Theorem frege133 43323

Description: If the procedure 𝑅 is single-valued and if 𝑀 and 𝑌 follow 𝑋 in the 𝑅-sequence, then 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 133 of [Frege1879] p. 86. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege133.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege133.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege133.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege133.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege133	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Proof of Theorem frege133

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege133.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege133.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege133.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
4		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
5	4	cnvex 7915	. . . 4 ⊢ ◡(t+‘𝑅) ∈ V
6		imaexg 7903	. . . 4 ⊢ (◡(t+‘𝑅) ∈ V → (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
8		imaundir 6144	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) = (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀}))
9		imaexg 7903	. . . . . 6 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V)
10	4, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∈ V
11		imai 6067	. . . . . 6 ⊢ ( I “ {𝑀}) = {𝑀}
12		snex 5424	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2823	. . . . 5 ⊢ ( I “ {𝑀}) ∈ V
14	10, 13	unex 7730	. . . 4 ⊢ (((t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ ( I “ {𝑀})) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2823	. . 3 ⊢ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ∈ V
16	1, 2, 3, 7, 15	frege83 43273	. 2 ⊢ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))))
17		frege133.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
18	17	elexi 3488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ V
19	1	elexi 3488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
20	18, 19	elimasn 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
21		df-br 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ ⟨𝑀, 𝑋⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
22	18, 19	brcnv 5876	. . . . . 6 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑋 ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
23	20, 21, 22	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀)
24		elun 4143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
25		df-or 845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∨ 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))
26	2	elexi 3488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
27	18, 26	elimasn 6082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
28		df-br 5142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ◡(t+‘𝑅))
29	18, 26	brcnv 5876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀◡(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
30	27, 28, 29	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
31	30	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ↔ ¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀)
32	18, 26	elimasn 6082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
33		df-br 5142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 ↔ ⟨𝑀, 𝑌⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
34	32, 33	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}) ↔ 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)
35	31, 34	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑌 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → 𝑌 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
36	24, 25, 35	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) ↔ (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))
37	36	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))
38	23, 37	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})))) ↔ (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))
39	38	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) ↔ (𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
40	17, 3	frege132 43322	. . 3 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
41	39, 40	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑅 hereditary ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀})) → (𝑋 ∈ (◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ ((◡(t+‘𝑅) “ {𝑀}) ∪ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑀}))))) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌)))))
42	16, 41	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (¬ 𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941  {csn 4623  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141   I cid 5566  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  t+ctcl 14938   hereditary whe 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-frege1 43117  ax-frege2 43118  ax-frege8 43136  ax-frege28 43157  ax-frege31 43161  ax-frege41 43172  ax-frege52a 43184  ax-frege52c 43215  ax-frege58b 43228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-trcl 14940  df-relexp 14973  df-he 43100

This theorem is referenced by: (None)