Theorem frege110 44417

Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege110.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege110.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege110.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
frege110.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege110	⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege110.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege110.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege109 44416	. 2 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4		frege110.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege110.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
6		imaundir 6101	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7		fvex 6840	. . . . . . 7 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
8		imaexg 7853	. . . . . . 7 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10		imai 6026	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11		snex 5368	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑋}) ∈ V
13	9, 12	unex 7687	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
14	6, 13	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
15	4, 5, 2, 14	frege78 44385	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
16	1	elexi 3453	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 6042	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19		df-br 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
20	18, 19	bitr4i 279	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
21	20	imbi2i 337	. . . 4 ⊢ ((𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
22	21	albii 1826	. . 3 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
23	5	elexi 3453	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
24	16, 23	elimasn 6042	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25		df-br 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
26	24, 25	bitr4i 279	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
27	26	imbi2i 337	. . 3 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
28	15, 22, 27	3imtr3g 296	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
29	3, 28	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1545   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881  {csn 4555  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   I cid 5512   “ cima 5621  ‘cfv 6485  t+ctcl 14938   hereditary whe 44216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-frege1 44234  ax-frege2 44235  ax-frege8 44253  ax-frege28 44274  ax-frege31 44278  ax-frege41 44289  ax-frege52a 44301  ax-frege52c 44332  ax-frege58b 44345

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-trcl 14940  df-relexp 14973  df-he 44217

This theorem is referenced by:  frege124  44431