Theorem frege98 44960

Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege98.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege98.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege98.z	⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
frege98.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege98	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege98.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege98.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege97 44959	. . 3 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4		frege98.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege98.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
6		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
7		imaexg 7925	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
9	4, 5, 2, 8	frege84 44946	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
10	3, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
11	1	elexi 3473	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
12	4	elexi 3473	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
13	11, 12	elimasn 6088	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
15	13, 14	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
16	5	elexi 3473	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	11, 16	elimasn 6088	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18		df-br 5104	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
19	17, 18	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
20	19	imbi2i 339	. 2 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
21	10, 15, 20	3imtr3i 294	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   “ cima 5654  ‘cfv 6538  t+ctcl 15138   hereditary whe 44771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-frege1 44789  ax-frege2 44790  ax-frege8 44808  ax-frege52a 44856  ax-frege58b 44900

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-trcl 15140  df-relexp 15173  df-he 44772

This theorem is used by: (None)