Theorem lesub1dd 11766

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11757	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   ≤ cle 11180   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  eluzmn  12795  elfzmlbm  13592  modmulnn  13848  icodiamlt  15400  rlimrege0  15541  climsqz2  15604  rlimsqz2  15613  isercolllem1  15627  caucvgrlem  15635  climcndslem1  15814  bitsinv1lem  16410  hashdvds  16745  4sqlem6  16914  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  isosctrlem1  26782  lgamgulmlem2  26993  basellem9  27052  ppiub  27167  chtub  27175  logfaclbnd  27185  bposlem1  27247  bposlem6  27252  selberg2lem  27513  pntpbnd2  27550  pntlemo  27570  ttgcontlem1  28953  axpaschlem  29009  axcontlem8  29040  cycpmco2lem7  33193  dnibndlem10  36747  unblimceq0  36767  unbdqndv2lem2  36770  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  itg2addnclem3  37994  iccbnd  38161  lcmineqlem23  42490  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  bcled  42617  bcle2d  42618  jm2.24nn  43387  fzmaxdif  43409  areaquad  43644  monoords  45730  iccshift  45948  climinf  46036  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  itgsbtaddcnst  46410  stoweidlem13  46441  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  fourierdlem19  46554  fourierdlem42  46577  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem79  46613  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fouriersw  46659  hoidmvlelem1  47023  bgoldbtbndlem2  48276