Theorem lesub1dd 11858

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   ≤ cle 11275   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474

This theorem is referenced by:  eluzmn  12864  elfzmlbm  13660  modmulnn  13911  icodiamlt  15459  rlimrege0  15600  climsqz2  15663  rlimsqz2  15672  isercolllem1  15686  caucvgrlem  15694  climcndslem1  15870  bitsinv1lem  16465  hashdvds  16799  4sqlem6  16968  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem4  25993  dvfsum2  25998  isosctrlem1  26785  lgamgulmlem2  26997  basellem9  27056  ppiub  27172  chtub  27180  logfaclbnd  27190  bposlem1  27252  bposlem6  27257  selberg2lem  27518  pntpbnd2  27555  pntlemo  27575  ttgcontlem1  28869  axpaschlem  28924  axcontlem8  28955  cycpmco2lem7  33148  dnibndlem10  36510  unblimceq0  36530  unbdqndv2lem2  36533  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  itg2addnclem3  37702  iccbnd  37869  lcmineqlem23  42069  sticksstones12a  42175  sticksstones12  42176  bcled  42196  bcle2d  42197  jm2.24nn  42950  fzmaxdif  42972  areaquad  43207  monoords  45293  iccshift  45514  climinf  45602  sumnnodd  45626  dvnmul  45939  itgiccshift  45976  itgperiod  45977  itgsbtaddcnst  45978  stoweidlem13  46009  stoweidlem26  46022  stoweidlem34  46030  fourierdlem19  46122  fourierdlem42  46145  fourierdlem74  46176  fourierdlem75  46177  fourierdlem79  46181  fourierdlem81  46183  fourierdlem82  46184  fourierdlem103  46205  fourierdlem104  46206  fouriersw  46227  hoidmvlelem1  46591  bgoldbtbndlem2  47787