Theorem efgredlemd 19614

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19601 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
efgredlemb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
efgredlemb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
efgredlemb.7	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
efgredlemb.8	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
efgredlemd.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efgredlemd	⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlemd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom 𝑆)
2		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
5		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
6		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
7		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐶‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐶))(𝐶‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐶‘(𝑖 − 1)))))
9	8	simp1bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝑆 → 𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11	10	eldifad 3960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑊)
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
13	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
14	13	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
17		wrdf 14471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
19		fzossfz 13653	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
20		lencl 14485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fzoval 13635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
25	19, 24	sseqtrrid 4035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
26		efgredlemb.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27		efgredlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
28		efgredlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
29		efgredlem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
30		efgredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
31	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30	efgredlema 19610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
32	31	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
35	26, 34	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
36	25, 35	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18, 36	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
38	37	s1cld 14555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊)
39		eldifsn 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐶 ≠ ∅))
40		lennncl 14486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
43		lbfzo0 13674	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) ↔ (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
44	42, 43	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
45		ccatval1 14529	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
46	11, 38, 44, 45	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
47	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
48	47	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
49	28, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50	49	eldifad 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
51		wrdf 14471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
53		fzossfz 13653	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
54		lencl 14485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	50, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzoval 13635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
59	53, 58	sseqtrrid 4035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
60		efgredlemb.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
61	31	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62		fzo0end 13726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
64	60, 63	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
65	59, 64	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
66	52, 65	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
67	66	s1cld 14555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊)
68		ccatval1 14529	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
69	11, 67, 44, 68	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
70	46, 69	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
71		fviss 6968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
72	2, 71	eqsstri 4016	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
73	72, 37	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
74		lencl 14485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
76	75	nn0red 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℝ)
77		2rp 12981	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78		ltaddrp 13013	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) < ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
79	76, 77, 78	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) < ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
80	21	nn0red 12535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
81	80	lem1d 12149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
82		fznn 13571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
83	22, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
84	32, 81, 83	mpbir2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
85	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 19608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
86	12, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
87	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 19601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
89		fz1ssfz0 13599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
90	89, 84	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91		pfxres 14631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
92	16, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
93	92	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
94		pfxlen 14635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
95	16, 90, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
96	93, 95	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
97	96	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
98	97, 26	eqtr4di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = 𝐾)
99	98	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾))
100	35	fvresd 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴‘𝐾))
101	88, 99, 100	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘𝐾))
102	101	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴‘𝐾)))
103	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 19602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
104	12, 32, 103	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
105	26	fveq2i 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴‘𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
106	105	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘(𝐴‘𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
107	106	rneqi 5936	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
108	104, 107	eleqtrrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾)))
109	2, 3, 4, 5	efgtlen 19596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾))) → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
110	37, 108, 109	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
111	79, 102, 110	3brtr4d 5180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)))
112		efgredlemb.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
113		efgredlemb.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
114		efgredlemb.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
115		efgredlemb.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
116		efgredlemb.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
117		efgredlemb.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
118		efgredlemb.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
119		efgredlemd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
120		efgredlemd.sc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
121	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 1, 120	efgredleme 19613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)) ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))))
122	121	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)))
123	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 19607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
124	1, 122, 123	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
125	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 19603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) = (𝐴‘𝐾))
126	11, 37, 124, 125	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) = (𝐴‘𝐾))
127	101, 126	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)))
128		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆‘𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
129	128	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴))))
130		fveqeq2 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏)))
131		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
132	131	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
133	130, 132	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
134	129, 133	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
135		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)))
136	135	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩))))
137		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))
138	137	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0)))
139	136, 138	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
140	139	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0)))))
141	134, 140	rspc2va 3623	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
142	86, 124, 27, 141	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
143	111, 127, 142	mp2d 49	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))
144	72, 66	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
145		lencl 14485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
146	144, 145	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
147	146	nn0red 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℝ)
148		ltaddrp 13013	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) < ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
149	147, 77, 148	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) < ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
150	55	nn0red 12535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
151	150	lem1d 12149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
152		fznn 13571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
153	56, 152	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
154	61, 151, 153	mpbir2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
155	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 19608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
156	28, 154, 155	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
157	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 19601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
158	156, 157	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
159		fz1ssfz0 13599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
160	159, 154	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
161		pfxres 14631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
162	50, 160, 161	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
163	162	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
164		pfxlen 14635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
165	50, 160, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
166	163, 165	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
167	166	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1))
168	167, 60	eqtr4di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = 𝐿)
169	168	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿))
170	64	fvresd 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵‘𝐿))
171	158, 169, 170	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝐵‘𝐿))
172	171	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) = (♯‘(𝐵‘𝐿)))
173	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 19602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
174	28, 61, 173	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
175	29, 174	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
176	60	fveq2i 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
177	176	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘(𝐵‘𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
178	177	rneqi 5936	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
179	175, 178	eleqtrrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿)))
180	2, 3, 4, 5	efgtlen 19596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿))) → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
181	66, 179, 180	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
182	149, 172, 181	3brtr4d 5180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)))
183	121	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)))
184	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 19607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
185	1, 183, 184	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
186	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 19603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) = (𝐵‘𝐿))
187	11, 66, 185, 186	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) = (𝐵‘𝐿))
188	171, 187	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)))
189		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘(𝑆‘𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
190	189	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴))))
191		fveqeq2 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏)))
192		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
193	192	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
194	191, 193	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
195	190, 194	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
196		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)))
197	196	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩))))
198		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
199	198	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0)))
200	197, 199	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
201	200	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0)))))
202	195, 201	rspc2va 3623	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
203	156, 185, 27, 202	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
204	182, 188, 203	mp2d 49	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
205	70, 143, 204	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
206		lbfzo0 13674	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
207	32, 206	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
208	207	fvresd 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
209		lbfzo0 13674	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
210	61, 209	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
211	210	fvresd 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
212	205, 208, 211	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634  ⟨cotp 4636  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8461  2_oc2o 8462  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446  ℕcn 12214  2c2 12269  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  ℝ⁺crp 12976  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  ♯chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  ⟨“cs1 14547   substr csubstr 14592   prefix cpfx 14622   splice csplice 14701  ⟨“cs2 14794   ~_FG cefg 19576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-s2 14801

This theorem is referenced by:  efgredlemc  19615