Theorem lesub1dd 11826

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   ≤ cle 11245   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  eluzmn  12825  elfzmlbm  13607  modmulnn  13850  icodiamlt  15378  rlimrege0  15519  climsqz2  15582  rlimsqz2  15593  isercolllem1  15607  caucvgrlem  15615  climcndslem1  15791  bitsinv1lem  16378  hashdvds  16704  4sqlem6  16872  dvfsumlem2  25535  dvfsumlem4  25537  dvfsum2  25542  isosctrlem1  26312  lgamgulmlem2  26523  basellem9  26582  ppiub  26696  chtub  26704  logfaclbnd  26714  bposlem1  26776  bposlem6  26781  selberg2lem  27042  pntpbnd2  27079  pntlemo  27099  ttgcontlem1  28131  axpaschlem  28187  axcontlem8  28218  cycpmco2lem7  32278  gg-dvfsumlem2  35171  dnibndlem10  35351  unblimceq0  35371  unbdqndv2lem2  35374  poimirlem6  36482  poimirlem7  36483  itg2addnclem3  36529  iccbnd  36696  lcmineqlem23  40904  sticksstones12a  40961  sticksstones12  40962  metakunt30  41002  jm2.24nn  41683  fzmaxdif  41705  areaquad  41950  monoords  43993  iccshift  44217  climinf  44308  sumnnodd  44332  dvnmul  44645  itgiccshift  44682  itgperiod  44683  itgsbtaddcnst  44684  stoweidlem13  44715  stoweidlem26  44728  stoweidlem34  44736  fourierdlem19  44828  fourierdlem42  44851  fourierdlem74  44882  fourierdlem75  44883  fourierdlem79  44887  fourierdlem81  44889  fourierdlem82  44890  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912  fouriersw  44933  hoidmvlelem1  45297  bgoldbtbndlem2  46460