Theorem lesub1dd 11641

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11632	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝcr 10920   ≤ cle 11060   − cmin 11255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258

This theorem is referenced by:  eluzmn  12639  elfzmlbm  13416  modmulnn  13659  icodiamlt  15196  rlimrege0  15337  climsqz2  15400  rlimsqz2  15411  isercolllem1  15425  caucvgrlem  15433  climcndslem1  15610  bitsinv1lem  16197  hashdvds  16525  4sqlem6  16693  dvfsumlem2  25240  dvfsumlem4  25242  dvfsum2  25247  isosctrlem1  26017  lgamgulmlem2  26228  basellem9  26287  ppiub  26401  chtub  26409  logfaclbnd  26419  bposlem1  26481  bposlem6  26486  selberg2lem  26747  pntpbnd2  26784  pntlemo  26804  ttgcontlem1  27301  axpaschlem  27357  axcontlem8  27388  cycpmco2lem7  31448  dnibndlem10  34716  unblimceq0  34736  unbdqndv2lem2  34739  poimirlem6  35831  poimirlem7  35832  itg2addnclem3  35878  iccbnd  36046  lcmineqlem23  40259  sticksstones12a  40313  sticksstones12  40314  metakunt30  40354  jm2.24nn  40977  fzmaxdif  40999  areaquad  41243  monoords  43064  iccshift  43285  climinf  43376  sumnnodd  43400  dvnmul  43713  itgiccshift  43750  itgperiod  43751  itgsbtaddcnst  43752  stoweidlem13  43783  stoweidlem26  43796  stoweidlem34  43804  fourierdlem19  43896  fourierdlem42  43919  fourierdlem74  43950  fourierdlem75  43951  fourierdlem79  43955  fourierdlem81  43957  fourierdlem82  43958  fourierdlem103  43979  fourierdlem104  43980  fouriersw  44001  hoidmvlelem1  44363  bgoldbtbndlem2  45502