Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege133 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege133 43568
Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege133.x 𝑋𝑈
frege133.y 𝑌𝑉
frege133.m 𝑀𝑊
frege133.r 𝑅𝑆
Assertion
Ref Expression
frege133 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133
StepHypRef Expression
1 frege133.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege133.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege133.r . . 3 𝑅𝑆
4 fvex 6909 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
54cnvex 7933 . . . 4 (t+‘𝑅) ∈ V
6 imaexg 7921 . . . 4 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8 imaundir 6157 . . . 4 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9 imaexg 7921 . . . . . 6 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
104, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11 imai 6078 . . . . . 6 ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12 snex 5433 . . . . . 6 {𝑀} ∈ V
1311, 12eqeltri 2821 . . . . 5 ( I “ {𝑀}) ∈ V
1410, 13unex 7749 . . . 4 (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
158, 14eqeltri 2821 . . 3 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
161, 2, 3, 7, 15frege83 43518 . 2 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17 frege133.m . . . . . . . 8 𝑀𝑊
1817elexi 3482 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
191elexi 3482 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
2018, 19elimasn 6094 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
21 df-br 5150 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2218, 19brcnv 5885 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
2320, 21, 223bitr2i 298 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24 elun 4145 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25 df-or 846 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
262elexi 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ∈ V
2718, 26elimasn 6094 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
28 df-br 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2918, 26brcnv 5885 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3027, 28, 293bitr2i 298 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3130notbii 319 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3218, 26elimasn 6094 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33 df-br 5150 . . . . . . . . 9 (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
3432, 33bitr4i 277 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
3531, 34imbi12i 349 . . . . . . 7 ((¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3624, 25, 353bitri 296 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3736imbi2i 335 . . . . 5 ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
3823, 37imbi12i 349 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
3938imbi2i 335 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4017, 3frege132 43567 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4139, 40sylbi 216 . 2 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4216, 41ax-mp 5 1 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 845  wcel 2098  Vcvv 3461  cun 3942  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5149   I cid 5575  ccnv 5677  cima 5681  Fun wfun 6543  cfv 6549  t+ctcl 14968   hereditary whe 43344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-frege1 43362  ax-frege2 43363  ax-frege8 43381  ax-frege28 43402  ax-frege31 43406  ax-frege41 43417  ax-frege52a 43429  ax-frege52c 43460  ax-frege58b 43473
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-trcl 14970  df-relexp 15003  df-he 43345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator