Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemd 18866
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18853 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredlemd (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18852 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐶‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐶))(𝐶𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐶‘(𝑖 − 1)))))
98simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ dom 𝑆𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1110eldifad 3893 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑊)
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
132, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18852 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1413simp1bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615eldifad 3893 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
17 wrdf 13865 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
19 fzossfz 13054 . . . . . . . . 9 (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
20 lencl 13879 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fzoval 13037 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
2519, 24sseqtrrid 3968 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
28 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
29 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
30 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
312, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30efgredlema 18862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
3231simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
33 fzo0end 13127 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3526, 34eqeltrid 2894 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3625, 35sseldd 3916 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3718, 36ffvelrnd 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3837s1cld 13951 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊)
39 eldifsn 4680 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅))
40 lennncl 13880 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4139, 40sylbi 220 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
43 lbfzo0 13075 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) ↔ (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4442, 43sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
45 ccatval1 13924 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
4611, 38, 44, 45syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
472, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18852 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
4847simp1bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
4928, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
5049eldifad 3893 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
51 wrdf 13865 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
53 fzossfz 13054 . . . . . . . . 9 (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
54 lencl 13879 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5550, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzoval 13037 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
5953, 58sseqtrrid 3968 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
60 efgredlemb.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
6131simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62 fzo0end 13127 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6460, 63eqeltrid 2894 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6559, 64sseldd 3916 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6652, 65ffvelrnd 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
6766s1cld 13951 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊)
68 ccatval1 13924 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
6911, 67, 44, 68syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
7046, 69eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
71 fviss 6717 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
722, 71eqsstri 3949 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
7372, 37sseldi 3913 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
74 lencl 13879 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7675nn0red 11947 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ)
77 2rp 12385 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
78 ltaddrp 12417 . . . . . 6 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴𝐾)) < ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
7976, 77, 78sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) < ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
8021nn0red 11947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
8180lem1d 11565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
82 fznn 12973 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
8322, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
8432, 81, 83mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
852, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 18860 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
8612, 84, 85syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
872, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 18853 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
89 fz1ssfz0 13001 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
9089, 84sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91 pfxres 14035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
9216, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
9392fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
94 pfxlen 14039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
9516, 90, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
9693, 95eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
9796oveq1d 7151 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
9897, 26eqtr4di 2851 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = 𝐾)
9998fveq2d 6650 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾))
10035fvresd 6666 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴𝐾))
10188, 99, 1003eqtrd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴𝐾))
102101fveq2d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴𝐾)))
1032, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 18854 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
10412, 32, 103syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
10526fveq2i 6649 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
106105fveq2i 6649 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
107106rneqi 5772 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
108104, 107eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
1092, 3, 4, 5efgtlen 18848 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
11037, 108, 109syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
11179, 102, 1103brtr4d 5063 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
112 efgredlemb.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
113 efgredlemb.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
114 efgredlemb.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
115 efgredlemb.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
116 efgredlemb.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
117 efgredlemb.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
118 efgredlemb.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
119 efgredlemd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
120 efgredlemd.sc . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
1212, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 1, 120efgredleme 18865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
122121simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1232, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 18859 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1241, 122, 123syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1252, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 18855 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
12611, 37, 124, 125syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
127101, 126eqtr4d 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
128 2fveq3 6651 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
129128breq1d 5041 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
130 fveqeq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
131 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
132131eqeq1d 2800 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
133130, 132imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
134129, 133imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
135 fveq2 6646 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
136135eqeq2d 2809 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩))))
137 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
138137eqeq2d 2809 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))
139136, 138imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
140139imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))))
141134, 140rspc2va 3582 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
14286, 124, 27, 141syl21anc 836 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
143111, 127, 142mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
14472, 66sseldi 3913 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
145 lencl 13879 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
146144, 145syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
147146nn0red 11947 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ)
148 ltaddrp 12417 . . . . . 6 (((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐵𝐿)) < ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
149147, 77, 148sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) < ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
15055nn0red 11947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
151150lem1d 11565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
152 fznn 12973 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
15356, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
15461, 151, 153mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
1552, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 18860 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
15628, 154, 155syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1572, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 18853 . . . . . . . 8 ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
158156, 157syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
159 fz1ssfz0 13001 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
160159, 154sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
161 pfxres 14035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
16250, 160, 161syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
163162fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
164 pfxlen 14039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
16550, 160, 164syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
166163, 165eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
167166oveq1d 7151 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1))
168167, 60eqtr4di 2851 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = 𝐿)
169168fveq2d 6650 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿))
17064fvresd 6666 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵𝐿))
171158, 169, 1703eqtrd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝐵𝐿))
172171fveq2d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) = (♯‘(𝐵𝐿)))
1732, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 18854 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17428, 61, 173syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17529, 174eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17660fveq2i 6649 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
177176fveq2i 6649 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
178177rneqi 5772 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
179175, 178eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
1802, 3, 4, 5efgtlen 18848 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
18166, 179, 180syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
182149, 172, 1813brtr4d 5063 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
183121simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1842, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 18859 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1851, 183, 184syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1862, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 18855 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
18711, 66, 185, 186syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
188171, 187eqtr4d 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
189 2fveq3 6651 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
190189breq1d 5041 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
191 fveqeq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
192 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
193192eqeq1d 2800 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
194191, 193imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
195190, 194imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
196 fveq2 6646 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
197196eqeq2d 2809 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩))))
198 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
199198eqeq2d 2809 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))
200197, 199imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
201200imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))))
202195, 201rspc2va 3582 . . . . 5 ((((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
203156, 185, 27, 202syl21anc 836 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
204182, 188, 203mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
20570, 143, 2043eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
206 lbfzo0 13075 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
20732, 206sylibr 237 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
208207fvresd 6666 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
209 lbfzo0 13075 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
21061, 209sylibr 237 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
211210fvresd 6666 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
212205, 208, 2113eqtr3d 2841 1 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110   ∖ cdif 3878  ∅c0 4243  {csn 4525  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533  ∪ ciun 4882   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   I cid 5425   × cxp 5518  dom cdm 5520  ran crn 5521   ↾ cres 5522  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  1oc1o 8081  2oc2o 8082  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11628  2c2 11683  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  ...cfz 12888  ..^cfzo 13031  ♯chash 13689  Word cword 13860   ++ cconcat 13916  ⟨“cs1 13943   substr csubstr 13996   prefix cpfx 14026   splice csplice 14105  ⟨“cs2 14197   ~FG cefg 18828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-s2 14204 This theorem is referenced by:  efgredlemc  18867
 Copyright terms: Public domain W3C validator