Theorem lesub1dd 11574

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854   ≤ cle 10994   − cmin 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  eluzmn  12571  elfzmlbm  13348  modmulnn  13590  icodiamlt  15128  rlimrege0  15269  climsqz2  15332  rlimsqz2  15343  isercolllem1  15357  caucvgrlem  15365  climcndslem1  15542  bitsinv1lem  16129  hashdvds  16457  4sqlem6  16625  dvfsumlem2  25172  dvfsumlem4  25174  dvfsum2  25179  isosctrlem1  25949  lgamgulmlem2  26160  basellem9  26219  ppiub  26333  chtub  26341  logfaclbnd  26351  bposlem1  26413  bposlem6  26418  selberg2lem  26679  pntpbnd2  26716  pntlemo  26736  ttgcontlem1  27233  axpaschlem  27289  axcontlem8  27320  cycpmco2lem7  31378  dnibndlem10  34646  unblimceq0  34666  unbdqndv2lem2  34669  poimirlem6  35762  poimirlem7  35763  itg2addnclem3  35809  iccbnd  35977  lcmineqlem23  40039  sticksstones12a  40093  sticksstones12  40094  metakunt30  40134  jm2.24nn  40761  fzmaxdif  40783  areaquad  41027  monoords  42790  iccshift  43010  climinf  43101  sumnnodd  43125  dvnmul  43438  itgiccshift  43475  itgperiod  43476  itgsbtaddcnst  43477  stoweidlem13  43508  stoweidlem26  43521  stoweidlem34  43529  fourierdlem19  43621  fourierdlem42  43644  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fourierdlem79  43680  fourierdlem81  43682  fourierdlem82  43683  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fouriersw  43726  hoidmvlelem1  44087  bgoldbtbndlem2  45210