Theorem lesub1dd 11739

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11011   ≤ cle 11153   − cmin 11350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353

This theorem is referenced by:  eluzmn  12745  elfzmlbm  13544  modmulnn  13799  icodiamlt  15351  rlimrege0  15492  climsqz2  15555  rlimsqz2  15564  isercolllem1  15578  caucvgrlem  15586  climcndslem1  15762  bitsinv1lem  16358  hashdvds  16692  4sqlem6  16861  dvfsumlem2  25966  dvfsumlem2OLD  25967  dvfsumlem4  25969  dvfsum2  25974  isosctrlem1  26761  lgamgulmlem2  26973  basellem9  27032  ppiub  27148  chtub  27156  logfaclbnd  27166  bposlem1  27228  bposlem6  27233  selberg2lem  27494  pntpbnd2  27531  pntlemo  27551  ttgcontlem1  28869  axpaschlem  28925  axcontlem8  28956  cycpmco2lem7  33108  dnibndlem10  36538  unblimceq0  36558  unbdqndv2lem2  36561  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  itg2addnclem3  37719  iccbnd  37886  lcmineqlem23  42150  sticksstones12a  42256  sticksstones12  42257  bcled  42277  bcle2d  42278  jm2.24nn  43057  fzmaxdif  43079  areaquad  43314  monoords  45403  iccshift  45623  climinf  45711  sumnnodd  45735  dvnmul  46046  itgiccshift  46083  itgperiod  46084  itgsbtaddcnst  46085  stoweidlem13  46116  stoweidlem26  46129  stoweidlem34  46137  fourierdlem19  46229  fourierdlem42  46252  fourierdlem74  46283  fourierdlem75  46284  fourierdlem79  46288  fourierdlem81  46290  fourierdlem82  46291  fourierdlem103  46312  fourierdlem104  46313  fouriersw  46334  hoidmvlelem1  46698  bgoldbtbndlem2  47911