Theorem frege110 42709

Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege110.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege110.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege110.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
frege110.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege110	⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege110.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege110.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege109 42708	. 2 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4		frege110.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege110.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
6		imaundir 6147	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
8		imaexg 7902	. . . . . . 7 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10		imai 6070	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11		snex 5430	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑋}) ∈ V
13	9, 12	unex 7729	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
14	6, 13	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
15	4, 5, 2, 14	frege78 42677	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
16	1	elexi 3493	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		vex 3478	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 6085	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19		df-br 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
20	18, 19	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
21	20	imbi2i 335	. . . 4 ⊢ ((𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
22	21	albii 1821	. . 3 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
23	5	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
24	16, 23	elimasn 6085	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25		df-br 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
26	24, 25	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
27	26	imbi2i 335	. . 3 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
28	15, 22, 27	3imtr3g 294	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
29	3, 28	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3945  {csn 4627  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   I cid 5572   “ cima 5678  ‘cfv 6540  t+ctcl 14928   hereditary whe 42508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-frege1 42526  ax-frege2 42527  ax-frege8 42545  ax-frege28 42566  ax-frege31 42570  ax-frege41 42581  ax-frege52a 42593  ax-frege52c 42624  ax-frege58b 42637

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-trcl 14930  df-relexp 14963  df-he 42509

This theorem is referenced by:  frege124  42723