Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt25 40647
Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt25.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
metakunt25.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
metakunt25.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
metakunt25.4 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt25 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem metakunt25
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt25.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 metakunt25.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
3 metakunt25.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
4 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
51, 2, 3, 4metakunt15 40637 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))):(1...(𝐼 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)))
6 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
71, 2, 3, 6metakunt16 40638 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))):(𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)))
8 f1osng 6826 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
91, 1, 8syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}:{𝑀}–1-1-ontoβ†’{𝑀})
101, 2, 3metakunt18 40640 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…) ∧ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)))
1110simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1211simp1d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ…)
1311simp2d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1411simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1510simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
1615simp1d 1143 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ…)
1715simp2d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
1815simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
19 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑀 = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (𝑀 ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
20 eleq1 2822 . . . . . 6 (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) = if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) β†’ (if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€))
211nnzd 12531 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2322adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
24 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
25 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) = if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) β†’ ((π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€ ↔ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€))
26 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2726adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3022ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
312nnzd 12531 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3530, 34zsubcld 12617 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
3629, 35zaddcld 12616 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
3728adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
38 1zzd 12539 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 1 ∈ β„€)
3933adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
4038, 39zsubcld 12617 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (1 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
4137, 40zaddcld 12616 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) ∧ Β¬ π‘₯ < 𝐼) β†’ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
4224, 25, 36, 41ifbothda 4525 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑀) β†’ if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) ∈ β„€)
4319, 20, 23, 42ifbothda 4525 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑀)) β†’ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) ∈ β„€)
44 metakunt25.4 . . . . 5 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
4543, 44fmptd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)βŸΆβ„€)
4645ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn (1...𝑀))
471, 2, 3, 44, 4, 6metakunt19 40641 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
4847simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))))
4948simp3d 1145 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))))
5047simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
511, 2, 3metakunt24 40646 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀})))
5251simp1d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ {𝑀}) = βˆ…)
5349, 50, 52fnund 6616 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}) Fn (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
5451simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ {𝑀}))
551adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
562adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ∈ β„•)
573adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
58 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (1...𝑀))
5955, 56, 57, 44, 4, 6, 58metakunt23 40645 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π΅β€˜π‘¦) = ((((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©})β€˜π‘¦))
6046, 53, 54, 59eqfnfv2d2 40485 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (((π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))) βˆͺ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©}))
6151simp3d 1145 . 2 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) βˆͺ {𝑀}))
625, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61metakunt17 40639 1 (πœ‘ β†’ 𝐡:(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„€cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  metakunt33  40655  metakunt34  40656
  Copyright terms: Public domain W3C validator