Theorem metakunt25 39823

Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt25.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt25.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt25.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt25.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt25	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem metakunt25

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt25.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt25.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt25.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
5	1, 2, 3, 4	metakunt15 39813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))):(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7	1, 2, 3, 6	metakunt16 39814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))):(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))
8		f1osng 6690	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
9	1, 1, 8	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
10	1, 2, 3	metakunt18 39816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
11	10	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
12	11	simp1d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
13	11	simp2d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
14	11	simp3d 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
15	10	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
16	15	simp1d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
17	15	simp2d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
18	15	simp3d 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
19		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (𝑀 ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
20		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
21	1	nnzd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
25		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
26		elfzelz 13095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	2	nnzd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
34	33	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
35	30, 34	zsubcld 12270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
36	29, 35	zaddcld 12269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
37	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
38		1zzd 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
39	33	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
40	38, 39	zsubcld 12270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
41	37, 40	zaddcld 12269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
42	24, 25, 36, 41	ifbothda 4467	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ)
43	19, 20, 23, 42	ifbothda 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ)
44		metakunt25.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
45	43, 44	fmptd 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℤ)
46	45	ffnd 6535	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn (1...𝑀))
47	1, 2, 3, 44, 4, 6	metakunt19 39817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
48	47	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
49	48	simp3d 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
50	47	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
51	1, 2, 3	metakunt24 39822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀})))
52	51	simp1d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
53	49, 50, 52	fnund 6480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}) Fn (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
54	51	simp2d 1145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
55	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
56	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
57	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
58		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑦 ∈ (1...𝑀))
59	55, 56, 57, 44, 4, 6, 58	metakunt23 39821	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑦) = ((((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑦))
60	46, 53, 54, 59	eqfnfv2d2 39681	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}))
61	51	simp3d 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀}))
62	5, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61	metakunt17 39815	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3855   ∩ cin 3856  ∅c0 4227  ifcif 4429  {csn 4531  ⟨cop 4537   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124   Fn wfn 6364  –1-1-onto→wf1o 6368  (class class class)co 7202  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045  ℕcn 11813  ℤcz 12159  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-fz 13079  df-fzo 13222

This theorem is referenced by:  metakunt33  39831  metakunt34  39832