Theorem pellfundlb 43336

Description: A nontrivial first quadrant solution is at least as large as the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundlb	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pellfundlb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellfundval 43332	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
2	1	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
3		ssrab2 4018	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ (Pell14QR‘𝐷)
4		pell14qrre 43309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑑 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑑 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑑 ∈ ℝ))
6	5	ssrdv 3928	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ ℝ)
7	3, 6	sstrid 3933	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
9		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		breq2 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝑐))
11	10	elrab 3636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝑐 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑐))
12		pell14qrre 43309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13		ltle 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (1 < 𝑐 → 1 ≤ 𝑐))
14	9, 12, 13	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 < 𝑐 → 1 ≤ 𝑐))
15	14	expimpd 454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑐 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑐) → 1 ≤ 𝑐))
16	11, 15	biimtrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} → 1 ≤ 𝑐))
17	16	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}1 ≤ 𝑐)
18	17	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}1 ≤ 𝑐)
19		breq1 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏 ≤ 𝑐 ↔ 1 ≤ 𝑐))
20	19	ralbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}1 ≤ 𝑐))
21	20	rspcev 3567	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}1 ≤ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}𝑏 ≤ 𝑐)
22	9, 18, 21	sylancr 593	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}𝑏 ≤ 𝑐)
23		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
24		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
25		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝐴))
26	25	elrab 3636	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴))
27	23, 24, 26	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎})
28		infrelb 12139	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}𝑏 ≤ 𝑐 ∧ 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}) → inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
29	8, 22, 27, 28	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
30	2, 29	eqbrtrd 5101	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  infcinf 9351  ℝcr 11035  1c1 11037   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  ◻_NNcsquarenn 43288  Pell14QRcpell14qr 43291  PellFundcpellfund 43292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-pell14qr 43295  df-pell1234qr 43296  df-pellfund 43297

This theorem is referenced by:  pellfundglb  43337  pellfund14gap  43339  rmspecfund  43361