MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem1 24887
Description: Lemma for leibpi 24889. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem leibpilem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11495 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
21biimpi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32ord 844 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
43con1d 141 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
54imp 393 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantrr 688 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nn0z 11601 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
87adantr 466 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 odd2np1 15272 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
11 zcn 11583 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
12 2cn 11292 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
13 mulcl 10221 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
15 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
16 pncan 10488 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1714, 15, 16sylancl 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1817oveq1d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
19 2ne0 11314 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
20 divcan3 10912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2112, 19, 20mp3an23 1563 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2218, 21eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
2523, 24eqeltrd 2849 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
26 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
2726oveq1d 6807 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
2827eleq1d 2834 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2925, 28syl5ibcom 235 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3029rexlimiv 3174 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3110, 30syl6bi 243 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3231impr 442 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33 nnm1nn0 11535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
346, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3534nn0red 11553 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3634nn0ge0d 11555 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
37 2re 11291 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
39 2pos 11313 . . . . 5 0 < 2
4039a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 < 2)
41 divge0 11093 . . . 4 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 1476 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
43 elnn0z 11591 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4432, 42, 43sylanbrc 564 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
456, 44jca 495 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cz 11578  cdvds 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-dvds 15189
This theorem is referenced by:  leibpilem2  24888  leibpi  24889
  Copyright terms: Public domain W3C validator