Theorem frege98 44212

Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege98.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege98.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege98.z	⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
frege98.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege98	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege98.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege98.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege97 44211	. . 3 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4		frege98.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege98.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
6		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
7		imaexg 7855	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
9	4, 5, 2, 8	frege84 44198	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
10	3, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
11	1	elexi 3463	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
12	4	elexi 3463	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
13	11, 12	elimasn 6049	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14		df-br 5099	. . 3 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
15	13, 14	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
16	5	elexi 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	11, 16	elimasn 6049	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18		df-br 5099	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
19	17, 18	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
20	19	imbi2i 336	. 2 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
21	10, 15, 20	3imtr3i 291	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   “ cima 5627  ‘cfv 6492  t+ctcl 14908   hereditary whe 44023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-frege1 44041  ax-frege2 44042  ax-frege8 44060  ax-frege52a 44108  ax-frege58b 44152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-trcl 14910  df-relexp 14943  df-he 44024

This theorem is referenced by: (None)