MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem1 24961
Description: Lemma for leibpi 24963. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem leibpilem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11542 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
21biimpi 207 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32ord 890 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
43con1d 141 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
54imp 395 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantrr 708 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nn0z 11650 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
87adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 odd2np1 15350 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
11 zcn 11631 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
12 2cn 11349 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
13 mulcl 10275 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
15 ax-1cn 10249 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
16 pncan 10543 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1714, 15, 16sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1817oveq1d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
19 2ne0 11385 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
20 divcan3 10967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2112, 19, 20mp3an23 1577 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2218, 21eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
2523, 24eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
26 oveq1 6851 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
2726oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
2827eleq1d 2829 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2925, 28syl5ibcom 236 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3029rexlimiv 3174 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3110, 30syl6bi 244 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3231impr 446 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33 nnm1nn0 11583 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
346, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3534nn0red 11601 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3634nn0ge0d 11603 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
37 2re 11348 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
39 2pos 11384 . . . . 5 0 < 2
4039a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 < 2)
41 divge0 11148 . . . 4 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 867 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
43 elnn0z 11639 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4432, 42, 43sylanbrc 578 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
456, 44jca 507 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cdvds 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-dvds 15269
This theorem is referenced by:  leibpilem2  24962  leibpi  24963
  Copyright terms: Public domain W3C validator