![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pntlemd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for pnt 27565. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐ด is C^*, ๐ต is c1, ๐ฟ is ฮป, ๐ท is c2, and ๐น is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
pntlem1.r | โข ๐ = (๐ โ โ+ โฆ ((ฯโ๐) โ ๐)) |
pntlem1.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ+) |
pntlem1.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ+) |
pntlem1.l | โข (๐ โ ๐ฟ โ (0(,)1)) |
pntlem1.d | โข ๐ท = (๐ด + 1) |
pntlem1.f | โข ๐น = ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) |
Ref | Expression |
---|---|
pntlemd | โข (๐ โ (๐ฟ โ โ+ โง ๐ท โ โ+ โง ๐น โ โ+)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ioossre 13423 | . . . 4 โข (0(,)1) โ โ | |
2 | pntlem1.l | . . . 4 โข (๐ โ ๐ฟ โ (0(,)1)) | |
3 | 1, 2 | sselid 3978 | . . 3 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) |
4 | eliooord 13421 | . . . . 5 โข (๐ฟ โ (0(,)1) โ (0 < ๐ฟ โง ๐ฟ < 1)) | |
5 | 2, 4 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (0 < ๐ฟ โง ๐ฟ < 1)) |
6 | 5 | simpld 493 | . . 3 โข (๐ โ 0 < ๐ฟ) |
7 | 3, 6 | elrpd 13051 | . 2 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ+) |
8 | pntlem1.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ด + 1) | |
9 | pntlem1.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ+) | |
10 | 1rp 13016 | . . . 4 โข 1 โ โ+ | |
11 | rpaddcl 13034 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง 1 โ โ+) โ (๐ด + 1) โ โ+) | |
12 | 9, 10, 11 | sylancl 584 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โ+) |
13 | 8, 12 | eqeltrid 2832 | . 2 โข (๐ โ ๐ท โ โ+) |
14 | pntlem1.f | . . 3 โข ๐น = ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) | |
15 | 1re 11250 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
16 | ltaddrp 13049 | . . . . . . . 8 โข ((1 โ โ โง ๐ด โ โ+) โ 1 < (1 + ๐ด)) | |
17 | 15, 9, 16 | sylancr 585 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 1 < (1 + ๐ด)) |
18 | 9 | rpcnd 13056 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | ax-1cn 11202 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
20 | addcom 11436 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด)) | |
21 | 18, 19, 20 | sylancl 584 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด)) |
22 | 8, 21 | eqtrid 2779 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ท = (1 + ๐ด)) |
23 | 17, 22 | breqtrrd 5178 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 < ๐ท) |
24 | 13 | recgt1d 13068 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1 < ๐ท โ (1 / ๐ท) < 1)) |
25 | 23, 24 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐ท) < 1) |
26 | 13 | rprecred 13065 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1 / ๐ท) โ โ) |
27 | difrp 13050 | . . . . . 6 โข (((1 / ๐ท) โ โ โง 1 โ โ) โ ((1 / ๐ท) < 1 โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+)) | |
28 | 26, 15, 27 | sylancl 584 | . . . . 5 โข (๐ โ ((1 / ๐ท) < 1 โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+)) |
29 | 25, 28 | mpbid 231 | . . . 4 โข (๐ โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+) |
30 | 3nn0 12526 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ0 | |
31 | 2nn 12321 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
32 | 30, 31 | decnncl 12733 | . . . . . . . 8 โข ;32 โ โ |
33 | nnrp 13023 | . . . . . . . 8 โข (;32 โ โ โ ;32 โ โ+) | |
34 | 32, 33 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข ;32 โ โ+ |
35 | pntlem1.b | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ+) | |
36 | rpmulcl 13035 | . . . . . . 7 โข ((;32 โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (;32 ยท ๐ต) โ โ+) | |
37 | 34, 35, 36 | sylancr 585 | . . . . . 6 โข (๐ โ (;32 ยท ๐ต) โ โ+) |
38 | 7, 37 | rpdivcld 13071 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) โ โ+) |
39 | 2z 12630 | . . . . . 6 โข 2 โ โค | |
40 | rpexpcl 14083 | . . . . . 6 โข ((๐ท โ โ+ โง 2 โ โค) โ (๐ทโ2) โ โ+) | |
41 | 13, 39, 40 | sylancl 584 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ทโ2) โ โ+) |
42 | 38, 41 | rpdivcld 13071 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2)) โ โ+) |
43 | 29, 42 | rpmulcld 13070 | . . 3 โข (๐ โ ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) โ โ+) |
44 | 14, 43 | eqeltrid 2832 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ โ+) |
45 | 7, 13, 44 | 3jca 1125 | 1 โข (๐ โ (๐ฟ โ โ+ โง ๐ท โ โ+ โง ๐น โ โ+)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5150 โฆ cmpt 5233 โcfv 6551 (class class class)co 7424 โcc 11142 โcr 11143 0cc0 11144 1c1 11145 + caddc 11147 ยท cmul 11149 < clt 11284 โ cmin 11480 / cdiv 11907 โcn 12248 2c2 12303 3c3 12304 โคcz 12594 ;cdc 12713 โ+crp 13012 (,)cioo 13362 โcexp 14064 ฯcchp 27043 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-cnex 11200 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-pre-mulgt0 11221 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-lim 6377 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7875 df-1st 7997 df-2nd 7998 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-rdg 8435 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-xr 11288 df-ltxr 11289 df-le 11290 df-sub 11482 df-neg 11483 df-div 11908 df-nn 12249 df-2 12311 df-3 12312 df-4 12313 df-5 12314 df-6 12315 df-7 12316 df-8 12317 df-9 12318 df-n0 12509 df-z 12595 df-dec 12714 df-uz 12859 df-rp 13013 df-ioo 13366 df-seq 14005 df-exp 14065 |
This theorem is referenced by: pntlemc 27546 pntlema 27547 pntlemb 27548 pntlemq 27552 pntlemr 27553 pntlemj 27554 pntlemf 27556 pntlemo 27558 pntleml 27562 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |