MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem4 25504
Description: Lemma for emcl 25508. The difference between series 𝐹 and 𝐺 tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
emcllem4 𝐻 ⇝ 0
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 12270 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12002 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 10584 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 15198 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 emcl.3 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
7 nnex 11633 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 6978 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) ∈ V
96, 8eqeltri 2909 . . . 4 𝐻 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐻 ∈ V)
11 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
12 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 7178 . . . . . 6 (1 / 𝑚) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6762 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
1514adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
16 nnrecre 11668 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2913 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
1911oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
2019fveq2d 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
21 fvex 6677 . . . . . . 7 (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ V
2220, 6, 21fvmpt 6762 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐻𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
2322adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
24 1rp 12383 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
25 nnrp 12390 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
2625adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2726rpreccld 12431 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
28 rpaddcl 12401 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
2924, 27, 28sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
3029rpred 12421 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ)
31 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
32 ltaddrp 12416 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
3331, 27, 32sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
3430, 33rplogcld 25139 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ+)
3523, 34eqeltrd 2913 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ+)
3635rpred 12421 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
3729relogcld 25133 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
38 efgt1p 15458 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
3927, 38syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
4017rpefcld 15448 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
41 logltb 25110 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+ ∧ (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
4229, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
4339, 42mpbid 233 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚))))
4417relogefd 25138 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(exp‘(1 / 𝑚))) = (1 / 𝑚))
4543, 44breqtrd 5084 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (1 / 𝑚))
4637, 17, 45ltled 10777 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ≤ (1 / 𝑚))
4746, 23, 153brtr4d 5090 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚))
4835rpge0d 12425 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐻𝑚))
491, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48climsqz2 14988 . 2 (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
5049mptru 1535 1 𝐻 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  Vcvv 3495   class class class wbr 5058  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  +crp 12379  ...cfz 12882  cli 14831  Σcsu 15032  expce 15405  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394  df-log 25067
This theorem is referenced by:  emcllem6  25506
  Copyright terms: Public domain W3C validator