Theorem frege98 43422

Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege98.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege98.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege98.z	⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
frege98.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege98	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege98.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege98.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege97 43421	. . 3 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4		frege98.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege98.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
6		fvex 6915	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
7		imaexg 7927	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
9	4, 5, 2, 8	frege84 43408	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
10	3, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
11	1	elexi 3493	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
12	4	elexi 3493	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
13	11, 12	elimasn 6098	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14		df-br 5153	. . 3 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
15	13, 14	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
16	5	elexi 3493	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	11, 16	elimasn 6098	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18		df-br 5153	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
19	17, 18	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
20	19	imbi2i 335	. 2 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
21	10, 15, 20	3imtr3i 290	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  ⟨cop 4638   class class class wbr 5152   “ cima 5685  ‘cfv 6553  t+ctcl 14972   hereditary whe 43233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-frege1 43251  ax-frege2 43252  ax-frege8 43270  ax-frege52a 43318  ax-frege58b 43362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-trcl 14974  df-relexp 15007  df-he 43234

This theorem is referenced by: (None)