Theorem emcllem4 27214

Description: Lemma for emcl 27218. The difference between series 𝐹 and 𝐺 tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	⊢ 𝐻 ⇝ 0

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚, 𝑛)   𝐺(𝑚, 𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12917	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12640	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15930	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		emcl.3	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
7		nnex 12254	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐻 ∈ V)
11		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑚) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) = (1 / 𝑚))
16		nnrecre 12293	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
19	11	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
21		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
23	22	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
24		1rp 13036	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
25		nnrp 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
26	25	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
27	26	rpreccld 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
28		rpaddcl 13056	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
29	24, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13076	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ)
31		1re 11223	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		ltaddrp 13071	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
33	31, 27, 32	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑚)))
34	30, 33	rplogcld 26845	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ+)
35	23, 34	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13076	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ∈ ℝ)
37	29	relogcld 26839	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
38		efgt1p 16193	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
39	27, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)))
40	17	rpefcld 16183	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
41		logltb 26816	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+ ∧ (exp‘(1 / 𝑚)) ∈ ℝ+) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
42	29, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑚)) < (exp‘(1 / 𝑚)) ↔ (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚)))))
43	39, 42	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (log‘(exp‘(1 / 𝑚))))
44	17	relogefd 26844	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(exp‘(1 / 𝑚))) = (1 / 𝑚))
45	43, 44	breqtrd 5139	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) < (1 / 𝑚))
46	37, 17, 45	ltled 11373	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ≤ (1 / 𝑚))
47	46, 23, 15	3brtr4d 5145	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑚))
48	35	rpge0d 13080	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐻‘𝑚))
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 15717	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
50	49	mptru 1577	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456   / cdiv 11886  ℕcn 12248  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13551   ⇝ cli 15559  Σcsu 15761  expce 16137  logclog 26770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-log 26772

This theorem is used by:  emcllem6  27216