Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege133 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege133 39129
Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege133.x 𝑋𝑈
frege133.y 𝑌𝑉
frege133.m 𝑀𝑊
frege133.r 𝑅𝑆
Assertion
Ref Expression
frege133 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133
StepHypRef Expression
1 frege133.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege133.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege133.r . . 3 𝑅𝑆
4 fvex 6450 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
54cnvex 7380 . . . 4 (t+‘𝑅) ∈ V
6 imaexg 7370 . . . 4 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8 imaundir 5791 . . . 4 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9 imaexg 7370 . . . . . 6 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
104, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11 imai 5723 . . . . . 6 ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12 snex 5131 . . . . . 6 {𝑀} ∈ V
1311, 12eqeltri 2902 . . . . 5 ( I “ {𝑀}) ∈ V
1410, 13unex 7221 . . . 4 (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
158, 14eqeltri 2902 . . 3 (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
161, 2, 3, 7, 15frege83 39079 . 2 (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17 frege133.m . . . . . . . 8 𝑀𝑊
1817elexi 3430 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
191elexi 3430 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
2018, 19elimasn 5735 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
21 df-br 4876 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2218, 19brcnv 5541 . . . . . 6 (𝑀(t+‘𝑅)𝑋𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
2320, 21, 223bitr2i 291 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24 elun 3982 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25 df-or 879 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
262elexi 3430 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ∈ V
2718, 26elimasn 5735 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
28 df-br 4876 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
2918, 26brcnv 5541 . . . . . . . . . 10 (𝑀(t+‘𝑅)𝑌𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3027, 28, 293bitr2i 291 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3130notbii 312 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
3218, 26elimasn 5735 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33 df-br 4876 . . . . . . . . 9 (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
3432, 33bitr4i 270 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
3531, 34imbi12i 342 . . . . . . 7 ((¬ 𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3624, 25, 353bitri 289 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
3736imbi2i 328 . . . . 5 ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
3823, 37imbi12i 342 . . . 4 ((𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
3938imbi2i 328 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4017, 3frege132 39128 . . 3 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4139, 40sylbi 209 . 2 ((𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
4216, 41ax-mp 5 1 (Fun 𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 878  wcel 2164  Vcvv 3414  cun 3796  {csn 4399  cop 4405   class class class wbr 4875   I cid 5251  ccnv 5345  cima 5349  Fun wfun 6121  cfv 6127  t+ctcl 14110   hereditary whe 38905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-frege1 38923  ax-frege2 38924  ax-frege8 38942  ax-frege28 38963  ax-frege31 38967  ax-frege41 38978  ax-frege52a 38990  ax-frege52c 39021  ax-frege58b 39034
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-trcl 14112  df-relexp 14145  df-he 38906
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator