Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt25 41095
Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt25.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
metakunt25.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
metakunt25.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
metakunt25.4 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt25 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem metakunt25
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt25.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 metakunt25.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
3 metakunt25.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
4 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
51, 2, 3, 4metakunt15 41085 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))):(1...(𝐼 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)))
6 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
71, 2, 3, 6metakunt16 41086 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))):(𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)))
8 f1osng 6874 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
91, 1, 8syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
101, 2, 3metakunt18 41088 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…) ∧ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)))
1110simpld 495 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1211simp1d 1142 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ…)
1311simp2d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1411simp3d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1510simprd 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1615simp1d 1142 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ…)
1715simp2d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1815simp3d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
19 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑀 = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (𝑀 ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
20 eleq1 2821 . . . . . 6 (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
211nnzd 12587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2322adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
24 eleq1 2821 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
25 eleq1 2821 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
26 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2726adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3022ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
312nnzd 12587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3530, 34zsubcld 12673 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
3629, 35zaddcld 12672 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
3728adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
38 1zzd 12595 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 1 ∈ β„€)
3933adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
4038, 39zsubcld 12673 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (1 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
4137, 40zaddcld 12672 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
4224, 25, 36, 41ifbothda 4566 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€)
4319, 20, 23, 42ifbothda 4566 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€)
44 metakunt25.4 . . . . 5 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
4543, 44fmptd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)βŸΆβ„€)
4645ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn (1...𝑀))
471, 2, 3, 44, 4, 6metakunt19 41089 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
4847simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))))
4948simp3d 1144 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))))
5047simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
511, 2, 3metakunt24 41094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀})))
5251simp1d 1142 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
5349, 50, 52fnund 6664 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}) Fn (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
5451simp2d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
551adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
562adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„•)
573adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
58 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (1...𝑀))
5955, 56, 57, 44, 4, 6, 58metakunt23 41093 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π΅β€˜π‘¦) = ((((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©})β€˜π‘¦))
6046, 53, 54, 59eqfnfv2d2 40933 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}))
6151simp3d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀}))
625, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61metakunt17 41087 1 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  β„€cz 12560  ...cfz 13486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630
This theorem is referenced by:  metakunt33  41103  metakunt34  41104
  Copyright terms: Public domain W3C validator