Theorem atantayl3 27177

Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
atantayl3.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
atantayl3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atantayl3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2		2nn0 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4		nn0mulcl 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		pncan 11488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
10	9	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
11		nn0cn 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
14		2ne0 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
16	12, 13, 15	divcan3d 12021	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
17	10, 16	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
18	17	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
19	18	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
20	19	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
21	1, 20	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
22	21	seqeq3d 14074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))))
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))
24	23	atantayl2 27176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
25		neg1cn 12228	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		expcl 14144	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
27	25, 3, 26	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
28		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		peano2nn0 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
30	5, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
31	28, 30	expcld 14211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
32		nn0p1nn 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
33	5, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 12311	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 12016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	27, 36	mulcld 11254	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	19, 37	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
39		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
41	40	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
42		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)))
43		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
44	42, 43	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝐴↑𝑘) / 𝑘) = ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
45	41, 44	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
46	38, 45	iserodd 16928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴) ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴)))
47	24, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
48	22, 47	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   < clt 11268   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  seqcseq 14066  ↑cexp 14126  abscabs 15322   ⇝ cli 15572   ∥ cdvds 16343  arctancatan 27102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-tan 16158  df-pi 16159  df-dvds 16344  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095  df-ulm 26614  df-log 26794  df-atan 27105

This theorem is used by:  log2cnv  27182