Theorem frege133 43979

Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege133.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege133.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege133.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege133	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege133.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege133.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
4		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
5	4	cnvex 7858	. . . 4 ⊢ ◡(t+‘𝑅) ∈ V
6		imaexg 7846	. . . 4 ⊢ (◡(t+‘𝑅) ∈ V → (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8		imaundir 6099	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9		imaexg 7846	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
10	4, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11		imai 6025	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12		snex 5375	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ ( I “ {𝑀}) ∈ V
14	10, 13	unex 7680	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
16	1, 2, 3, 7, 15	frege83 43929	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17		frege133.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
18	17	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ V
19	1	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
20	18, 19	elimasn 6041	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
21		df-br 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
22	18, 19	brcnv 5825	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
23	20, 21, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24		elun 4104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25		df-or 848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
26	2	elexi 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
27	18, 26	elimasn 6041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
28		df-br 5093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
29	18, 26	brcnv 5825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
30	27, 28, 29	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
31	30	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
32	18, 26	elimasn 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33		df-br 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
34	32, 33	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
35	31, 34	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
36	24, 25, 35	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
37	36	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
38	23, 37	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
39	38	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
40	17, 3	frege132 43978	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
41	39, 40	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
42	16, 41	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   I cid 5513  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  t+ctcl 14892   hereditary whe 43755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-frege1 43773  ax-frege2 43774  ax-frege8 43792  ax-frege28 43813  ax-frege31 43817  ax-frege41 43828  ax-frege52a 43840  ax-frege52c 43871  ax-frege58b 43884

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927  df-he 43756

This theorem is referenced by: (None)