Theorem metakunt25 40077

Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt25.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt25.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt25.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt25.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt25	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem metakunt25

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt25.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt25.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt25.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
5	1, 2, 3, 4	metakunt15 40067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))):(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7	1, 2, 3, 6	metakunt16 40068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))):(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))
8		f1osng 6740	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
9	1, 1, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
10	1, 2, 3	metakunt18 40070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
12	11	simp1d 1140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
13	11	simp2d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
14	11	simp3d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
15	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
16	15	simp1d 1140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
17	15	simp2d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
18	15	simp3d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
19		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (𝑀 ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
20		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
21	1	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
25		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
26		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	2	nnzd 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
35	30, 34	zsubcld 12360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
36	29, 35	zaddcld 12359	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
37	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
38		1zzd 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
39	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
40	38, 39	zsubcld 12360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
41	37, 40	zaddcld 12359	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
42	24, 25, 36, 41	ifbothda 4494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ)
43	19, 20, 23, 42	ifbothda 4494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ)
44		metakunt25.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
45	43, 44	fmptd 6970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℤ)
46	45	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn (1...𝑀))
47	1, 2, 3, 44, 4, 6	metakunt19 40071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
48	47	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
49	48	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
50	47	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
51	1, 2, 3	metakunt24 40076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀})))
52	51	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
53	49, 50, 52	fnund 6530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}) Fn (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
54	51	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
55	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
56	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
57	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
58		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑦 ∈ (1...𝑀))
59	55, 56, 57, 44, 4, 6, 58	metakunt23 40075	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑦) = ((((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑦))
60	46, 53, 54, 59	eqfnfv2d2 39918	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}))
61	51	simp3d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀}))
62	5, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61	metakunt17 40069	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6413  –1-1-onto→wf1o 6417  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  metakunt33  40085  metakunt34  40086