Theorem frege133 44179

Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege133.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege133.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege133.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege133	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege133.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege133.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
4		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
5	4	cnvex 7865	. . . 4 ⊢ ◡(t+‘𝑅) ∈ V
6		imaexg 7853	. . . 4 ⊢ (◡(t+‘𝑅) ∈ V → (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8		imaundir 6106	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9		imaexg 7853	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
10	4, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11		imai 6031	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12		snex 5379	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ ( I “ {𝑀}) ∈ V
14	10, 13	unex 7687	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
16	1, 2, 3, 7, 15	frege83 44129	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17		frege133.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
18	17	elexi 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ V
19	1	elexi 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
20	18, 19	elimasn 6047	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
21		df-br 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
22	18, 19	brcnv 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
23	20, 21, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24		elun 4103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25		df-or 848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
26	2	elexi 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
27	18, 26	elimasn 6047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
28		df-br 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
29	18, 26	brcnv 5829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
30	27, 28, 29	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
31	30	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
32	18, 26	elimasn 6047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33		df-br 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
34	32, 33	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
35	31, 34	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
36	24, 25, 35	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
37	36	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
38	23, 37	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
39	38	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
40	17, 3	frege132 44178	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
41	39, 40	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
42	16, 41	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  t+ctcl 14906   hereditary whe 43955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-frege1 43973  ax-frege2 43974  ax-frege8 43992  ax-frege28 44013  ax-frege31 44017  ax-frege41 44028  ax-frege52a 44040  ax-frege52c 44071  ax-frege58b 44084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-trcl 14908  df-relexp 14941  df-he 43956

This theorem is referenced by: (None)