Theorem lesub1dd 11294

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574   ≤ cle 10714   − cmin 10908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911

This theorem is referenced by:  eluzmn  12289  elfzmlbm  13066  modmulnn  13306  icodiamlt  14843  rlimrege0  14984  climsqz2  15046  rlimsqz2  15055  isercolllem1  15069  caucvgrlem  15077  climcndslem1  15252  bitsinv1lem  15840  hashdvds  16167  4sqlem6  16334  dvfsumlem2  24726  dvfsumlem4  24728  dvfsum2  24733  isosctrlem1  25503  lgamgulmlem2  25714  basellem9  25773  ppiub  25887  chtub  25895  logfaclbnd  25905  bposlem1  25967  bposlem6  25972  selberg2lem  26233  pntpbnd2  26270  pntlemo  26290  ttgcontlem1  26778  axpaschlem  26833  axcontlem8  26864  cycpmco2lem7  30925  dnibndlem10  34216  unblimceq0  34236  unbdqndv2lem2  34239  poimirlem6  35343  poimirlem7  35344  itg2addnclem3  35390  iccbnd  35558  lcmineqlem23  39618  metakunt30  39676  jm2.24nn  40273  fzmaxdif  40295  areaquad  40539  monoords  42297  iccshift  42521  climinf  42614  sumnnodd  42638  dvnmul  42951  itgiccshift  42988  itgperiod  42989  itgsbtaddcnst  42990  stoweidlem13  43021  stoweidlem26  43034  stoweidlem34  43042  fourierdlem19  43134  fourierdlem42  43157  fourierdlem74  43188  fourierdlem75  43189  fourierdlem79  43193  fourierdlem81  43195  fourierdlem82  43196  fourierdlem103  43217  fourierdlem104  43218  fouriersw  43239  hoidmvlelem1  43600  bgoldbtbndlem2  44691