Theorem lesub1dd 11773

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  ℝcr 11046   ≤ cle 11188   − cmin 11384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387

This theorem is referenced by:  eluzmn  12779  elfzmlbm  13578  modmulnn  13830  icodiamlt  15382  rlimrege0  15523  climsqz2  15586  rlimsqz2  15595  isercolllem1  15609  caucvgrlem  15617  climcndslem1  15793  bitsinv1lem  16389  hashdvds  16723  4sqlem6  16892  dvfsumlem2  25968  dvfsumlem2OLD  25969  dvfsumlem4  25971  dvfsum2  25976  isosctrlem1  26763  lgamgulmlem2  26975  basellem9  27034  ppiub  27150  chtub  27158  logfaclbnd  27168  bposlem1  27230  bposlem6  27235  selberg2lem  27496  pntpbnd2  27533  pntlemo  27553  ttgcontlem1  28867  axpaschlem  28922  axcontlem8  28953  cycpmco2lem7  33106  dnibndlem10  36470  unblimceq0  36490  unbdqndv2lem2  36493  poimirlem6  37615  poimirlem7  37616  itg2addnclem3  37662  iccbnd  37829  lcmineqlem23  42034  sticksstones12a  42140  sticksstones12  42141  bcled  42161  bcle2d  42162  jm2.24nn  42943  fzmaxdif  42965  areaquad  43200  monoords  45290  iccshift  45511  climinf  45599  sumnnodd  45623  dvnmul  45936  itgiccshift  45973  itgperiod  45974  itgsbtaddcnst  45975  stoweidlem13  46006  stoweidlem26  46019  stoweidlem34  46027  fourierdlem19  46119  fourierdlem42  46142  fourierdlem74  46173  fourierdlem75  46174  fourierdlem79  46178  fourierdlem81  46180  fourierdlem82  46181  fourierdlem103  46202  fourierdlem104  46203  fouriersw  46224  hoidmvlelem1  46588  bgoldbtbndlem2  47802