Theorem lesub1dd 11845

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  ℝcr 11120   ≤ cle 11262   − cmin 11458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is referenced by:  eluzmn  12851  elfzmlbm  13644  modmulnn  13895  icodiamlt  15441  rlimrege0  15582  climsqz2  15645  rlimsqz2  15654  isercolllem1  15668  caucvgrlem  15676  climcndslem1  15852  bitsinv1lem  16445  hashdvds  16779  4sqlem6  16948  dvfsumlem2  25970  dvfsumlem2OLD  25971  dvfsumlem4  25973  dvfsum2  25978  isosctrlem1  26764  lgamgulmlem2  26976  basellem9  27035  ppiub  27151  chtub  27159  logfaclbnd  27169  bposlem1  27231  bposlem6  27236  selberg2lem  27497  pntpbnd2  27534  pntlemo  27554  ttgcontlem1  28796  axpaschlem  28851  axcontlem8  28882  cycpmco2lem7  33061  dnibndlem10  36426  unblimceq0  36446  unbdqndv2lem2  36449  poimirlem6  37571  poimirlem7  37572  itg2addnclem3  37618  iccbnd  37785  lcmineqlem23  41986  sticksstones12a  42092  sticksstones12  42093  bcled  42113  bcle2d  42114  metakunt30  42169  jm2.24nn  42908  fzmaxdif  42930  areaquad  43165  monoords  45253  iccshift  45475  climinf  45565  sumnnodd  45589  dvnmul  45902  itgiccshift  45939  itgperiod  45940  itgsbtaddcnst  45941  stoweidlem13  45972  stoweidlem26  45985  stoweidlem34  45993  fourierdlem19  46085  fourierdlem42  46108  fourierdlem74  46139  fourierdlem75  46140  fourierdlem79  46144  fourierdlem81  46146  fourierdlem82  46147  fourierdlem103  46168  fourierdlem104  46169  fouriersw  46190  hoidmvlelem1  46554  bgoldbtbndlem2  47738