MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantayl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atantayl3 26444
Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl3.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
Assertion
Ref Expression
atantayl3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atantayl3.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
2 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
3 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4 nn0mulcl 12508 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
65nn0cnd 12534 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
7 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
8 pncan 11466 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
96, 7, 8sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
109oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2) = ((2 Β· 𝑛) / 2))
11 nn0cn 12482 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1211adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
13 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
14 2ne0 12316 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
1612, 13, 15divcan3d 11995 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
1710, 16eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 = ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2))
1817oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑛) = (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)))
1918oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑛) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
2019mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
211, 20eqtrid 2785 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
2221seqeq3d 13974 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
23 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜))))
2423atantayl2 26443 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
25 neg1cn 12326 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
26 expcl 14045 . . . . . . 7 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑛) ∈ β„‚)
2725, 3, 26sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑛) ∈ β„‚)
28 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
29 peano2nn0 12512 . . . . . . . . 9 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0)
305, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0)
3128, 30expcld 14111 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
32 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . 9 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
335, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
3433nncnd 12228 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
3533nnne0d 12262 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) β‰  0)
3631, 34, 35divcld 11990 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3727, 36mulcld 11234 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑛) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
3819, 37eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
39 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1))
4039oveq1d 7424 . . . . . 6 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) = ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2))
4140oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)))
42 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (π΄β†‘π‘˜) = (𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)))
43 id 22 . . . . . 6 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1))
4442, 43oveq12d 7427 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜) = ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
4541, 44oveq12d 7427 . . . 4 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜)) = ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
4638, 45iserodd 16768 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctanβ€˜π΄) ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· ((π΄β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜π΄)))
4724, 46mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑((2 Β· 𝑛) + 1)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
4822, 47eqbrtrd 5171 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428   βˆ₯ cdvds 16197  arctancatan 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-atan 26372
This theorem is referenced by:  log2cnv  26449
  Copyright terms: Public domain W3C validator