Theorem issubgrpd2 19063

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubgrpd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubgrpd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
2		issubgrpd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
3	2	ne0d 4291	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅)
4		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
5	4	oveqd 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
7		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
8	7	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
9	6, 8	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
10	9	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
11		issubgrpd.ncl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
12	10, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
13	12	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
14		issubgrpd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐼) = (invg‘𝐼)
18	15, 16, 17	issubg2 19062	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
19	14, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ 𝐷 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
20	1, 3, 13, 19	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  +_gcplusg 17168  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18854  inv_gcminusg 18855  SubGrpcsubg 19041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-subg 19044

This theorem is referenced by:  issubgrpd  19064  symgsssg  19387  symgfisg  19388  issubrgd  21132  dsmmsubg  21689  nsgmgclem  33420