Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvaddval 41297
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvaddval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvaddval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvaddval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvaddval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvaddval.a + = (+g𝑅)
lcdvaddval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvaddval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvaddval.p = (+g𝐶)
lcdvaddval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvaddval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvaddval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvaddval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvaddval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvaddval
StepHypRef Expression
1 lcdvaddval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvaddval.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2726 . . . . 5 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
4 eqid 2726 . . . . 5 (+g‘(LDual‘𝑈)) = (+g‘(LDual‘𝑈))
5 lcdvaddval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdvaddval.p . . . . 5 = (+g𝐶)
7 lcdvaddval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lcdvadd 41296 . . . 4 (𝜑 = (+g‘(LDual‘𝑈)))
98oveqd 7441 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺))
109fveq1d 6903 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝑋))
11 lcdvaddval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcdvaddval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13 lcdvaddval.a . . 3 + = (+g𝑅)
14 eqid 2726 . . 3 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
151, 2, 7dvhlmod 40809 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
16 lcdvaddval.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
17 lcdvaddval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
181, 5, 16, 2, 14, 7, 17lcdvbaselfl 41294 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (LFnl‘𝑈))
19 lcdvaddval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
201, 5, 16, 2, 14, 7, 19lcdvbaselfl 41294 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (LFnl‘𝑈))
21 lcdvaddval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
2211, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 18, 20, 21ldualvaddval 38829 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))
2310, 22eqtrd 2766 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) + (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  Scalarcsca 17269  LFnlclfn 38755  LDualcld 38821  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  LCDualclcd 41285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lvec 21081  df-lfl 38756  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dvech 40778  df-lcdual 41286
This theorem is referenced by:  lcdvsubval  41317  hdmaplna2  41609
  Copyright terms: Public domain W3C validator