Theorem emcllem4 27163

Description: Lemma for emcl 27167. The difference between series 𝐹 and 𝐺 tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	⊢ 𝐻 ⇝ 0

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12896	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12620	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11153	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15903	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		emcl.3	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
7		nnex 12234	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2859	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐻 ∈ V)
11		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑚) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
16		nnrecre 12273	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
17	16	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
19	11	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
20	19	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
21		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
23	22	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
24		1rp 13015	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
25		nnrp 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
26	25	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
27	26	rpreccld 13065	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
28		rpaddcl 13035	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
29	24, 27, 28	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13055	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ)
31		1re 11203	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		ltaddrp 13050	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
33	31, 27, 32	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
34	30, 33	rplogcld 26794	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ+)
35	23, 34	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13055	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
37	29	relogcld 26788	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
38		efgt1p 16166	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
39	27, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
40	17	rpefcld 16156	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
41		logltb 26765	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+ ∧ (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
42	29, 40, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
43	39, 42	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚))))
44	17	relogefd 26793	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(exp‘(1 / 𝑚))) = (1 / 𝑚))
45	43, 44	breqtrd 5137	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (1 / 𝑚))
46	37, 17, 45	ltled 11353	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ≤ (1 / 𝑚))
47	46, 23, 15	3brtr4d 5143	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚))
48	35	rpge0d 13059	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐻‘𝑚))
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 15689	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
50	49	mptru 1577	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℝ⁺crp 13011  ...cfz 13530   ⇝ cli 15531  Σcsu 15733  expce 16110  logclog 26719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721

This theorem is referenced by:  emcllem6  27165