Theorem lesub1dd 11755

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℝcr 11026   ≤ cle 11169   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  eluzmn  12784  elfzmlbm  13581  modmulnn  13837  icodiamlt  15389  rlimrege0  15530  climsqz2  15593  rlimsqz2  15602  isercolllem1  15616  caucvgrlem  15624  climcndslem1  15803  bitsinv1lem  16399  hashdvds  16734  4sqlem6  16903  dvfsumlem2  25982  dvfsumlem4  25984  dvfsum2  25989  isosctrlem1  26770  lgamgulmlem2  26981  basellem9  27040  ppiub  27155  chtub  27163  logfaclbnd  27173  bposlem1  27235  bposlem6  27240  selberg2lem  27501  pntpbnd2  27538  pntlemo  27558  ttgcontlem1  28941  axpaschlem  28997  axcontlem8  29028  cycpmco2lem7  33181  dnibndlem10  36735  unblimceq0  36755  unbdqndv2lem2  36758  poimirlem6  37935  poimirlem7  37936  itg2addnclem3  37982  iccbnd  38149  lcmineqlem23  42478  sticksstones12a  42584  sticksstones12  42585  bcled  42605  bcle2d  42606  jm2.24nn  43375  fzmaxdif  43397  areaquad  43632  monoords  45718  iccshift  45936  climinf  46024  sumnnodd  46048  dvnmul  46359  itgiccshift  46396  itgperiod  46397  itgsbtaddcnst  46398  stoweidlem13  46429  stoweidlem26  46442  stoweidlem34  46450  fourierdlem19  46542  fourierdlem42  46565  fourierdlem74  46596  fourierdlem75  46597  fourierdlem79  46601  fourierdlem81  46603  fourierdlem82  46604  fourierdlem103  46625  fourierdlem104  46626  fouriersw  46647  hoidmvlelem1  47011  bgoldbtbndlem2  48270