Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege110 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege110 40325
Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege110.x 𝑋𝐴
frege110.y 𝑌𝐵
frege110.m 𝑀𝐶
frege110.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege110 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110
StepHypRef Expression
1 frege110.x . . 3 𝑋𝐴
2 frege110.r . . 3 𝑅𝐷
31, 2frege109 40324 . 2 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4 frege110.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege110.m . . . 4 𝑀𝐶
6 imaundir 6012 . . . . 5 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7 fvex 6686 . . . . . . 7 (t+‘𝑅) ∈ V
8 imaexg 7623 . . . . . . 7 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10 imai 5945 . . . . . . 7 ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11 snex 5335 . . . . . . 7 {𝑋} ∈ V
1210, 11eqeltri 2912 . . . . . 6 ( I “ {𝑋}) ∈ V
139, 12unex 7472 . . . . 5 (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
146, 13eqeltri 2912 . . . 4 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
154, 5, 2, 14frege78 40293 . . 3 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
161elexi 3516 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
17 vex 3500 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
1816, 17elimasn 5957 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19 df-br 5070 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
2018, 19bitr4i 280 . . . . 5 (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
2120imbi2i 338 . . . 4 ((𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
2221albii 1819 . . 3 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
235elexi 3516 . . . . . 6 𝑀 ∈ V
2416, 23elimasn 5957 . . . . 5 (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25 df-br 5070 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
2624, 25bitr4i 280 . . . 4 (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
2726imbi2i 338 . . 3 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
2815, 22, 273imtr3g 297 . 2 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
293, 28ax-mp 5 1 (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1534  wcel 2113  Vcvv 3497  cun 3937  {csn 4570  cop 4576   class class class wbr 5069   I cid 5462  cima 5561  cfv 6358  t+ctcl 14348   hereditary whe 40124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-frege1 40142  ax-frege2 40143  ax-frege8 40161  ax-frege28 40182  ax-frege31 40186  ax-frege41 40197  ax-frege52a 40209  ax-frege52c 40240  ax-frege58b 40253
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-trcl 14350  df-relexp 14383  df-he 40125
This theorem is referenced by:  frege124  40339
  Copyright terms: Public domain W3C validator