Theorem lesub1dd 11857

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   ≤ cle 11271   − cmin 11468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  eluzmn  12897  elfzmlbm  13695  modmulnn  13952  icodiamlt  15527  rlimrege0  15668  climsqz2  15731  rlimsqz2  15740  isercolllem1  15754  caucvgrlem  15762  climcndslem1  15940  bitsinv1lem  16535  hashdvds  16870  4sqlem6  17039  dvfsumlem2  26256  dvfsumlem4  26258  dvfsum2  26263  isosctrlem1  27053  lgamgulmlem2  27264  basellem9  27323  ppiub  27438  chtub  27446  logfaclbnd  27456  bposlem1  27518  bposlem6  27523  selberg2lem  27784  pntpbnd2  27821  pntlemo  27841  ttgcontlem1  29327  axpaschlem  29383  axcontlem8  29414  cycpmco2lem7  33559  dnibndlem10  37171  unblimceq0  37191  unbdqndv2lem2  37194  poimirlem6  38362  poimirlem7  38363  itg2addnclem3  38409  iccbnd  38577  lcmineqlem23  42904  sticksstones12a  43010  sticksstones12  43011  bcled  43031  bcle2d  43032  jm2.24nn  43787  fzmaxdif  43809  areaquad  44044  monoords  46117  iccshift  46335  climinf  46423  sumnnodd  46447  dvnmul  46758  itgiccshift  46795  itgperiod  46796  itgsbtaddcnst  46797  stoweidlem13  46828  stoweidlem26  46841  stoweidlem34  46849  fourierdlem19  46941  fourierdlem42  46964  fourierdlem74  46995  fourierdlem75  46996  fourierdlem79  47000  fourierdlem81  47002  fourierdlem82  47003  fourierdlem103  47024  fourierdlem104  47025  fouriersw  47046  hoidmvlelem1  47410  bgoldbtbndlem2  48709