Theorem lesub1dd 11829

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11820	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℝcr 11098   ≤ cle 11243   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  eluzmn  12868  elfzmlbm  13665  modmulnn  13921  icodiamlt  15488  rlimrege0  15629  climsqz2  15692  rlimsqz2  15701  isercolllem1  15715  caucvgrlem  15723  climcndslem1  15902  bitsinv1lem  16498  hashdvds  16833  4sqlem6  17002  dvfsumlem2  26165  dvfsumlem4  26167  dvfsum2  26172  isosctrlem1  26959  lgamgulmlem2  27170  basellem9  27229  ppiub  27344  chtub  27352  logfaclbnd  27362  bposlem1  27424  bposlem6  27429  selberg2lem  27690  pntpbnd2  27727  pntlemo  27747  ttgcontlem1  29200  axpaschlem  29256  axcontlem8  29287  cycpmco2lem7  33418  dnibndlem10  37020  unblimceq0  37040  unbdqndv2lem2  37043  poimirlem6  38221  poimirlem7  38222  itg2addnclem3  38268  iccbnd  38435  lcmineqlem23  42764  sticksstones12a  42870  sticksstones12  42871  bcled  42891  bcle2d  42892  jm2.24nn  43634  fzmaxdif  43656  areaquad  43891  monoords  45964  iccshift  46182  climinf  46270  sumnnodd  46294  dvnmul  46605  itgiccshift  46642  itgperiod  46643  itgsbtaddcnst  46644  stoweidlem13  46675  stoweidlem26  46688  stoweidlem34  46696  fourierdlem19  46788  fourierdlem42  46811  fourierdlem74  46842  fourierdlem75  46843  fourierdlem79  46847  fourierdlem81  46849  fourierdlem82  46850  fourierdlem103  46871  fourierdlem104  46872  fouriersw  46893  hoidmvlelem1  47257  bgoldbtbndlem2  48516