Theorem frege110 41581

Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege110.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege110.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege110.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
frege110.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege110	⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege110.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege110.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege109 41580	. 2 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4		frege110.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege110.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
6		imaundir 6054	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7		fvex 6787	. . . . . . 7 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
8		imaexg 7762	. . . . . . 7 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10		imai 5982	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11		snex 5354	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑋}) ∈ V
13	9, 12	unex 7596	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
14	6, 13	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
15	4, 5, 2, 14	frege78 41549	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
16	1	elexi 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 5997	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19		df-br 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
20	18, 19	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
21	20	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
22	21	albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
23	5	elexi 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
24	16, 23	elimasn 5997	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25		df-br 5075	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
26	24, 25	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
27	26	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
28	15, 22, 27	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
29	3, 28	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  {csn 4561  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   I cid 5488   “ cima 5592  ‘cfv 6433  t+ctcl 14696   hereditary whe 41380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-frege1 41398  ax-frege2 41399  ax-frege8 41417  ax-frege28 41438  ax-frege31 41442  ax-frege41 41453  ax-frege52a 41465  ax-frege52c 41496  ax-frege58b 41509

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-trcl 14698  df-relexp 14731  df-he 41381

This theorem is referenced by:  frege124  41595