Theorem emcllem4 26053

Description: Lemma for emcl 26057. The difference between series 𝐹 and 𝐺 tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	⊢ 𝐻 ⇝ 0

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12550	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12281	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 10860	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15493	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		emcl.3	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
7		nnex 11909	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7081	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐻 ∈ V)
11		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑚) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
16		nnrecre 11945	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
19	11	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
20	19	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
21		fvex 6769	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
23	22	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
24		1rp 12663	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
25		nnrp 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
27	26	rpreccld 12711	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
28		rpaddcl 12681	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
29	24, 27, 28	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12701	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ)
31		1re 10906	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		ltaddrp 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
33	31, 27, 32	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
34	30, 33	rplogcld 25689	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ+)
35	23, 34	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 12701	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
37	29	relogcld 25683	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
38		efgt1p 15752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
39	27, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
40	17	rpefcld 15742	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
41		logltb 25660	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+ ∧ (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
42	29, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
43	39, 42	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚))))
44	17	relogefd 25688	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(exp‘(1 / 𝑚))) = (1 / 𝑚))
45	43, 44	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (1 / 𝑚))
46	37, 17, 45	ltled 11053	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ≤ (1 / 𝑚))
47	46, 23, 15	3brtr4d 5102	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚))
48	35	rpge0d 12705	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐻‘𝑚))
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 15279	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
50	49	mptru 1546	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325  expce 15699  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617

This theorem is referenced by:  emcllem6  26055