Theorem pntlemd 27626

Description: Lemma for pnt 27646. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c₁, 𝐿 is λ, 𝐷 is c₂, and 𝐹 is c₃. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))

Assertion

Ref	Expression
pntlemd	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13441	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
2		pntlem1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
3	1, 2	sselid 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		eliooord 13439	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
6	5	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
7	3, 6	elrpd 13069	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
9		pntlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		1rp 13034	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11		rpaddcl 13052	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	eqeltrid 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
14		pntlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15		1re 11266	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltaddrp 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
17	15, 9, 16	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
18	9	rpcnd 13074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		addcom 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
21	18, 19, 20	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
22	8, 21	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (1 + 𝐴))
23	17, 22	breqtrrd 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐷)
24	13	recgt1d 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
25	23, 24	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
26	13	rprecred 13083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		difrp 13068	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
28	26, 15, 27	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
29	25, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30		3nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		2nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 ∈ ℕ
33		nnrp 13041	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
35		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
36		rpmulcl 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
38	7, 37	rpdivcld 13089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39		2z 12648	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		rpexpcl 14102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
41	13, 39, 40	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
42	38, 41	rpdivcld 13089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
43	29, 42	rpmulcld 13088	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
44	14, 43	eqeltrid 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
45	7, 13, 44	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5155   ↦ cmpt 5238  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℂcc 11158  ℝcr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165   < clt 11300   − cmin 11496   / cdiv 11923  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  ℤcz 12612  ;cdc 12731  ℝ⁺crp 13030  (,)cioo 13380  ↑cexp 14083  ψcchp 27124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13031  df-ioo 13384  df-seq 14024  df-exp 14084

This theorem is referenced by:  pntlemc  27627  pntlema  27628  pntlemb  27629  pntlemq  27633  pntlemr  27634  pntlemj  27635  pntlemf  27637  pntlemo  27639  pntleml  27643