Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege98 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege98 43951
Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege98.x 𝑋𝐴
frege98.y 𝑌𝐵
frege98.z 𝑍𝐶
frege98.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege98 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98
StepHypRef Expression
1 frege98.x . . . 4 𝑋𝐴
2 frege98.r . . . 4 𝑅𝐷
31, 2frege97 43950 . . 3 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4 frege98.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege98.z . . . 4 𝑍𝐶
6 fvex 6920 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
7 imaexg 7936 . . . . 5 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
94, 5, 2, 8frege84 43937 . . 3 (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
103, 9ax-mp 5 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
111elexi 3501 . . . 4 𝑋 ∈ V
124elexi 3501 . . . 4 𝑌 ∈ V
1311, 12elimasn 6110 . . 3 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14 df-br 5149 . . 3 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1513, 14bitr4i 278 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
165elexi 3501 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1711, 16elimasn 6110 . . . 4 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18 df-br 5149 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1917, 18bitr4i 278 . . 3 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
2019imbi2i 336 . 2 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
2110, 15, 203imtr3i 291 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148  cima 5692  cfv 6563  t+ctcl 15021   hereditary whe 43762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-frege1 43780  ax-frege2 43781  ax-frege8 43799  ax-frege52a 43847  ax-frege58b 43891
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-trcl 15023  df-relexp 15056  df-he 43763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator