Theorem nn0oddm1d2 15786

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12044	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		oddp1d2 15759	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		peano2nn0 11974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 11995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		2rp 12435	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
8		nn0re 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 10680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
10		nn0ge0 11959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
11		0le1 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
13	8, 9, 10, 12	addge0d 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
14	5, 7, 13	divge0d 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
15	14	anim1ci 618	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
16		elnn0z 12033	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
17	15, 16	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18	17	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
19		nn0z 12044	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
20	18, 19	impbid1 228	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
21		nn0ob 15785	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
22	3, 20, 21	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  2c2 11729  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ℝ⁺crp 12430   ∥ cdvds 15655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-dvds 15656

This theorem is referenced by:  leibpilem1  25625  gausslemma2dlem6  26055