Theorem lesub1dd 11906

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   ≤ cle 11325   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  eluzmn  12910  elfzmlbm  13695  modmulnn  13940  icodiamlt  15484  rlimrege0  15625  climsqz2  15688  rlimsqz2  15699  isercolllem1  15713  caucvgrlem  15721  climcndslem1  15897  bitsinv1lem  16487  hashdvds  16822  4sqlem6  16990  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  isosctrlem1  26879  lgamgulmlem2  27091  basellem9  27150  ppiub  27266  chtub  27274  logfaclbnd  27284  bposlem1  27346  bposlem6  27351  selberg2lem  27612  pntpbnd2  27649  pntlemo  27669  ttgcontlem1  28917  axpaschlem  28973  axcontlem8  29004  cycpmco2lem7  33125  dnibndlem10  36453  unblimceq0  36473  unbdqndv2lem2  36476  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  itg2addnclem3  37633  iccbnd  37800  lcmineqlem23  42008  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  bcled  42135  bcle2d  42136  metakunt30  42191  jm2.24nn  42916  fzmaxdif  42938  areaquad  43177  monoords  45212  iccshift  45436  climinf  45527  sumnnodd  45551  dvnmul  45864  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  itgsbtaddcnst  45903  stoweidlem13  45934  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  fourierdlem19  46047  fourierdlem42  46070  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem79  46106  fourierdlem81  46108  fourierdlem82  46109  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fouriersw  46152  hoidmvlelem1  46516  bgoldbtbndlem2  47680