Theorem lesub1dd 11959

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   ≤ cle 11371   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  eluzmn  12999  elfzmlbm  13799  modmulnn  14056  icodiamlt  15634  rlimrege0  15775  climsqz2  15838  rlimsqz2  15847  isercolllem1  15861  caucvgrlem  15869  climcndslem1  16047  bitsinv1lem  16640  hashdvds  16981  4sqlem6  17150  dvfsumlem2  26377  dvfsumlem4  26379  dvfsum2  26384  isosctrlem1  27176  lgamgulmlem2  27387  basellem9  27446  ppiub  27561  chtub  27569  logfaclbnd  27579  bposlem1  27641  bposlem6  27646  selberg2lem  27907  pntpbnd2  27944  pntlemo  27964  ttgcontlem1  29492  axpaschlem  29548  axcontlem8  29579  cycpmco2lem7  33763  dnibndlem10  37531  unblimceq0  37551  unbdqndv2lem2  37554  poimirlem6  38736  poimirlem7  38737  itg2addnclem3  38783  iccbnd  38966  lcmineqlem23  43293  sticksstones12a  43399  sticksstones12  43400  bcled  43420  bcle2d  43421  jm2.24nn  44159  fzmaxdif  44181  areaquad  44410  monoords  46518  iccshift  46735  climinf  46823  sumnnodd  46847  dvnmul  47158  itgiccshift  47195  itgperiod  47196  itgsbtaddcnst  47197  stoweidlem13  47228  stoweidlem26  47241  stoweidlem34  47249  fourierdlem19  47341  fourierdlem42  47364  fourierdlem74  47395  fourierdlem75  47396  fourierdlem79  47400  fourierdlem81  47402  fourierdlem82  47403  fourierdlem103  47424  fourierdlem104  47425  fouriersw  47446  hoidmvlelem1  47810  bgoldbtbndlem2  49109