Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt25 41009
Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt25.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
metakunt25.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
metakunt25.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
metakunt25.4 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt25 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem metakunt25
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt25.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 metakunt25.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
3 metakunt25.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
4 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
51, 2, 3, 4metakunt15 40999 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))):(1...(𝐼 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)))
6 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
71, 2, 3, 6metakunt16 41000 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))):(𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)))
8 f1osng 6875 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
91, 1, 8syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
101, 2, 3metakunt18 41002 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…) ∧ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)))
1110simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1211simp1d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ…)
1311simp2d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1411simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1510simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1615simp1d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ…)
1715simp2d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1815simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
19 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑀 = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (𝑀 ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
20 eleq1 2822 . . . . . 6 (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
211nnzd 12585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2322adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
24 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
25 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
26 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2726adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3022ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
312nnzd 12585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3530, 34zsubcld 12671 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
3629, 35zaddcld 12670 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
3728adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
38 1zzd 12593 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 1 ∈ β„€)
3933adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
4038, 39zsubcld 12671 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (1 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
4137, 40zaddcld 12670 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
4224, 25, 36, 41ifbothda 4567 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€)
4319, 20, 23, 42ifbothda 4567 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€)
44 metakunt25.4 . . . . 5 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
4543, 44fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)βŸΆβ„€)
4645ffnd 6719 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn (1...𝑀))
471, 2, 3, 44, 4, 6metakunt19 41003 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
4847simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))))
4948simp3d 1145 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))))
5047simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
511, 2, 3metakunt24 41008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀})))
5251simp1d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
5349, 50, 52fnund 6665 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}) Fn (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
5451simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
551adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
562adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„•)
573adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
58 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (1...𝑀))
5955, 56, 57, 44, 4, 6, 58metakunt23 41007 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π΅β€˜π‘¦) = ((((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©})β€˜π‘¦))
6046, 53, 54, 59eqfnfv2d2 40847 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}))
6151simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀}))
625, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61metakunt17 41001 1 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„€cz 12558  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628
This theorem is referenced by:  metakunt33  41017  metakunt34  41018
  Copyright terms: Public domain W3C validator