Theorem lesub1dd 11836

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105   ≤ cle 11250   − cmin 11447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  eluzmn  12875  elfzmlbm  13673  modmulnn  13929  icodiamlt  15496  rlimrege0  15637  climsqz2  15700  rlimsqz2  15709  isercolllem1  15723  caucvgrlem  15731  climcndslem1  15910  bitsinv1lem  16505  hashdvds  16840  4sqlem6  17009  dvfsumlem2  26197  dvfsumlem4  26199  dvfsum2  26204  isosctrlem1  26994  lgamgulmlem2  27205  basellem9  27264  ppiub  27379  chtub  27387  logfaclbnd  27397  bposlem1  27459  bposlem6  27464  selberg2lem  27725  pntpbnd2  27762  pntlemo  27782  ttgcontlem1  29245  axpaschlem  29301  axcontlem8  29332  cycpmco2lem7  33461  dnibndlem10  37104  unblimceq0  37124  unbdqndv2lem2  37127  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  itg2addnclem3  38352  iccbnd  38519  lcmineqlem23  42846  sticksstones12a  42952  sticksstones12  42953  bcled  42973  bcle2d  42974  jm2.24nn  43714  fzmaxdif  43736  areaquad  43971  monoords  46044  iccshift  46262  climinf  46350  sumnnodd  46374  dvnmul  46685  itgiccshift  46722  itgperiod  46723  itgsbtaddcnst  46724  stoweidlem13  46755  stoweidlem26  46768  stoweidlem34  46776  fourierdlem19  46868  fourierdlem42  46891  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem79  46927  fourierdlem81  46929  fourierdlem82  46930  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fouriersw  46973  hoidmvlelem1  47337  bgoldbtbndlem2  48599