Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt22 40598
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt22.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt22.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt22.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt22 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22
StepHypRef Expression
1 metakunt22.4 . . . 4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4514 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4512 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt22.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13 metakunt22.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1612, 15eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1716adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
189, 17eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19 metakunt22.7 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
2019elfzelzd 13442 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
21 1zzd 12534 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22 metakunt22.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2322nnzd 12526 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2421, 23zsubcld 12612 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
2520, 24zaddcld 12611 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
262, 18, 19, 25fvmptd 6955 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27 metakunt22.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
28 metakunt22.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑀)
29 metakunt22.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
30 metakunt22.6 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
3127, 22, 28, 1, 29, 30metakunt19 40595 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3231simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3332simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3431simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35 indir 4235 . . . . . . 7 (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
3727, 22, 28metakunt18 40594 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
3837simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
3938simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4038simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4139, 40uneq12d 4124 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42 unidm 4112 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
4441, 43eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
4536, 44eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
4627nnzd 12526 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4746, 21zsubcld 12612 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
4822nnred 12168 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
49 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
5019, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
5150nnred 12168 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5248, 51lenltd 11301 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
5313, 52mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑋)
54 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑀)
56 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
5710, 56sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑀)
5857necomd 2999 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑋)
5955, 58jca 512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝑀𝑀𝑋))
6027nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6151, 60ltlend 11300 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋𝑀𝑀𝑋)))
6259, 61mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 < 𝑀)
63 zltlem1 12556 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
6420, 46, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
6623, 47, 20, 53, 65elfzd 13432 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
67 elun2 4137 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6866, 67syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6933, 34, 45, 68fvun1d 6934 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶𝐷)‘𝑋))
7032simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
7132simp2d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
7238simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
7370, 71, 72, 66fvun2d 6935 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝐷𝑋))
7430a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
7675oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7720zred 12607 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
78 lenlt 11233 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
7948, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
8013, 79mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑋)
8177, 60ltlend 11300 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋𝑀𝑀𝑋)))
8259, 81mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 < 𝑀)
8382, 64mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
8423, 47, 20, 80, 83elfzd 13432 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
8574, 76, 84, 25fvmptd 6955 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
8673, 85eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
8769, 86eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
8887eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
8926, 88eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  cin 3909  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt23  40599
  Copyright terms: Public domain W3C validator