Theorem metakunt23 42184

Description: B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt23.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt23.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt23.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt23.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt23.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt23.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt23.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt23	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt23.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		metakunt23.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ)
5		metakunt23.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
7		metakunt23.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
8		metakunt23.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
9		metakunt23.6	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
10		metakunt23.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
13	2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12	metakunt20 42181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
14	1	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	3	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
16	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
17	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
20	14, 15, 16, 7, 8, 9, 17, 18, 19	metakunt21 42182	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
21	1	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
22	3	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
24	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
25		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
27	21, 22, 23, 7, 8, 9, 24, 25, 26	metakunt22 42183	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
28	20, 27	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
29	13, 28	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974  ifcif 4548  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  metakunt25  42186