Theorem metakunt22 41572

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt22.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt22.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt22.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt22	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt22.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt22.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11		iffalse 4532	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13		metakunt22.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14		iffalse 4532	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
16	12, 15	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
18	9, 17	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19		metakunt22.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22		metakunt22.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 12675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
25	20, 24	zaddcld 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
26	2, 18, 19, 25	fvmptd 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27		metakunt22.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		metakunt22.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
29		metakunt22.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
30		metakunt22.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
31	27, 22, 28, 1, 29, 30	metakunt19 41569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
32	31	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
33	32	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
34	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35		indir 4270	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
37	27, 22, 28	metakunt18 41568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
39	38	simp2d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
40	38	simp3d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
41	39, 40	uneq12d 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42		unidm 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
44	41, 43	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
45	36, 44	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
46	27	nnzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46, 21	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
48	22	nnred 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
49		elfznn 13536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
51	50	nnred 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
52	48, 51	lenltd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
53	13, 52	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
54		elfzle2 13511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
55	19, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
56		df-ne 2935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
57	10, 56	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
58	57	necomd 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑋)
59	55, 58	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋))
60	27	nnred 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	51, 60	ltlend 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
62	59, 61	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
63		zltlem1 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
64	20, 46, 63	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
65	62, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
66	23, 47, 20, 53, 65	elfzd 13498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
67		elun2 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
68	66, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
69	33, 34, 45, 68	fvun1d 6978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
70	32	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
71	32	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
72	38	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
73	70, 71, 72, 66	fvun2d 6979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐷‘𝑋))
74	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
76	75	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
77	20	zred 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
78		lenlt 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
79	48, 77, 78	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
80	13, 79	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
81	77, 60	ltlend 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
82	59, 81	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
83	82, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
84	23, 47, 20, 80, 83	elfzd 13498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
85	74, 76, 84, 25	fvmptd 6999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
86	73, 85	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
87	69, 86	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
88	87	eqcomd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
89	26, 88	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942  ∅c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  metakunt23  41573