Theorem pntlemd 27624

Description: Lemma for pnt 27644. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c₁, 𝐿 is λ, 𝐷 is c₂, and 𝐹 is c₃. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))

Assertion

Ref	Expression
pntlemd	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13397	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
2		pntlem1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
3	1, 2	sselid 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		eliooord 13395	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
6	5	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
7	3, 6	elrpd 13020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
9		pntlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		1rp 12983	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11		rpaddcl 13003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	sylancl 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	eqeltrid 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
14		pntlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15		1re 11167	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltaddrp 13018	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
17	15, 9, 16	sylancr 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
18	9	rpcnd 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		addcom 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
21	18, 19, 20	sylancl 594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
22	8, 21	eqtrid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (1 + 𝐴))
23	17, 22	breqtrrd 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐷)
24	13	recgt1d 13037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
25	23, 24	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
26	13	rprecred 13034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		difrp 13019	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
28	26, 15, 27	sylancl 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
29	25, 28	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30		3nn0 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		2nn 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12698	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 ∈ ℕ
33		nnrp 12991	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
35		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
36		rpmulcl 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	sylancr 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
38	7, 37	rpdivcld 13040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39		2z 12589	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		rpexpcl 14079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
41	13, 39, 40	sylancl 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
42	38, 41	rpdivcld 13040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
43	29, 42	rpmulcld 13039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
44	14, 43	eqeltrid 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
45	7, 13, 44	3jca 1137	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   < clt 11202   − cmin 11400   / cdiv 11830  ℕcn 12196  2c2 12258  3c3 12259  ℤcz 12554  ;cdc 12674  ℝ⁺crp 12979  (,)cioo 13335  ↑cexp 14060  ψcchp 27123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-ioo 13339  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  pntlemc  27625  pntlema  27626  pntlemb  27627  pntlemq  27631  pntlemr  27632  pntlemj  27633  pntlemf  27635  pntlemo  27637  pntleml  27641