Theorem pilem3 26370

Description: Lemma for pire 26373, pigt2lt4 26371 and sinpi 26372. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.) (Proof shortened by BJ, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		4re 12277	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5		0red 11184	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		2lt4 12363	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < 4)
8		iccssre 13397	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
9	1, 3, 8	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℝ
10		ax-resscn 11132	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	9, 10	sstri 3959	. . . . 5 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
13		sincn 26361	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	9	sseli 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	resincld 16118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
18		sin4lt0 16170	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) < 0
19		sincos2sgn 16169	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
20	19	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ 0 < (sin‘2)
21	18, 20	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
23	2, 4, 5, 7, 12, 14, 17, 22	ivth2 25363	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
24	23	mptru 1547	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
25		df-pi 16045	. . . . . . 7 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
26		inss1 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
27		rpssre 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
28	26, 27	sstri 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
29		0re 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	26	sseli 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
31	30	rpge0d 13006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
32	31	rgen 3047	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
33		breq1 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
34	33	ralbidv 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
35	34	rspcev 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
36	29, 32, 35	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧
37		elioore 13343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		0red 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
43		eliooord 13373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 4))
44	43	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
46	39, 40, 38, 42, 45	lttrd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
47	38, 46	elrpd 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
49		pilem1 26368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
50	47, 48, 49	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
51		infrelb 12175	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
52	28, 36, 50, 51	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
53	25, 52	eqbrtrid 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
54		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
56		pilem1 26368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
58	57	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
59		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
60	57	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
61	54, 58, 59, 60	pilem2 26369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
62	61	ralrimiva 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
63	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
64	50	ne0d 4308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
65	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
66		infrecl 12172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
67	28, 36, 66	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
69	25, 68	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
70	69, 38	readdcld 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
71	70	rehalfcld 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
72		infregelb 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
73	63, 64, 65, 71, 72	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
74	62, 73	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
75	74, 25	breqtrrdi 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
76	69	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
77	38	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
78	76, 77	addcomd 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
79	78	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
80	79	breq1d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
81		avgle2 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
82	38, 69, 81	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
83	80, 82	bitr4d 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
84	75, 83	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
85	69, 38	letri3d 11323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ π)))
86	53, 84, 85	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
87		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
88	86, 87	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
89	86	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
90	89, 48	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
91	88, 90	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
92	91	rexlimiva 3127	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
93	24, 92	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  2c2 12248  4c4 12250  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  [,]cicc 13316  sincsin 16036  cosccos 16037  πcpi 16039  –cn→ccncf 24776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  26371  sinpi  26372  pire  26373