Theorem frege133 41574

Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege133.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege133.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege133.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege133	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege133.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege133.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
4		fvex 6784	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
5	4	cnvex 7766	. . . 4 ⊢ ◡(t+‘𝑅) ∈ V
6		imaexg 7756	. . . 4 ⊢ (◡(t+‘𝑅) ∈ V → (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8		imaundir 6053	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9		imaexg 7756	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
10	4, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11		imai 5981	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12		snex 5358	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ ( I “ {𝑀}) ∈ V
14	10, 13	unex 7590	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
16	1, 2, 3, 7, 15	frege83 41524	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17		frege133.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
18	17	elexi 3450	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ V
19	1	elexi 3450	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
20	18, 19	elimasn 5996	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
21		df-br 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
22	18, 19	brcnv 5790	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
23	20, 21, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24		elun 4088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25		df-or 845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
26	2	elexi 3450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
27	18, 26	elimasn 5996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
28		df-br 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
29	18, 26	brcnv 5790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
30	27, 28, 29	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
31	30	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
32	18, 26	elimasn 5996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33		df-br 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
34	32, 33	bitr4i 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
35	31, 34	imbi12i 351	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
36	24, 25, 35	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
37	36	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
38	23, 37	imbi12i 351	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
39	38	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
40	17, 3	frege132 41573	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
41	39, 40	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
42	16, 41	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ∪ cun 3890  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5079   I cid 5489  ^◡ccnv 5589   “ cima 5593  Fun wfun 6426  ‘cfv 6432  t+ctcl 14694   hereditary whe 41350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-frege1 41368  ax-frege2 41369  ax-frege8 41387  ax-frege28 41408  ax-frege31 41412  ax-frege41 41423  ax-frege52a 41435  ax-frege52c 41466  ax-frege58b 41479

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-trcl 14696  df-relexp 14729  df-he 41351

This theorem is referenced by: (None)