Theorem frege133 43992

Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege133.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege133.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege133.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege133	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege133.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege133.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
4		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
5	4	cnvex 7904	. . . 4 ⊢ ◡(t+‘𝑅) ∈ V
6		imaexg 7892	. . . 4 ⊢ (◡(t+‘𝑅) ∈ V → (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8		imaundir 6126	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9		imaexg 7892	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
10	4, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11		imai 6048	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12		snex 5394	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ ( I “ {𝑀}) ∈ V
14	10, 13	unex 7723	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
16	1, 2, 3, 7, 15	frege83 43942	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17		frege133.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
18	17	elexi 3473	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ V
19	1	elexi 3473	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
20	18, 19	elimasn 6064	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
21		df-br 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
22	18, 19	brcnv 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
23	20, 21, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24		elun 4119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25		df-or 848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
26	2	elexi 3473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
27	18, 26	elimasn 6064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
28		df-br 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
29	18, 26	brcnv 5849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
30	27, 28, 29	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
31	30	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
32	18, 26	elimasn 6064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33		df-br 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
34	32, 33	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
35	31, 34	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
36	24, 25, 35	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
37	36	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
38	23, 37	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
39	38	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
40	17, 3	frege132 43991	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
41	39, 40	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
42	16, 41	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   I cid 5535  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514  t+ctcl 14958   hereditary whe 43768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-frege1 43786  ax-frege2 43787  ax-frege8 43805  ax-frege28 43826  ax-frege31 43830  ax-frege41 43841  ax-frege52a 43853  ax-frege52c 43884  ax-frege58b 43897

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-trcl 14960  df-relexp 14993  df-he 43769

This theorem is referenced by: (None)