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Theorem efgredlem 19780
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19764 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6986 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 19763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1110simp1bi 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
124, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1312eldifad 3975 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
14 wrdf 14554 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 19773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2120simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2421nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
2524lem1d 12199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))
26 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅)
274, 11, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
28 wrdfin 14567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ∈ Fin)
29 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3013, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3127, 30mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
32 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
33 fznn0 13656 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3523, 25, 34mpbir2and 713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 lencl 14568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzoval 13697 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4135, 40eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4215, 41ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
433, 42sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
44 lencl 14568 . . . . . . . 8 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12586 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ)
47 2rp 13037 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
48 ltaddrp 13070 . . . . . 6 (((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
5037nn0red 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5150lem1d 12199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
52 fznn 13629 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5421, 51, 53mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 19771 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
564, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 19764 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
59 fz1ssfz0 13660 . . . . . . . . . . . 12 (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
6059, 54sselid 3993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
61 pfxres 14714 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6213, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6362fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
64 pfxlen 14718 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6513, 60, 64syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6663, 65eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6766fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
68 fzo0end 13794 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
69 fvres 6926 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7021, 68, 693syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7158, 67, 703eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7271fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
731, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 19765 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
744, 21, 73syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
751, 5, 6, 7efgtlen 19759 . . . . . 6 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7642, 74, 75syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7749, 72, 763brtr4d 5180 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
781, 5, 6, 7efgtf 19755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
7942, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
8079simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
81 ffn 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)))
82 ovelrn 7609 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)) → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8474, 83mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
8520simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
861, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 19765 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
8717, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
881, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 19763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
8988simp1bi 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9017, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9190eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
92 wrdf 14554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
94 fzo0end 13794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
95 elfzofz 13712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
9685, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
97 lencl 14568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9891, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
100 fzoval 13697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
10296, 101eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10393, 102ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
1041, 5, 6, 7efgtf 19755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
106105simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
107 ffn 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)))
108 ovelrn 7609 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)) → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11087, 109mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
111 reeanv 3227 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
112 reeanv 3227 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11316ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
1144ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
11517ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
11618ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
11719ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
118 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
119 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
120 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))))
121120simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))))
122120simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))
123 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)))
124123simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑟 ∈ (𝐼 × 2o))
125123simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o))
126 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
127126simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
128126simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
1301, 5, 6, 7, 8, 9, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 129efgredlemb 19779 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
131 iman 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
132130, 131mpbir 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
133132expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o))) → (((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
134133rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
135112, 134biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → ((∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
136135rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
137111, 136biimtrrid 243 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
13884, 110, 137mp2and 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
139 fvres 6926 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
14085, 94, 1393syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
141138, 70, 1403eqtr4d 2785 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
142 fz1ssfz0 13660 . . . . . . . . . . 11 (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
14398nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
144143lem1d 12199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
145 fznn 13629 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
14699, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
14785, 144, 146mpbir2and 713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
148142, 147sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
149 pfxres 14714 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
15091, 148, 149syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
151150fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
152 pfxlen 14718 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
15391, 148, 152syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
154151, 153eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
155154fvoveq1d 7453 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
156141, 67, 1553eqtr4d 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
1571, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 19771 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
15817, 147, 157syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1591, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 19764 . . . . . 6 ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
160158, 159syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
161156, 58, 1603eqtr4d 2785 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
162 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
163162fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
164163breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
165162eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
166 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
167166eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
168165, 167imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
169164, 168imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
170 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
171170eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
172 fveq1 6906 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
173172eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))
174171, 173imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
175174imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))))
176169, 175rspc2va 3634 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
17756, 158, 16, 176syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
17877, 161, 177mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
179 lbfzo0 13736 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
18021, 179sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
181180fvresd 6927 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
182 lbfzo0 13736 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
18385, 182sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
184183fvresd 6927 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
185178, 181, 1843eqtr3d 2783 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
186185, 19pm2.65i 194 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~FG cefg 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-s2 14884
This theorem is referenced by:  efgred  19781
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