MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 27545
Description: Lemma for pnt 27565. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐ด is C^*, ๐ต is c1, ๐ฟ is ฮป, ๐ท is c2, and ๐น is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 13423 . . . 4 (0(,)1) โІ โ„
2 pntlem1.l . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
31, 2sselid 3978 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
4 eliooord 13421 . . . . 5 (๐ฟ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ฟ โˆง ๐ฟ < 1))
65simpld 493 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ฟ)
73, 6elrpd 13051 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
8 pntlem1.d . . 3 ๐ท = (๐ด + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
10 1rp 13016 . . . 4 1 โˆˆ โ„+
11 rpaddcl 13034 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
129, 10, 11sylancl 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
138, 12eqeltrid 2832 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.f . . 3 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
15 1re 11250 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
16 ltaddrp 13049 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
1715, 9, 16sylancr 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
189rpcnd 13056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 ax-1cn 11202 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
20 addcom 11436 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
228, 21eqtrid 2779 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (1 + ๐ด))
2317, 22breqtrrd 5178 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ท)
2413recgt1d 13068 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ท โ†” (1 / ๐ท) < 1))
2523, 24mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) < 1)
2613rprecred 13065 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ท) โˆˆ โ„)
27 difrp 13050 . . . . . 6 (((1 / ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2826, 15, 27sylancl 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ท) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ท)) โˆˆ โ„+)
30 3nn0 12526 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•0
31 2nn 12321 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
3230, 31decnncl 12733 . . . . . . . 8 32 โˆˆ โ„•
33 nnrp 13023 . . . . . . . 8 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 โˆˆ โ„+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
36 rpmulcl 13035 . . . . . . 7 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
3734, 35, 36sylancr 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
387, 37rpdivcld 13071 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
39 2z 12630 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
40 rpexpcl 14083 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4113, 39, 40sylancl 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4238, 41rpdivcld 13071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
4329, 42rpmulcld 13070 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
4414, 43eqeltrid 2832 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„+)
457, 13, 443jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150   โ†ฆ cmpt 5233  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   < clt 11284   โˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  โ„คcz 12594  cdc 12713  โ„+crp 13012  (,)cioo 13362  โ†‘cexp 14064  ฯˆcchp 27043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ioo 13366  df-seq 14005  df-exp 14065
This theorem is referenced by:  pntlemc  27546  pntlema  27547  pntlemb  27548  pntlemq  27552  pntlemr  27553  pntlemj  27554  pntlemf  27556  pntlemo  27558  pntleml  27562
  Copyright terms: Public domain W3C validator