹) → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))
2625exp4b 433 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → ( ∈ dom ∫1 → (𝐹r𝐺 → (r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))))
2726com23 86 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹r𝐺 → ( ∈ dom ∫1 → (r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))))
28273impia 1113 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → ( ∈ dom ∫1 → (r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺))))
2928ralrimiv 3168 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → ∀ ∈ dom ∫1(r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺)))
30 simp1 1132 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31 itg2cl 24315 . . . 4 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
32313ad2ant2 1130 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
33 itg2leub 24317 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀ ∈ dom ∫1(r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺))))
3430, 32, 33syl2anc 586 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀ ∈ dom ∫1(r𝐹 → (∫1) ≤ (∫2𝐺))))
3529, 34mpbird 259 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹r𝐺) → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2114  wral 3125  Vcvv 3473  wss 3913   class class class wbr 5042  dom cdm 5531  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  r cofr 7386  cr 10514  0cc0 10515  +∞cpnf 10650  *cxr 10652  cle 10654  [,]cicc 12720  1citg1 24198  2citg2 24199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xadd 12487  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-xmet 20514  df-met 20515  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204
This theorem is referenced by:  itg2const2  24324  itg2monolem1  24333  itg2mono  24336  itg2gt0  24343  itg2cnlem2  24345  iblss  24387  itgle  24392  ibladdlem  24402  iblabs  24411  iblabsr  24412  iblmulc2  24413  bddmulibl  24421  bddiblnc  24424  itg2gt0cn  34988  ibladdnclem  34989  iblabsnc  34997  iblmulc2nc  34998  ftc1anclem4  35009  ftc1anclem6  35011  ftc1anclem7  35012  ftc1anclem8  35013  ftc1anc  35014
  Copyright terms: Public domain W3C validator