Theorem lesub1dd 11772

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11045   ≤ cle 11187   − cmin 11383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386

This theorem is referenced by:  eluzmn  12778  elfzmlbm  13577  modmulnn  13829  icodiamlt  15381  rlimrege0  15522  climsqz2  15585  rlimsqz2  15594  isercolllem1  15608  caucvgrlem  15616  climcndslem1  15792  bitsinv1lem  16388  hashdvds  16722  4sqlem6  16891  dvfsumlem2  25967  dvfsumlem2OLD  25968  dvfsumlem4  25970  dvfsum2  25975  isosctrlem1  26762  lgamgulmlem2  26974  basellem9  27033  ppiub  27149  chtub  27157  logfaclbnd  27167  bposlem1  27229  bposlem6  27234  selberg2lem  27495  pntpbnd2  27532  pntlemo  27552  ttgcontlem1  28866  axpaschlem  28921  axcontlem8  28952  cycpmco2lem7  33105  dnibndlem10  36469  unblimceq0  36489  unbdqndv2lem2  36492  poimirlem6  37614  poimirlem7  37615  itg2addnclem3  37661  iccbnd  37828  lcmineqlem23  42033  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  bcled  42160  bcle2d  42161  jm2.24nn  42942  fzmaxdif  42964  areaquad  43199  monoords  45289  iccshift  45510  climinf  45598  sumnnodd  45622  dvnmul  45935  itgiccshift  45972  itgperiod  45973  itgsbtaddcnst  45974  stoweidlem13  46005  stoweidlem26  46018  stoweidlem34  46026  fourierdlem19  46118  fourierdlem42  46141  fourierdlem74  46172  fourierdlem75  46173  fourierdlem79  46177  fourierdlem81  46179  fourierdlem82  46180  fourierdlem103  46201  fourierdlem104  46202  fouriersw  46223  hoidmvlelem1  46587  bgoldbtbndlem2  47801