Theorem lesub1dd 11832

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   ≤ cle 11251   − cmin 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449

This theorem is referenced by:  eluzmn  12831  elfzmlbm  13613  modmulnn  13856  icodiamlt  15384  rlimrege0  15525  climsqz2  15588  rlimsqz2  15599  isercolllem1  15613  caucvgrlem  15621  climcndslem1  15797  bitsinv1lem  16384  hashdvds  16710  4sqlem6  16878  dvfsumlem2  25551  dvfsumlem4  25553  dvfsum2  25558  isosctrlem1  26330  lgamgulmlem2  26541  basellem9  26600  ppiub  26714  chtub  26722  logfaclbnd  26732  bposlem1  26794  bposlem6  26799  selberg2lem  27060  pntpbnd2  27097  pntlemo  27117  ttgcontlem1  28180  axpaschlem  28236  axcontlem8  28267  cycpmco2lem7  32332  gg-dvfsumlem2  35252  dnibndlem10  35449  unblimceq0  35469  unbdqndv2lem2  35472  poimirlem6  36580  poimirlem7  36581  itg2addnclem3  36627  iccbnd  36794  lcmineqlem23  41002  sticksstones12a  41059  sticksstones12  41060  metakunt30  41100  jm2.24nn  41780  fzmaxdif  41802  areaquad  42047  monoords  44086  iccshift  44310  climinf  44401  sumnnodd  44425  dvnmul  44738  itgiccshift  44775  itgperiod  44776  itgsbtaddcnst  44777  stoweidlem13  44808  stoweidlem26  44821  stoweidlem34  44829  fourierdlem19  44921  fourierdlem42  44944  fourierdlem74  44975  fourierdlem75  44976  fourierdlem79  44980  fourierdlem81  44982  fourierdlem82  44983  fourierdlem103  45004  fourierdlem104  45005  fouriersw  45026  hoidmvlelem1  45390  bgoldbtbndlem2  46553