Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt25 39371
 Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt25.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt25.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt25.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt25.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
metakunt25 (𝜑𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem metakunt25
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt25.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt25.2 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt25.3 . . 3 (𝜑𝐼𝑀)
4 eqid 2801 . . 3 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
51, 2, 3, 4metakunt15 39361 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))):(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
6 eqid 2801 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
71, 2, 3, 6metakunt16 39362 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))):(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
8 f1osng 6634 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
91, 1, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
101, 2, 3metakunt18 39364 . . . 4 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
1110simpld 498 . . 3 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
1211simp1d 1139 . 2 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
1311simp2d 1140 . 2 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1411simp3d 1141 . 2 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1510simprd 499 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
1615simp1d 1139 . 2 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅)
1715simp2d 1140 . 2 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
1815simp3d 1141 . 2 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
19 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (𝑀 ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
20 eleq1 2880 . . . . . 6 (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
211nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 eleq1 2880 . . . . . . 7 ((𝑥 + (𝑀𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
25 eleq1 2880 . . . . . . 7 ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
26 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2726adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2827adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2928adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
3022ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
312nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
3231adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
3433adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
3530, 34zsubcld 12084 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
3629, 35zaddcld 12083 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
3728adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
38 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
3933adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
4038, 39zsubcld 12084 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
4137, 40zaddcld 12083 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
4224, 25, 36, 41ifbothda 4465 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ)
4319, 20, 23, 42ifbothda 4465 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ)
44 metakunt25.4 . . . . 5 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
4543, 44fmptd 6859 . . . 4 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℤ)
4645ffnd 6492 . . 3 (𝜑𝐵 Fn (1...𝑀))
471, 2, 3, 44, 4, 6metakunt19 39365 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
4847simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
4948simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5047simprd 499 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
511, 2, 3metakunt24 39370 . . . . 5 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀𝐼))) ∪ {𝑀})))
5251simp1d 1139 . . . 4 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
5349, 50, 52fnund 6439 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}) Fn (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
5451simp2d 1140 . . 3 (𝜑 → (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
551adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
562adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
573adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼𝑀)
58 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑦 ∈ (1...𝑀))
5955, 56, 57, 44, 4, 6, 58metakunt23 39369 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑦) = ((((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑦))
6046, 53, 54, 59eqfnfv2d2 39268 . 2 (𝜑𝐵 = (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}))
6151simp3d 1141 . 2 (𝜑 → (1...𝑀) = (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀𝐼))) ∪ {𝑀}))
625, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61metakunt17 39363 1 (𝜑𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883  ∅c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   Fn wfn 6323  –1-1-onto→wf1o 6327  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator