Theorem lesub1dd 11758

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7361  ℝcr 11030   ≤ cle 11172   − cmin 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372

This theorem is referenced by:  eluzmn  12763  elfzmlbm  13559  modmulnn  13814  icodiamlt  15366  rlimrege0  15507  climsqz2  15570  rlimsqz2  15579  isercolllem1  15593  caucvgrlem  15601  climcndslem1  15777  bitsinv1lem  16373  hashdvds  16707  4sqlem6  16876  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem2OLD  25995  dvfsumlem4  25997  dvfsum2  26002  isosctrlem1  26789  lgamgulmlem2  27001  basellem9  27060  ppiub  27176  chtub  27184  logfaclbnd  27194  bposlem1  27256  bposlem6  27261  selberg2lem  27522  pntpbnd2  27559  pntlemo  27579  ttgcontlem1  28962  axpaschlem  29018  axcontlem8  29049  cycpmco2lem7  33218  dnibndlem10  36700  unblimceq0  36720  unbdqndv2lem2  36723  poimirlem6  37840  poimirlem7  37841  itg2addnclem3  37887  iccbnd  38054  lcmineqlem23  42384  sticksstones12a  42490  sticksstones12  42491  bcled  42511  bcle2d  42512  jm2.24nn  43279  fzmaxdif  43301  areaquad  43536  monoords  45622  iccshift  45841  climinf  45929  sumnnodd  45953  dvnmul  46264  itgiccshift  46301  itgperiod  46302  itgsbtaddcnst  46303  stoweidlem13  46334  stoweidlem26  46347  stoweidlem34  46355  fourierdlem19  46447  fourierdlem42  46470  fourierdlem74  46501  fourierdlem75  46502  fourierdlem79  46506  fourierdlem81  46508  fourierdlem82  46509  fourierdlem103  46530  fourierdlem104  46531  fouriersw  46552  hoidmvlelem1  46916  bgoldbtbndlem2  48129