Theorem efgt1 16176

Description: The exponential of a positive real number is greater than 1. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
2		1re 11212	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 13029	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		readdcl 11187	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	3	reefcld 16146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
7		ltaddrp 13059	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
8	2, 7	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (1 + 𝐴))
9		efgt1p 16175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))
10	1, 5, 6, 8, 9	lttrd 11375	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  1c1 11105   + caddc 11107   < clt 11247  ℝ⁺crp 13020  expce 16119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125

This theorem is used by:  eflt  16177  cxploglim  27151  pntpbnd1  27759  pntpbnd2  27760  pntibndlem2  27764  pntlemc  27768