Theorem lesub1dd 11901

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170   ≤ cle 11315   − cmin 11512

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515

This theorem is used by:  eluzmn  12941  elfzmlbm  13740  modmulnn  13997  icodiamlt  15572  rlimrege0  15713  climsqz2  15776  rlimsqz2  15785  isercolllem1  15799  caucvgrlem  15807  climcndslem1  15985  bitsinv1lem  16578  hashdvds  16913  4sqlem6  17082  dvfsumlem2  26308  dvfsumlem4  26310  dvfsum2  26315  isosctrlem1  27109  lgamgulmlem2  27320  basellem9  27379  ppiub  27494  chtub  27502  logfaclbnd  27512  bposlem1  27574  bposlem6  27579  selberg2lem  27840  pntpbnd2  27877  pntlemo  27897  ttgcontlem1  29395  axpaschlem  29451  axcontlem8  29482  cycpmco2lem7  33626  dnibndlem10  37275  unblimceq0  37295  unbdqndv2lem2  37298  poimirlem6  38464  poimirlem7  38465  itg2addnclem3  38511  iccbnd  38694  lcmineqlem23  43021  sticksstones12a  43127  sticksstones12  43128  bcled  43148  bcle2d  43149  jm2.24nn  43904  fzmaxdif  43926  areaquad  44161  monoords  46234  iccshift  46452  climinf  46540  sumnnodd  46564  dvnmul  46875  itgiccshift  46912  itgperiod  46913  itgsbtaddcnst  46914  stoweidlem13  46945  stoweidlem26  46958  stoweidlem34  46966  fourierdlem19  47058  fourierdlem42  47081  fourierdlem74  47112  fourierdlem75  47113  fourierdlem79  47117  fourierdlem81  47119  fourierdlem82  47120  fourierdlem103  47141  fourierdlem104  47142  fouriersw  47163  hoidmvlelem1  47527  bgoldbtbndlem2  48826