Theorem pilem3 26417

Description: Lemma for pire 26420, pigt2lt4 26418 and sinpi 26419. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.) (Proof shortened by BJ, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12217	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		4re 12227	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5		0red 11133	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		2lt4 12313	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < 4)
8		iccssre 13343	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
9	1, 3, 8	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℝ
10		ax-resscn 11081	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	9, 10	sstri 3941	. . . . 5 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
13		sincn 26408	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	9	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	resincld 16066	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
18		sin4lt0 16118	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) < 0
19		sincos2sgn 16117	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
20	19	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ 0 < (sin‘2)
21	18, 20	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
23	2, 4, 5, 7, 12, 14, 17, 22	ivth2 25410	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
24	23	mptru 1548	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
25		df-pi 15993	. . . . . . 7 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
26		inss1 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
27		rpssre 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
28	26, 27	sstri 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
29		0re 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	26	sseli 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
31	30	rpge0d 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
32	31	rgen 3051	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
33		breq1 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
34	33	ralbidv 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
35	34	rspcev 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
36	29, 32, 35	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧
37		elioore 13289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		0red 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
43		eliooord 13319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 4))
44	43	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
46	39, 40, 38, 42, 45	lttrd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
47	38, 46	elrpd 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
49		pilem1 26415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
50	47, 48, 49	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
51		infrelb 12125	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
52	28, 36, 50, 51	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
53	25, 52	eqbrtrid 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
54		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
56		pilem1 26415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
58	57	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
59		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
60	57	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
61	54, 58, 59, 60	pilem2 26416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
62	61	ralrimiva 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
63	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
64	50	ne0d 4292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
65	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
66		infrecl 12122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
67	28, 36, 66	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
69	25, 68	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
70	69, 38	readdcld 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
71	70	rehalfcld 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
72		infregelb 12124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
73	63, 64, 65, 71, 72	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
74	62, 73	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
75	74, 25	breqtrrdi 5138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
76	69	recnd 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
77	38	recnd 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
78	76, 77	addcomd 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
79	78	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
80	79	breq1d 5106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
81		avgle2 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
82	38, 69, 81	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
83	80, 82	bitr4d 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
84	75, 83	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
85	69, 38	letri3d 11273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ π)))
86	53, 84, 85	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
87		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
88	86, 87	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
89	86	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
90	89, 48	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
91	88, 90	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
92	91	rexlimiva 3127	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
93	24, 92	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  infcinf 9342  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  2c2 12198  4c4 12200  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  [,]cicc 13262  sincsin 15984  cosccos 15985  πcpi 15987  –cn→ccncf 24823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  26418  sinpi  26419  pire  26420