Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt23 40645
Description: B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt23.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt23.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt23.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt23.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt23.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt23.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt23.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt23 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt23
StepHypRef Expression
1 metakunt23.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 metakunt23.2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ)
5 metakunt23.3 . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
65adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → 𝐼𝑀)
7 metakunt23.4 . . 3 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
8 metakunt23.5 . . 3 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
9 metakunt23.6 . . 3 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
10 metakunt23.7 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
1110adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
12 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑀)
132, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12metakunt20 40642 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝑀) → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
141ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
153ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
165ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
1710ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18 simplr 768 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
19 simpr 486 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
2014, 15, 16, 7, 8, 9, 17, 18, 19metakunt21 40643 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
211ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
223ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
235ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
2410ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
25 simplr 768 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
26 simpr 486 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
2721, 22, 23, 7, 8, 9, 24, 25, 26metakunt22 40644 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
2820, 27pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑀) → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
2913, 28pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  ifcif 4487  {csn 4587  cop 4593   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  metakunt25  40647
  Copyright terms: Public domain W3C validator