Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege98 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege98 43422
Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege98.x 𝑋𝐴
frege98.y 𝑌𝐵
frege98.z 𝑍𝐶
frege98.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege98 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98
StepHypRef Expression
1 frege98.x . . . 4 𝑋𝐴
2 frege98.r . . . 4 𝑅𝐷
31, 2frege97 43421 . . 3 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4 frege98.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege98.z . . . 4 𝑍𝐶
6 fvex 6915 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
7 imaexg 7927 . . . . 5 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
94, 5, 2, 8frege84 43408 . . 3 (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
103, 9ax-mp 5 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
111elexi 3493 . . . 4 𝑋 ∈ V
124elexi 3493 . . . 4 𝑌 ∈ V
1311, 12elimasn 6098 . . 3 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14 df-br 5153 . . 3 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1513, 14bitr4i 277 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
165elexi 3493 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1711, 16elimasn 6098 . . . 4 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18 df-br 5153 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1917, 18bitr4i 277 . . 3 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
2019imbi2i 335 . 2 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
2110, 15, 203imtr3i 290 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  cop 4638   class class class wbr 5152  cima 5685  cfv 6553  t+ctcl 14972   hereditary whe 43233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-frege1 43251  ax-frege2 43252  ax-frege8 43270  ax-frege52a 43318  ax-frege58b 43362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-trcl 14974  df-relexp 15007  df-he 43234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator