Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege133 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege133 40464
Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege133.x 𝑋𝑈
frege133.y 𝑌𝑉
frege133.m 𝑀𝑊
frege133.r 𝑅𝑆
Assertion
Ref Expression
frege133 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133
StepHypRef Expression
1 frege133.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege133.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege133.r . . 3 𝑅𝑆
4 fvex 6657 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
54cnvex 7606 . . . 4 (t+‘𝑅) ∈ V
6 imaexg 7596 . . . 4 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8 imaundir 5983 . . . 4 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9 imaexg 7596 . . . . . 6 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
104, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11 imai 5916 . . . . . 6 ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12 snex 5306 . . . . . 6 {𝑀} ∈ V
1311, 12eqeltri 2907 . . . . 5 ( I “ {𝑀}) ∈ V
1410, 13unex 7445 . . . 4 (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
158, 14eqeltri 2907 . . 3 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
161, 2, 3, 7, 15frege83 40414 . 2 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17 frege133.m . . . . . . . 8 𝑀𝑊
1817elexi 3492 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
191elexi 3492 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
2018, 19elimasn 5928 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
21 df-br 5041 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2218, 19brcnv 5727 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
2320, 21, 223bitr2i 301 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24 elun 4101 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25 df-or 844 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
262elexi 3492 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ∈ V
2718, 26elimasn 5928 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
28 df-br 5041 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2918, 26brcnv 5727 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3027, 28, 293bitr2i 301 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3130notbii 322 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3218, 26elimasn 5928 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33 df-br 5041 . . . . . . . . 9 (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
3432, 33bitr4i 280 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
3531, 34imbi12i 353 . . . . . . 7 ((¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3624, 25, 353bitri 299 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3736imbi2i 338 . . . . 5 ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
3823, 37imbi12i 353 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
3938imbi2i 338 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4017, 3frege132 40463 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4139, 40sylbi 219 . 2 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4216, 41ax-mp 5 1 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 843  wcel 2114  Vcvv 3473  cun 3910  {csn 4541  cop 4547   class class class wbr 5040   I cid 5433  ccnv 5528  cima 5532  Fun wfun 6323  cfv 6329  t+ctcl 14323   hereditary whe 40240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-frege1 40258  ax-frege2 40259  ax-frege8 40277  ax-frege28 40298  ax-frege31 40302  ax-frege41 40313  ax-frege52a 40325  ax-frege52c 40356  ax-frege58b 40369
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-seq 13352  df-trcl 14325  df-relexp 14358  df-he 40241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator