MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 27626
Description: Lemma for pnt 27646. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c1, 𝐿 is λ, 𝐷 is c2, and 𝐹 is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 13441 . . . 4 (0(,)1) ⊆ ℝ
2 pntlem1.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
31, 2sselid 3977 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 eliooord 13439 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
65simpld 493 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐿)
73, 6elrpd 13069 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 1rp 13034 . . . 4 1 ∈ ℝ+
11 rpaddcl 13052 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
129, 10, 11sylancl 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
138, 12eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15 1re 11266 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 ltaddrp 13067 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
1715, 9, 16sylancr 585 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
189rpcnd 13074 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
20 addcom 11452 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
228, 21eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
2317, 22breqtrrd 5183 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝐷)
2413recgt1d 13086 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
2523, 24mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
2613rprecred 13083 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27 difrp 13068 . . . . . 6 (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2826, 15, 27sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30 3nn0 12544 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
31 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 12751 . . . . . . . 8 32 ∈ ℕ
33 nnrp 13041 . . . . . . . 8 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 ∈ ℝ+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
36 rpmulcl 13053 . . . . . . 7 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
387, 37rpdivcld 13089 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39 2z 12648 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
40 rpexpcl 14102 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4113, 39, 40sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4238, 41rpdivcld 13089 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
4329, 42rpmulcld 13088 . . 3 (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
4414, 43eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
457, 13, 443jca 1125 1 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5155  cmpt 5238  cfv 6556  (class class class)co 7426  cc 11158  cr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165   < clt 11300  cmin 11496   / cdiv 11923  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cz 12612  cdc 12731  +crp 13030  (,)cioo 13380  cexp 14083  ψcchp 27124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13031  df-ioo 13384  df-seq 14024  df-exp 14084
This theorem is referenced by:  pntlemc  27627  pntlema  27628  pntlemb  27629  pntlemq  27633  pntlemr  27634  pntlemj  27635  pntlemf  27637  pntlemo  27639  pntleml  27643
  Copyright terms: Public domain W3C validator