Theorem frege110 43300

Description: Proposition 110 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege110.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege110.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege110.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
frege110.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege110	⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem frege110

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege110.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege110.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege109 43299	. 2 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
4		frege110.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege110.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ 𝐶
6		imaundir 6144	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋}))
7		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
8		imaexg 7903	. . . . . . 7 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
10		imai 6067	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
11		snex 5424	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2823	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑋}) ∈ V
13	9, 12	unex 7730	. . . . 5 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∪ ( I “ {𝑋})) ∈ V
14	6, 13	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ∈ V
15	4, 5, 2, 14	frege78 43268	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))))
16	1	elexi 3488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		vex 3472	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
19		df-br 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
20	18, 19	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎)
21	20	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
22	21	albii 1813	. . 3 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ ∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎))
23	5	elexi 3488	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
24	16, 23	elimasn 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
25		df-br 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
26	24, 25	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)
27	26	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))
28	15, 22, 27	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀)))
29	3, 28	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑎(𝑌𝑅𝑎 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑎) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀))

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1531   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941  {csn 4623  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141   I cid 5566   “ cima 5672  ‘cfv 6537  t+ctcl 14938   hereditary whe 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-frege1 43117  ax-frege2 43118  ax-frege8 43136  ax-frege28 43157  ax-frege31 43161  ax-frege41 43172  ax-frege52a 43184  ax-frege52c 43215  ax-frege58b 43228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-trcl 14940  df-relexp 14973  df-he 43100

This theorem is referenced by:  frege124  43314