Theorem pntlemd 26742

Description: Lemma for pnt 26762. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c₁, 𝐿 is λ, 𝐷 is c₂, and 𝐹 is c₃. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))

Assertion

Ref	Expression
pntlemd	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13140	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
2		pntlem1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
3	1, 2	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		eliooord 13138	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
6	5	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
7	3, 6	elrpd 12769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
9		pntlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		1rp 12734	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11		rpaddcl 12752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
14		pntlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltaddrp 12767	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
17	15, 9, 16	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
18	9	rpcnd 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		addcom 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
22	8, 21	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (1 + 𝐴))
23	17, 22	breqtrrd 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐷)
24	13	recgt1d 12786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
25	23, 24	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
26	13	rprecred 12783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		difrp 12768	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
28	26, 15, 27	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
29	25, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30		3nn0 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		2nn 12046	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12457	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 ∈ ℕ
33		nnrp 12741	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
35		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
36		rpmulcl 12753	. . . . . . 7 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
38	7, 37	rpdivcld 12789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39		2z 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		rpexpcl 13801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
41	13, 39, 40	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
42	38, 41	rpdivcld 12789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
43	29, 42	rpmulcld 12788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
44	14, 43	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
45	7, 13, 44	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  ↑cexp 13782  ψcchp 26242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  pntlemc  26743  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  pntlemo  26755  pntleml  26759