MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 25852
Description: Lemma for pnt 25872. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c1, 𝐿 is λ, 𝐷 is c2, and 𝐹 is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 12648 . . . 4 (0(,)1) ⊆ ℝ
2 pntlem1.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
31, 2sseldi 3887 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 eliooord 12646 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
65simpld 495 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐿)
73, 6elrpd 12278 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 1rp 12243 . . . 4 1 ∈ ℝ+
11 rpaddcl 12261 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
129, 10, 11sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
138, 12syl5eqel 2887 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15 1re 10487 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 ltaddrp 12276 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
1715, 9, 16sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
189rpcnd 12283 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 10441 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
20 addcom 10673 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
228, 21syl5eq 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
2317, 22breqtrrd 4990 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝐷)
2413recgt1d 12295 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
2523, 24mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
2613rprecred 12292 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27 difrp 12277 . . . . . 6 (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2826, 15, 27sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2925, 28mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30 3nn0 11763 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
31 2nn 11558 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 11967 . . . . . . . 8 32 ∈ ℕ
33 nnrp 12250 . . . . . . . 8 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 ∈ ℝ+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
36 rpmulcl 12262 . . . . . . 7 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
387, 37rpdivcld 12298 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39 2z 11863 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
40 rpexpcl 13298 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4113, 39, 40sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4238, 41rpdivcld 12298 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
4329, 42rpmulcld 12297 . . 3 (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
4414, 43syl5eqel 2887 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
457, 13, 443jca 1121 1 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cmpt 5041  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  3c3 11541  cz 11829  cdc 11947  +crp 12239  (,)cioo 12588  cexp 13279  ψcchp 25352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ioo 12592  df-seq 13220  df-exp 13280
This theorem is referenced by:  pntlemc  25853  pntlema  25854  pntlemb  25855  pntlemq  25859  pntlemr  25860  pntlemj  25861  pntlemf  25863  pntlemo  25865  pntleml  25869
  Copyright terms: Public domain W3C validator