MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 26475
Description: Lemma for pnt 26495. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c1, 𝐿 is λ, 𝐷 is c2, and 𝐹 is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 12996 . . . 4 (0(,)1) ⊆ ℝ
2 pntlem1.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
31, 2sseldi 3899 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 eliooord 12994 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
65simpld 498 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐿)
73, 6elrpd 12625 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 1rp 12590 . . . 4 1 ∈ ℝ+
11 rpaddcl 12608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
129, 10, 11sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
138, 12eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15 1re 10833 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 ltaddrp 12623 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
1715, 9, 16sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
189rpcnd 12630 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 10787 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
20 addcom 11018 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2118, 19, 20sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
228, 21syl5eq 2790 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
2317, 22breqtrrd 5081 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝐷)
2413recgt1d 12642 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
2523, 24mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
2613rprecred 12639 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27 difrp 12624 . . . . . 6 (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2826, 15, 27sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2925, 28mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30 3nn0 12108 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
31 2nn 11903 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 12313 . . . . . . . 8 32 ∈ ℕ
33 nnrp 12597 . . . . . . . 8 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 ∈ ℝ+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
36 rpmulcl 12609 . . . . . . 7 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
387, 37rpdivcld 12645 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39 2z 12209 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
40 rpexpcl 13654 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4113, 39, 40sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4238, 41rpdivcld 12645 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
4329, 42rpmulcld 12644 . . 3 (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
4414, 43eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
457, 13, 443jca 1130 1 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  3c3 11886  cz 12176  cdc 12293  +crp 12586  (,)cioo 12935  cexp 13635  ψcchp 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ioo 12939  df-seq 13575  df-exp 13636
This theorem is referenced by:  pntlemc  26476  pntlema  26477  pntlemb  26478  pntlemq  26482  pntlemr  26483  pntlemj  26484  pntlemf  26486  pntlemo  26488  pntleml  26492
  Copyright terms: Public domain W3C validator