MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 26965
Description: Lemma for pnt 26985. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐ด is C^*, ๐ต is c1, ๐ฟ is ฮป, ๐ท is c2, and ๐น is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 13334 . . . 4 (0(,)1) โŠ† โ„
2 pntlem1.l . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
31, 2sselid 3946 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
4 eliooord 13332 . . . . 5 (๐ฟ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
65simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ฟ)
73, 6elrpd 12962 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
10 1rp 12927 . . . 4 1 โˆˆ โ„+
11 rpaddcl 12945 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
129, 10, 11sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
138, 12eqeltrid 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
15 1re 11163 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
16 ltaddrp 12960 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
1715, 9, 16sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
189rpcnd 12967 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 ax-1cn 11117 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
20 addcom 11349 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
228, 21eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (1 + ๐ด))
2317, 22breqtrrd 5137 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ท)
2413recgt1d 12979 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ท โ†” (1 / ๐ท) < 1))
2523, 24mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) < 1)
2613rprecred 12976 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) โˆˆ โ„)
27 difrp 12961 . . . . . 6 (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2826, 15, 27sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+)
30 3nn0 12439 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•0
31 2nn 12234 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
3230, 31decnncl 12646 . . . . . . . 8 32 โˆˆ โ„•
33 nnrp 12934 . . . . . . . 8 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 โˆˆ โ„+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
36 rpmulcl 12946 . . . . . . 7 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
3734, 35, 36sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
387, 37rpdivcld 12982 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
39 2z 12543 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
40 rpexpcl 13995 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4113, 39, 40sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4238, 41rpdivcld 12982 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
4329, 42rpmulcld 12981 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
4414, 43eqeltrid 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„+)
457, 13, 443jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  โ„คcz 12507  cdc 12626  โ„+crp 12923  (,)cioo 13273  โ†‘cexp 13976  ฯˆcchp 26465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ioo 13277  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  pntlemc  26966  pntlema  26967  pntlemb  26968  pntlemq  26972  pntlemr  26973  pntlemj  26974  pntlemf  26976  pntlemo  26978  pntleml  26982
  Copyright terms: Public domain W3C validator