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Theorem efgredlem 18804
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18788 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6735 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4000 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1110simp1bi 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
124, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1312eldifad 3947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
14 wrdf 13856 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 18797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2120simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2421nnred 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
2524lem1d 11562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))
26 eldifsni 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅)
274, 11, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
28 wrdfin 13872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ∈ Fin)
29 hashnncl 13717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3013, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3127, 30mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
32 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
33 fznn0 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3523, 25, 34mpbir2and 709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 lencl 13873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzoval 13029 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4135, 40eleqtrrd 2916 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4215, 41ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
433, 42sseldi 3964 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
44 lencl 13873 . . . . . . . 8 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ)
47 2rp 12384 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
48 ltaddrp 12416 . . . . . 6 (((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
5037nn0red 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5150lem1d 11562 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
52 fznn 12965 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5421, 51, 53mpbir2and 709 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18795 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
564, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18788 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
59 fz1ssfz0 12993 . . . . . . . . . . . 12 (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
6059, 54sseldi 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
61 pfxres 14031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6213, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6362fveq2d 6668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
64 pfxlen 14035 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6513, 60, 64syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴 prefix ((♯‘𝐴) − 1))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6663, 65eqtr3d 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6766fvoveq1d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
68 fzo0end 13119 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
69 fvres 6683 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7021, 68, 693syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7158, 67, 703eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7271fveq2d 6668 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
731, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
744, 21, 73syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
751, 5, 6, 7efgtlen 18783 . . . . . 6 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7642, 74, 75syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7749, 72, 763brtr4d 5090 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
781, 5, 6, 7efgtf 18779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
7942, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
8079simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
81 ffn 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)))
82 ovelrn 7313 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)) → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8474, 83mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
8520simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
861, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18789 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
8717, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
881, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
8988simp1bi 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9017, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9190eldifad 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
92 wrdf 13856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
94 fzo0end 13119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
95 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
9685, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
97 lencl 13873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9891, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
100 fzoval 13029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
10296, 101eleqtrrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10393, 102ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
1041, 5, 6, 7efgtf 18779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
106105simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
107 ffn 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)))
108 ovelrn 7313 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2o)) → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11087, 109mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
111 reeanv 3368 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
112 reeanv 3368 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11316ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
1144ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
11517ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
11618ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
11719ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
118 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
119 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
120 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))))
121120simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))))
122120simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))
123 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)))
124123simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑟 ∈ (𝐼 × 2o))
125123simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o))
126 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
127126simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
128126simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
129 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
1301, 5, 6, 7, 8, 9, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 129efgredlemb 18803 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
131 iman 402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
132130, 131mpbir 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
133132expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2o))) → (((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
134133rexlimdvva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
135112, 134syl5bir 244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → ((∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
136135rexlimdvva 3294 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
137111, 136syl5bir 244 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2o)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
13884, 110, 137mp2and 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
139 fvres 6683 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
14085, 94, 1393syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
141138, 70, 1403eqtr4d 2866 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
142 fz1ssfz0 12993 . . . . . . . . . . 11 (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
14398nn0red 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
144143lem1d 11562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
145 fznn 12965 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
14699, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
14785, 144, 146mpbir2and 709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
148142, 147sseldi 3964 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
149 pfxres 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
15091, 148, 149syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
151150fveq2d 6668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
152 pfxlen 14035 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
15391, 148, 152syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 prefix ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐵) − 1))
154151, 153eqtr3d 2858 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
155154fvoveq1d 7167 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
156141, 67, 1553eqtr4d 2866 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
1571, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18795 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
15817, 147, 157syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1591, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18788 . . . . . 6 ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
160158, 159syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
161156, 58, 1603eqtr4d 2866 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
162 fveq2 6664 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
163162fveq2d 6668 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
164163breq1d 5068 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
165162eqeq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
166 fveq1 6663 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
167166eqeq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
168165, 167imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
169164, 168imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
170 fveq2 6664 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
171170eqeq2d 2832 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
172 fveq1 6663 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
173172eqeq2d 2832 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))
174171, 173imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
175174imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))))
176169, 175rspc2va 3633 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
17756, 158, 16, 176syl21anc 833 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
17877, 161, 177mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
179 lbfzo0 13067 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
18021, 179sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
181180fvresd 6684 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
182 lbfzo0 13067 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
18385, 182sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
184183fvresd 6684 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
185178, 181, 1843eqtr3d 2864 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
186185, 19pm2.65i 195 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  cdif 3932  c0 4290  {csn 4559  cop 4565  cotp 4567   ciun 4912   class class class wbr 5058  cmpt 5138   I cid 5453   × cxp 5547  dom cdm 5549  ran crn 5550  cres 5551   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cmpo 7147  1oc1o 8086  2oc2o 8087  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  cz 11970  +crp 12379  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851   prefix cpfx 14022   splice csplice 14101  ⟨“cs2 14193   ~FG cefg 18763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023  df-splice 14102  df-s2 14200
This theorem is referenced by:  efgred  18805
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