Theorem lesub1dd 11789

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  ℝcr 11058   ≤ cle 11203   − cmin 11400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  eluzmn  12832  elfzmlbm  13629  modmulnn  13885  icodiamlt  15437  rlimrege0  15578  climsqz2  15641  rlimsqz2  15650  isercolllem1  15664  caucvgrlem  15672  climcndslem1  15851  bitsinv1lem  16447  hashdvds  16782  4sqlem6  16951  dvfsumlem2  26058  dvfsumlem4  26060  dvfsum2  26065  isosctrlem1  26849  lgamgulmlem2  27060  basellem9  27119  ppiub  27234  chtub  27242  logfaclbnd  27252  bposlem1  27314  bposlem6  27319  selberg2lem  27580  pntpbnd2  27617  pntlemo  27637  ttgcontlem1  29020  axpaschlem  29076  axcontlem8  29107  cycpmco2lem7  33262  dnibndlem10  36863  unblimceq0  36883  unbdqndv2lem2  36886  poimirlem6  38063  poimirlem7  38064  itg2addnclem3  38110  iccbnd  38277  lcmineqlem23  42606  sticksstones12a  42712  sticksstones12  42713  bcled  42733  bcle2d  42734  jm2.24nn  43474  fzmaxdif  43496  areaquad  43731  monoords  45814  iccshift  46032  climinf  46120  sumnnodd  46144  dvnmul  46455  itgiccshift  46492  itgperiod  46493  itgsbtaddcnst  46494  stoweidlem13  46525  stoweidlem26  46538  stoweidlem34  46546  fourierdlem19  46638  fourierdlem42  46661  fourierdlem74  46692  fourierdlem75  46693  fourierdlem79  46697  fourierdlem81  46699  fourierdlem82  46700  fourierdlem103  46721  fourierdlem104  46722  fouriersw  46743  hoidmvlelem1  47107  bgoldbtbndlem2  48366