Theorem lesub1dd 11725

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11716	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  ℝcr 10997   ≤ cle 11139   − cmin 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  eluzmn  12731  elfzmlbm  13530  modmulnn  13785  icodiamlt  15337  rlimrege0  15478  climsqz2  15541  rlimsqz2  15550  isercolllem1  15564  caucvgrlem  15572  climcndslem1  15748  bitsinv1lem  16344  hashdvds  16678  4sqlem6  16847  dvfsumlem2  25953  dvfsumlem2OLD  25954  dvfsumlem4  25956  dvfsum2  25961  isosctrlem1  26748  lgamgulmlem2  26960  basellem9  27019  ppiub  27135  chtub  27143  logfaclbnd  27153  bposlem1  27215  bposlem6  27220  selberg2lem  27481  pntpbnd2  27518  pntlemo  27538  ttgcontlem1  28856  axpaschlem  28911  axcontlem8  28942  cycpmco2lem7  33091  dnibndlem10  36500  unblimceq0  36520  unbdqndv2lem2  36523  poimirlem6  37645  poimirlem7  37646  itg2addnclem3  37692  iccbnd  37859  lcmineqlem23  42063  sticksstones12a  42169  sticksstones12  42170  bcled  42190  bcle2d  42191  jm2.24nn  42971  fzmaxdif  42993  areaquad  43228  monoords  45317  iccshift  45537  climinf  45625  sumnnodd  45649  dvnmul  45960  itgiccshift  45997  itgperiod  45998  itgsbtaddcnst  45999  stoweidlem13  46030  stoweidlem26  46043  stoweidlem34  46051  fourierdlem19  46143  fourierdlem42  46166  fourierdlem74  46197  fourierdlem75  46198  fourierdlem79  46202  fourierdlem81  46204  fourierdlem82  46205  fourierdlem103  46226  fourierdlem104  46227  fouriersw  46248  hoidmvlelem1  46612  bgoldbtbndlem2  47816