Theorem metakunt25 42230

Description: B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt25.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt25.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt25.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt25.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt25	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem metakunt25

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt25.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt25.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt25.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
5	1, 2, 3, 4	metakunt15 42220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))):(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7	1, 2, 3, 6	metakunt16 42221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))):(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))
8		f1osng 6889	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
9	1, 1, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{𝑀})
10	1, 2, 3	metakunt18 42223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
12	11	simp1d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
13	11	simp2d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
14	11	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
15	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
16	15	simp1d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
17	15	simp2d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
18	15	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
19		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (𝑀 ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
20		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) → (if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ))
21	1	nnzd 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
25		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ ↔ if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ))
26		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	2	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
35	30, 34	zsubcld 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
36	29, 35	zaddcld 12726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
37	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
38		1zzd 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
39	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
40	38, 39	zsubcld 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
41	37, 40	zaddcld 12726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
42	24, 25, 36, 41	ifbothda 4564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) ∈ ℤ)
43	19, 20, 23, 42	ifbothda 4564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∈ ℤ)
44		metakunt25.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
45	43, 44	fmptd 7134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℤ)
46	45	ffnd 6737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn (1...𝑀))
47	1, 2, 3, 44, 4, 6	metakunt19 42224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
48	47	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))) Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
49	48	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
50	47	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
51	1, 2, 3	metakunt24 42229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}) ∧ (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀})))
52	51	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
53	49, 50, 52	fnund 6683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}) Fn (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
54	51	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∪ {𝑀}))
55	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
56	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
57	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ≤ 𝑀)
58		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → 𝑦 ∈ (1...𝑀))
59	55, 56, 57, 44, 4, 6, 58	metakunt23 42228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑦) = ((((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑦))
60	46, 53, 54, 59	eqfnfv2d2 41982	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))) ∪ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩}))
61	51	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∪ (1...(𝑀 − 𝐼))) ∪ {𝑀}))
62	5, 7, 9, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 60, 54, 61	metakunt17 42222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)–1-1-onto→(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   Fn wfn 6556  –1-1-onto→wf1o 6560  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  metakunt33  42238  metakunt34  42239