![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pntlemd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for pnt 26985. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐ด is C^*, ๐ต is c1, ๐ฟ is ฮป, ๐ท is c2, and ๐น is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
pntlem1.r | โข ๐ = (๐ โ โ+ โฆ ((ฯโ๐) โ ๐)) |
pntlem1.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ+) |
pntlem1.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ+) |
pntlem1.l | โข (๐ โ ๐ฟ โ (0(,)1)) |
pntlem1.d | โข ๐ท = (๐ด + 1) |
pntlem1.f | โข ๐น = ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) |
Ref | Expression |
---|---|
pntlemd | โข (๐ โ (๐ฟ โ โ+ โง ๐ท โ โ+ โง ๐น โ โ+)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ioossre 13334 | . . . 4 โข (0(,)1) โ โ | |
2 | pntlem1.l | . . . 4 โข (๐ โ ๐ฟ โ (0(,)1)) | |
3 | 1, 2 | sselid 3946 | . . 3 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) |
4 | eliooord 13332 | . . . . 5 โข (๐ฟ โ (0(,)1) โ (0 < ๐ฟ โง ๐ฟ < 1)) | |
5 | 2, 4 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (0 < ๐ฟ โง ๐ฟ < 1)) |
6 | 5 | simpld 496 | . . 3 โข (๐ โ 0 < ๐ฟ) |
7 | 3, 6 | elrpd 12962 | . 2 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ+) |
8 | pntlem1.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ด + 1) | |
9 | pntlem1.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ+) | |
10 | 1rp 12927 | . . . 4 โข 1 โ โ+ | |
11 | rpaddcl 12945 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง 1 โ โ+) โ (๐ด + 1) โ โ+) | |
12 | 9, 10, 11 | sylancl 587 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โ+) |
13 | 8, 12 | eqeltrid 2838 | . 2 โข (๐ โ ๐ท โ โ+) |
14 | pntlem1.f | . . 3 โข ๐น = ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) | |
15 | 1re 11163 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
16 | ltaddrp 12960 | . . . . . . . 8 โข ((1 โ โ โง ๐ด โ โ+) โ 1 < (1 + ๐ด)) | |
17 | 15, 9, 16 | sylancr 588 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 1 < (1 + ๐ด)) |
18 | 9 | rpcnd 12967 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | ax-1cn 11117 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
20 | addcom 11349 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด)) | |
21 | 18, 19, 20 | sylancl 587 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด)) |
22 | 8, 21 | eqtrid 2785 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ท = (1 + ๐ด)) |
23 | 17, 22 | breqtrrd 5137 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 < ๐ท) |
24 | 13 | recgt1d 12979 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1 < ๐ท โ (1 / ๐ท) < 1)) |
25 | 23, 24 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐ท) < 1) |
26 | 13 | rprecred 12976 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1 / ๐ท) โ โ) |
27 | difrp 12961 | . . . . . 6 โข (((1 / ๐ท) โ โ โง 1 โ โ) โ ((1 / ๐ท) < 1 โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+)) | |
28 | 26, 15, 27 | sylancl 587 | . . . . 5 โข (๐ โ ((1 / ๐ท) < 1 โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+)) |
29 | 25, 28 | mpbid 231 | . . . 4 โข (๐ โ (1 โ (1 / ๐ท)) โ โ+) |
30 | 3nn0 12439 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ0 | |
31 | 2nn 12234 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
32 | 30, 31 | decnncl 12646 | . . . . . . . 8 โข ;32 โ โ |
33 | nnrp 12934 | . . . . . . . 8 โข (;32 โ โ โ ;32 โ โ+) | |
34 | 32, 33 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข ;32 โ โ+ |
35 | pntlem1.b | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ+) | |
36 | rpmulcl 12946 | . . . . . . 7 โข ((;32 โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (;32 ยท ๐ต) โ โ+) | |
37 | 34, 35, 36 | sylancr 588 | . . . . . 6 โข (๐ โ (;32 ยท ๐ต) โ โ+) |
38 | 7, 37 | rpdivcld 12982 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) โ โ+) |
39 | 2z 12543 | . . . . . 6 โข 2 โ โค | |
40 | rpexpcl 13995 | . . . . . 6 โข ((๐ท โ โ+ โง 2 โ โค) โ (๐ทโ2) โ โ+) | |
41 | 13, 39, 40 | sylancl 587 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ทโ2) โ โ+) |
42 | 38, 41 | rpdivcld 12982 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2)) โ โ+) |
43 | 29, 42 | rpmulcld 12981 | . . 3 โข (๐ โ ((1 โ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (;32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ2))) โ โ+) |
44 | 14, 43 | eqeltrid 2838 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ โ+) |
45 | 7, 13, 44 | 3jca 1129 | 1 โข (๐ โ (๐ฟ โ โ+ โง ๐ท โ โ+ โง ๐น โ โ+)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 0cc0 11059 1c1 11060 + caddc 11062 ยท cmul 11064 < clt 11197 โ cmin 11393 / cdiv 11820 โcn 12161 2c2 12216 3c3 12217 โคcz 12507 ;cdc 12626 โ+crp 12923 (,)cioo 13273 โcexp 13976 ฯcchp 26465 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-rp 12924 df-ioo 13277 df-seq 13916 df-exp 13977 |
This theorem is referenced by: pntlemc 26966 pntlema 26967 pntlemb 26968 pntlemq 26972 pntlemr 26973 pntlemj 26974 pntlemf 26976 pntlemo 26978 pntleml 26982 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |