Theorem lcdvadd 38725

Description: Vector addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdvadd.a	⊢ + = (+g‘𝐷)
lcdvadd.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
lcdvadd.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvadd	⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Proof of Theorem lcdvadd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2819	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvadd.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
6		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
7		lcdvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcdvadd.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdval 38717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
10	9	fveq2d 6667	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐶) = (+g‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
11		lcdvadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
12		fvex 6676	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5226	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		lcdvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16	14, 15	ressplusg 16604	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → + = (+g‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ + = (+g‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	10, 11, 17	3eqtr4g 2879	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140  Vcvv 3493  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  LFnlclfn 36185  LKerclk 36213  LDualcld 36251  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  ocHcoch 38475  LCDualclcd 38714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-lcdual 38715

This theorem is referenced by:  lcdvaddval  38726