Theorem metakunt23 40075

Description: B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt23.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt23.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt23.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt23.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt23.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt23.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt23.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt23	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt23.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		metakunt23.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ)
5		metakunt23.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
7		metakunt23.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
8		metakunt23.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
9		metakunt23.6	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
10		metakunt23.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
13	2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12	metakunt20 40072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
14	1	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	3	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
16	5	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
17	10	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
20	14, 15, 16, 7, 8, 9, 17, 18, 19	metakunt21 40073	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
21	1	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
22	3	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	5	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
24	10	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
25		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
27	21, 22, 23, 7, 8, 9, 24, 25, 26	metakunt22 40074	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
28	20, 27	pm2.61dan 809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
29	13, 28	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  ifcif 4456  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  metakunt25  40077