Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvaddval 39621
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvaddval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvaddval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvaddval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvaddval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvaddval.a + = (+g𝑅)
lcdvaddval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvaddval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvaddval.p = (+g𝐶)
lcdvaddval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvaddval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvaddval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvaddval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvaddval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvaddval
StepHypRef Expression
1 lcdvaddval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvaddval.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2740 . . . . 5 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
4 eqid 2740 . . . . 5 (+g‘(LDual‘𝑈)) = (+g‘(LDual‘𝑈))
5 lcdvaddval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdvaddval.p . . . . 5 = (+g𝐶)
7 lcdvaddval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lcdvadd 39620 . . . 4 (𝜑 = (+g‘(LDual‘𝑈)))
98oveqd 7289 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺))
109fveq1d 6773 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝑋))
11 lcdvaddval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcdvaddval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13 lcdvaddval.a . . 3 + = (+g𝑅)
14 eqid 2740 . . 3 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
151, 2, 7dvhlmod 39133 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
16 lcdvaddval.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
17 lcdvaddval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
181, 5, 16, 2, 14, 7, 17lcdvbaselfl 39618 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (LFnl‘𝑈))
19 lcdvaddval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
201, 5, 16, 2, 14, 7, 19lcdvbaselfl 39618 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (LFnl‘𝑈))
21 lcdvaddval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
2211, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 18, 20, 21ldualvaddval 37154 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))
2310, 22eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  +gcplusg 16973  Scalarcsca 16976  LFnlclfn 37080  LDualcld 37146  HLchlt 37373  LHypclh 38007  DVecHcdvh 39101  LCDualclcd 39609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-riotaBAD 36976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-undef 8081  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-0g 17163  df-proset 18024  df-poset 18042  df-plt 18059  df-lub 18075  df-glb 18076  df-join 18077  df-meet 18078  df-p0 18154  df-p1 18155  df-lat 18161  df-clat 18228  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-invr 19925  df-dvr 19936  df-drng 20004  df-lmod 20136  df-lvec 20376  df-lfl 37081  df-ldual 37147  df-oposet 37199  df-ol 37201  df-oml 37202  df-covers 37289  df-ats 37290  df-atl 37321  df-cvlat 37345  df-hlat 37374  df-llines 37521  df-lplanes 37522  df-lvols 37523  df-lines 37524  df-psubsp 37526  df-pmap 37527  df-padd 37819  df-lhyp 38011  df-laut 38012  df-ldil 38127  df-ltrn 38128  df-trl 38182  df-tendo 38778  df-edring 38780  df-dvech 39102  df-lcdual 39610
This theorem is referenced by:  lcdvsubval  39641  hdmaplna2  39933
  Copyright terms: Public domain W3C validator