Theorem lesub1dd 11754

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11745	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026   ≤ cle 11168   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  eluzmn  12759  elfzmlbm  13555  modmulnn  13810  icodiamlt  15362  rlimrege0  15503  climsqz2  15566  rlimsqz2  15575  isercolllem1  15589  caucvgrlem  15597  climcndslem1  15773  bitsinv1lem  16369  hashdvds  16703  4sqlem6  16872  dvfsumlem2  25974  dvfsumlem2OLD  25975  dvfsumlem4  25977  dvfsum2  25982  isosctrlem1  26768  lgamgulmlem2  26980  basellem9  27039  ppiub  27155  chtub  27163  logfaclbnd  27173  bposlem1  27235  bposlem6  27240  selberg2lem  27501  pntpbnd2  27538  pntlemo  27558  ttgcontlem1  28941  axpaschlem  28997  axcontlem8  29028  cycpmco2lem7  33198  dnibndlem10  36745  unblimceq0  36765  unbdqndv2lem2  36768  poimirlem6  37938  poimirlem7  37939  itg2addnclem3  37985  iccbnd  38152  lcmineqlem23  42482  sticksstones12a  42588  sticksstones12  42589  bcled  42609  bcle2d  42610  jm2.24nn  43390  fzmaxdif  43412  areaquad  43647  monoords  45733  iccshift  45952  climinf  46040  sumnnodd  46064  dvnmul  46375  itgiccshift  46412  itgperiod  46413  itgsbtaddcnst  46414  stoweidlem13  46445  stoweidlem26  46458  stoweidlem34  46466  fourierdlem19  46558  fourierdlem42  46581  fourierdlem74  46612  fourierdlem75  46613  fourierdlem79  46617  fourierdlem81  46619  fourierdlem82  46620  fourierdlem103  46641  fourierdlem104  46642  fouriersw  46663  hoidmvlelem1  47027  bgoldbtbndlem2  48240