Theorem efgredlemd 19845

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19832 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
efgredlemb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
efgredlemb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
efgredlemb.7	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
efgredlemb.8	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
efgredlemd.9	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efgredlemd	⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑃(𝑥, 𝑘, 𝑚, 𝑎, 𝑏)   𝑄(𝑥, 𝑘, 𝑚, 𝑎, 𝑏)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑈(𝑥, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑎, 𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem efgredlemd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlemd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom 𝑆)
2		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
5		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
6		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
7		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐶‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐶))(𝐶‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐶‘(𝑖 − 1)))))
9	8	simp1bi 1163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝑆 → 𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11	10	eldifad 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑊)
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
13	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
14	13	simp1bi 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
17		wrdf 14575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
19		fzossfz 13726	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
20		lencl 14590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
23		fzoval 13707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
25	19, 24	sseqtrrid 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
26		efgredlemb.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27		efgredlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
28		efgredlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
29		efgredlem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
30		efgredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
31	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30	efgredlema 19841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
32	31	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
35	26, 34	eqeltrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
36	25, 35	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18, 36	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
38	37	s1cld 14662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊)
39		eldifsn 4758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐶 ≠ ∅))
40		lennncl 14591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
42	10, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
43		lbfzo0 13747	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) ↔ (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
44	42, 43	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
45		ccatval1 14634	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
46	11, 38, 44, 45	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
47	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 19831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
48	47	simp1bi 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
49	28, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50	49	eldifad 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
51		wrdf 14575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
53		fzossfz 13726	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
54		lencl 14590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	50, 54	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzoval 13707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
59	53, 58	sseqtrrid 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
60		efgredlemb.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
61	31	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62		fzo0end 13806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
64	60, 63	eqeltrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
65	59, 64	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
66	52, 65	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
67	66	s1cld 14662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊)
68		ccatval1 14634	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
69	11, 67, 44, 68	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
70	46, 69	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
71		fviss 6965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
72	2, 71	eqsstri 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
73	72, 37	sselid 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
74		lencl 14590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
76	75	nn0red 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℝ)
77		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78		ltaddrp 13073	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) < ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
79	76, 77, 78	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) < ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
80	21	nn0red 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
81	80	lem1d 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
82		fznn 13639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
83	22, 82	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
84	32, 81, 83	mpbir2and 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
85	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 19839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
86	12, 84, 85	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
87	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 19832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
88	86, 87	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
89		fz1ssfz0 13670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
90	89, 84	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91		pfxres 14741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
92	16, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
93	92	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
94		pfxlen 14745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
95	16, 90, 94	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
96	93, 95	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
97	96	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
98	97, 26	eqtr4di 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = 𝐾)
99	98	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾))
100	35	fvresd 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴‘𝐾))
101	88, 99, 100	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘𝐾))
102	101	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴‘𝐾)))
103	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 19833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
104	12, 32, 103	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
105	26	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴‘𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
106	105	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘(𝐴‘𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
107	106	rneqi 5932	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
108	104, 107	eleqtrrdi 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾)))
109	2, 3, 4, 5	efgtlen 19827	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘𝐾))) → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
110	37, 108, 109	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘𝐾)) + 2))
111	79, 102, 110	3brtr4d 5148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)))
112		efgredlemb.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
113		efgredlemb.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
114		efgredlemb.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
115		efgredlemb.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
116		efgredlemb.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
117		efgredlemb.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
118		efgredlemb.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
119		efgredlemd.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
120		efgredlemd.sc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
121	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 1, 120	efgredleme 19844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)) ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))))
122	121	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)))
123	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 19838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐴‘𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
124	1, 122, 123	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
125	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 19834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) = (𝐴‘𝐾))
126	11, 37, 124, 125	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) = (𝐴‘𝐾))
127	101, 126	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)))
128		2fveq3 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆‘𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
129	128	breq1d 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴))))
130		fveqeq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏)))
131		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
132	131	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
133	130, 132	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
134	129, 133	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
135		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)))
136	135	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩))))
137		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))
138	137	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0)))
139	136, 138	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
140	139	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0)))))
141	134, 140	rspc2va 3596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
142	86, 124, 27, 141	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))))
143	111, 127, 142	mp2d 50	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴‘𝐾)”⟩)‘0))
144	72, 66	sselid 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
145		lencl 14590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
146	144, 145	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
147	146	nn0red 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℝ)
148		ltaddrp 13073	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) < ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
149	147, 77, 148	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) < ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
150	55	nn0red 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
151	150	lem1d 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
152		fznn 13639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
153	56, 152	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
154	61, 151, 153	mpbir2and 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
155	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 19839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
156	28, 154, 155	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
157	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 19832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
158	156, 157	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
159		fz1ssfz0 13670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
160	159, 154	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
161		pfxres 14741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
162	50, 160, 161	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
163	162	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
164		pfxlen 14745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
165	50, 160, 164	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
166	163, 165	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
167	166	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1))
168	167, 60	eqtr4di 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = 𝐿)
169	168	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿))
170	64	fvresd 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵‘𝐿))
171	158, 169, 170	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝐵‘𝐿))
172	171	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) = (♯‘(𝐵‘𝐿)))
173	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 19833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
174	28, 61, 173	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
175	29, 174	eqeltrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
176	60	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
177	176	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘(𝐵‘𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
178	177	rneqi 5932	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
179	175, 178	eleqtrrdi 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿)))
180	2, 3, 4, 5	efgtlen 19827	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘𝐿))) → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
181	66, 179, 180	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘𝐴)) = ((♯‘(𝐵‘𝐿)) + 2))
182	149, 172, 181	3brtr4d 5148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)))
183	121	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶)))
184	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 19838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
185	1, 183, 184	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
186	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 19834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) = (𝐵‘𝐿))
187	11, 66, 185, 186	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) = (𝐵‘𝐿))
188	171, 187	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)))
189		2fveq3 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘(𝑆‘𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
190	189	breq1d 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴))))
191		fveqeq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏)))
192		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
193	192	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
194	191, 193	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
195	190, 194	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
196		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)))
197	196	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩))))
198		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
199	198	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0)))
200	197, 199	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
201	200	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0)))))
202	195, 201	rspc2va 3596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
203	156, 185, 27, 202	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))))
204	182, 188, 203	mp2d 50	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵‘𝐿)”⟩)‘0))
205	70, 143, 204	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
206		lbfzo0 13747	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
207	32, 206	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
208	207	fvresd 6908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
209		lbfzo0 13747	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
210	61, 209	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
211	210	fvresd 6908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
212	205, 208, 211	3eqtr3d 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419   ∖ cdif 3905  ∅c0 4289  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602  ∪ ciun 4961   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   I cid 5560   × cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654   substr csubstr 14700   prefix cpfx 14732   splice csplice 14810  ⟨“cs2 14904   ~_FG cefg 19807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-s2 14911

This theorem is used by:  efgredlemc  19846