Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt25 42230
Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt25.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt25.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt25.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt25.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt25 (𝜑𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem metakunt25
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt25.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt25.2 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt25.3 . . 3 (𝜑𝐼𝑀)
4 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
51, 2, 3, 4metakunt15 42220 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))):(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
6 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
71, 2, 3, 6metakunt16 42221 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))):(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
8 f1osng 6889 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
91, 1, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
101, 2, 3metakunt18 42223 . . . 4 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
1110simpld 494 . . 3 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
1211simp1d 1143 . 2 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
1311simp2d 1144 . 2 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1411simp3d 1145 . 2 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1510simprd 495 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
1615simp1d 1143 . 2 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅)
1715simp2d 1144 . 2 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1815simp3d 1145 . 2 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
19 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (𝑀 ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
20 eleq1 2829 . . . . . 6 (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
211nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 eleq1 2829 . . . . . . 7 ((𝑥 + (𝑀𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
25 eleq1 2829 . . . . . . 7 ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
26 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
3022ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
312nnzd 12640 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
3433adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
3530, 34zsubcld 12727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
3629, 35zaddcld 12726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
3728adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
38 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
3933adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
4038, 39zsubcld 12727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
4137, 40zaddcld 12726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
4224, 25, 36, 41ifbothda 4564 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ)
4319, 20, 23, 42ifbothda 4564 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ)
44 metakunt25.4 . . . . 5 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
4543, 44fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℤ)
4645ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐵 Fn (1...𝑀))
471, 2, 3, 44, 4, 6metakunt19 42224 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
4847simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
4948simp3d 1145 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5047simprd 495 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
511, 2, 3metakunt24 42229 . . . . 5 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀𝐼))) ∪ {𝑀})))
5251simp1d 1143 . . . 4 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
5349, 50, 52fnund 6683 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}) Fn (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
5451simp2d 1144 . . 3 (𝜑 → (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
551adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
562adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
573adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼𝑀)
58 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑦 ∈ (1...𝑀))
5955, 56, 57, 44, 4, 6, 58metakunt23 42228 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑦) = ((((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑦))
6046, 53, 54, 59eqfnfv2d2 41982 . 2 (𝜑𝐵 = (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}))
6151simp3d 1145 . 2 (𝜑 → (1...𝑀) = (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀𝐼))) ∪ {𝑀}))
625, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61metakunt17 42222 1 (𝜑𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  cin 3950  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Fn wfn 6556  1-1-ontowf1o 6560  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  metakunt33  42238  metakunt34  42239
  Copyright terms: Public domain W3C validator