Theorem pntlemd 27545

Description: Lemma for pnt 27565. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c₁, 𝐿 is λ, 𝐷 is c₂, and 𝐹 is c₃. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))

Assertion

Ref	Expression
pntlemd	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13349	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
2		pntlem1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
3	1, 2	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		eliooord 13347	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
6	5	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
7	3, 6	elrpd 12972	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
9		pntlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		1rp 12935	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11		rpaddcl 12955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
14		pntlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15		1re 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltaddrp 12970	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
17	15, 9, 16	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
18	9	rpcnd 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		addcom 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
21	18, 19, 20	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
22	8, 21	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (1 + 𝐴))
23	17, 22	breqtrrd 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐷)
24	13	recgt1d 12989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
25	23, 24	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
26	13	rprecred 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		difrp 12971	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
28	26, 15, 27	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
29	25, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30		3nn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		2nn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12653	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 ∈ ℕ
33		nnrp 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
35		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
36		rpmulcl 12956	. . . . . . 7 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
38	7, 37	rpdivcld 12992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39		2z 12548	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		rpexpcl 14031	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
41	13, 39, 40	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
42	38, 41	rpdivcld 12992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
43	29, 42	rpmulcld 12991	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
44	14, 43	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
45	7, 13, 44	3jca 1129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11168   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  3c3 12226  ℤcz 12513  ;cdc 12633  ℝ⁺crp 12931  (,)cioo 13287  ↑cexp 14012  ψcchp 27044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ioo 13291  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  pntlemc  27546  pntlema  27547  pntlemb  27548  pntlemq  27552  pntlemr  27553  pntlemj  27554  pntlemf  27556  pntlemo  27558  pntleml  27562