Theorem atantayl3 26901

Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
atantayl3.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
atantayl3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atantayl3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2		2nn0 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4		nn0mulcl 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		pncan 11488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
10	9	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
11		nn0cn 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
14		2ne0 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
16	12, 13, 15	divcan3d 12022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
17	10, 16	eqtr2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
18	17	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
19	18	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
20	19	mpteq2dva 5214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
21	1, 20	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
22	21	seqeq3d 14027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))))
23		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))
24	23	atantayl2 26900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
25		neg1cn 12354	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		expcl 14097	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
27	25, 3, 26	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
28		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		peano2nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
30	5, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
31	28, 30	expcld 14164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
32		nn0p1nn 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
33	5, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 12290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 12017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	27, 36	mulcld 11255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	19, 37	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
39		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
41	40	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
42		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)))
43		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
44	42, 43	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝐴↑𝑘) / 𝑘) = ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
45	41, 44	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
46	38, 45	iserodd 16855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴) ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴)))
47	24, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
48	22, 47	eqbrtrd 5141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  seqcseq 14019  ↑cexp 14079  abscabs 15253   ⇝ cli 15500   ∥ cdvds 16272  arctancatan 26826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-tan 16087  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-ulm 26338  df-log 26517  df-atan 26829

This theorem is referenced by:  log2cnv  26906