Theorem frege98 40662

Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege98.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege98.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege98.z	⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
frege98.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege98	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege98.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege98.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege97 40661	. . 3 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4		frege98.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege98.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
6		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
7		imaexg 7602	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
9	4, 5, 2, 8	frege84 40648	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
10	3, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
11	1	elexi 3460	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
12	4	elexi 3460	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
13	11, 12	elimasn 5921	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14		df-br 5031	. . 3 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
15	13, 14	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
16	5	elexi 3460	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	11, 16	elimasn 5921	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18		df-br 5031	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
19	17, 18	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
20	19	imbi2i 339	. 2 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
21	10, 15, 20	3imtr3i 294	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   “ cima 5522  ‘cfv 6324  t+ctcl 14336   hereditary whe 40473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-frege1 40491  ax-frege2 40492  ax-frege8 40510  ax-frege52a 40558  ax-frege58b 40602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-trcl 14338  df-relexp 14371  df-he 40474

This theorem is referenced by: (None)