Theorem lesub1dd 11814

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7396  ℝcr 11083   ≤ cle 11228   − cmin 11425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428

This theorem is referenced by:  eluzmn  12856  elfzmlbm  13653  modmulnn  13909  icodiamlt  15475  rlimrege0  15616  climsqz2  15679  rlimsqz2  15688  isercolllem1  15702  caucvgrlem  15710  climcndslem1  15889  bitsinv1lem  16485  hashdvds  16820  4sqlem6  16989  dvfsumlem2  26096  dvfsumlem4  26098  dvfsum2  26103  isosctrlem1  26890  lgamgulmlem2  27101  basellem9  27160  ppiub  27275  chtub  27283  logfaclbnd  27293  bposlem1  27355  bposlem6  27360  selberg2lem  27621  pntpbnd2  27658  pntlemo  27678  ttgcontlem1  29092  axpaschlem  29148  axcontlem8  29179  cycpmco2lem7  33318  dnibndlem10  36930  unblimceq0  36950  unbdqndv2lem2  36953  poimirlem6  38130  poimirlem7  38131  itg2addnclem3  38177  iccbnd  38344  lcmineqlem23  42673  sticksstones12a  42779  sticksstones12  42780  bcled  42800  bcle2d  42801  jm2.24nn  43541  fzmaxdif  43563  areaquad  43798  monoords  45867  iccshift  46085  climinf  46173  sumnnodd  46197  dvnmul  46508  itgiccshift  46545  itgperiod  46546  itgsbtaddcnst  46547  stoweidlem13  46578  stoweidlem26  46591  stoweidlem34  46599  fourierdlem19  46691  fourierdlem42  46714  fourierdlem74  46745  fourierdlem75  46746  fourierdlem79  46750  fourierdlem81  46752  fourierdlem82  46753  fourierdlem103  46774  fourierdlem104  46775  fouriersw  46796  hoidmvlelem1  47160  bgoldbtbndlem2  48419