MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 27478
Description: Lemma for pnt 27498. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐ด is C^*, ๐ต is c1, ๐ฟ is ฮป, ๐ท is c2, and ๐น is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 13388 . . . 4 (0(,)1) โІ โ„
2 pntlem1.l . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
31, 2sselid 3975 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
4 eliooord 13386 . . . . 5 (๐ฟ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
65simpld 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ฟ)
73, 6elrpd 13016 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
10 1rp 12981 . . . 4 1 โˆˆ โ„+
11 rpaddcl 12999 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
129, 10, 11sylancl 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
138, 12eqeltrid 2831 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
15 1re 11215 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
16 ltaddrp 13014 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
1715, 9, 16sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
189rpcnd 13021 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 ax-1cn 11167 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
20 addcom 11401 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
228, 21eqtrid 2778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (1 + ๐ด))
2317, 22breqtrrd 5169 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ท)
2413recgt1d 13033 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ท โ†” (1 / ๐ท) < 1))
2523, 24mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) < 1)
2613rprecred 13030 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) โˆˆ โ„)
27 difrp 13015 . . . . . 6 (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2826, 15, 27sylancl 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+)
30 3nn0 12491 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•0
31 2nn 12286 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
3230, 31decnncl 12698 . . . . . . . 8 32 โˆˆ โ„•
33 nnrp 12988 . . . . . . . 8 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 โˆˆ โ„+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
36 rpmulcl 13000 . . . . . . 7 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
3734, 35, 36sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
387, 37rpdivcld 13036 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
39 2z 12595 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
40 rpexpcl 14049 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4113, 39, 40sylancl 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4238, 41rpdivcld 13036 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
4329, 42rpmulcld 13035 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
4414, 43eqeltrid 2831 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„+)
457, 13, 443jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  โ„คcz 12559  cdc 12678  โ„+crp 12977  (,)cioo 13327  โ†‘cexp 14030  ฯˆcchp 26976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ioo 13331  df-seq 13970  df-exp 14031
This theorem is referenced by:  pntlemc  27479  pntlema  27480  pntlemb  27481  pntlemq  27485  pntlemr  27486  pntlemj  27487  pntlemf  27489  pntlemo  27491  pntleml  27495
  Copyright terms: Public domain W3C validator