Theorem pilem3 26789

Description: Lemma for pire 26792, pigt2lt4 26790 and sinpi 26791. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.) (Proof shortened by BJ, 30-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12424	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		4re 12434	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5		0red 11318	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		2lt4 12527	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < 4)
8		iccssre 13567	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
9	1, 3, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℝ
10		ax-resscn 11264	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	9, 10	sstri 3918	. . . . 5 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
13		sincn 26780	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	9	sseli 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	resincld 16320	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
18		sin4lt0 16372	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) < 0
19		sincos2sgn 16371	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
20	19	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ 0 < (sin‘2)
21	18, 20	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
23	2, 4, 5, 7, 12, 14, 17, 22	ivth2 25785	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
24	23	mptru 1576	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
25		df-pi 16247	. . . . . . 7 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
26		inss1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
27		rpssre 13135	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
28	26, 27	sstri 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
29		0re 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	26	sseli 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
31	30	rpge0d 13175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
32	31	rgen 3078	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
33		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
34	33	ralbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
35	34	rspcev 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
36	29, 32, 35	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧
37		elioore 13513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		0red 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
40	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
41		2pos 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
43		eliooord 13543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 4))
44	43	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
46	39, 40, 38, 42, 45	lttrd 11478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
47	38, 46	elrpd 13168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
49		pilem1 26787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
50	47, 48, 49	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
51		infrelb 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
52	28, 36, 50, 51	mp3an12i 1494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
53	25, 52	eqbrtrid 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
54		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
55		pilem1 26787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
56	55	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
57	56	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
58		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
59	56	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
60	54, 57, 58, 59	pilem2 26788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
61	60	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
62	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
63	50	ne0d 4287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
64	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
65		infrecl 12306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
66	28, 36, 65	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
67	63, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	25, 67	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
69	68, 38	readdcld 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
70	69	rehalfcld 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
71		infregelb 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
72	62, 63, 64, 70, 71	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
73	61, 72	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
74	73, 25	breqtrrdi 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
75	68	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
76	38	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
77	75, 76	addcomd 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
78	77	oveq1d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
79	78	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
80		avgle2 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
81	38, 68, 80	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
82	79, 81	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
83	74, 82	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
84	68, 38	letri3d 11459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ π)))
85	53, 83, 84	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
86		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
87	85, 86	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
88	85	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
89	88, 48	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
90	87, 89	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
91	90	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
92	24, 91	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  infcinf 9440  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  2c2 12404  4c4 12406  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  [,]cicc 13486  sincsin 16238  cosccos 16239  πcpi 16241  –cn→ccncf 25206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  pigt2lt4  26790  sinpi  26791  pire  26792