Theorem atantayl3 27104

Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
atantayl3.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
atantayl3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atantayl3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2		2nn0 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4		nn0mulcl 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		pncan 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
10	9	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
11		nn0cn 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
14		2ne0 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
16	12, 13, 15	divcan3d 11991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
17	10, 16	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
18	17	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
19	18	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
20	19	mpteq2dva 5204	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
21	1, 20	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
22	21	seqeq3d 14041	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))))
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))
24	23	atantayl2 27103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
25		neg1cn 12198	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		expcl 14111	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
27	25, 3, 26	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
28		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		peano2nn0 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
30	5, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
31	28, 30	expcld 14178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
32		nn0p1nn 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
33	5, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 12281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 11986	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	27, 36	mulcld 11224	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	19, 37	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
39		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
41	40	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
42		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)))
43		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
44	42, 43	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝐴↑𝑘) / 𝑘) = ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
45	41, 44	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
46	38, 45	iserodd 16890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴) ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴)))
47	24, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
48	22, 47	eqbrtrd 5133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  seqcseq 14033  ↑cexp 14093  abscabs 15281   ⇝ cli 15531   ∥ cdvds 16305  arctancatan 27029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-tan 16120  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-ulm 26540  df-log 26721  df-atan 27032

This theorem is referenced by:  log2cnv  27109