Theorem metakunt23 41007

Description: B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt23.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt23.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt23.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt23.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt23.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt23.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt23.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt23	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt23.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		metakunt23.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ)
5		metakunt23.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
6	5	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
7		metakunt23.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
8		metakunt23.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
9		metakunt23.6	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
10		metakunt23.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
11	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
12		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
13	2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12	metakunt20 41004	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
14	1	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	3	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
16	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
17	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
19		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
20	14, 15, 16, 7, 8, 9, 17, 18, 19	metakunt21 41005	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
21	1	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
22	3	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
24	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
25		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
26		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
27	21, 22, 23, 7, 8, 9, 24, 25, 26	metakunt22 41006	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
28	20, 27	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
29	13, 28	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947  ifcif 4529  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  metakunt25  41009