Theorem metakunt22 40943

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt22.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt22.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt22.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt22	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt22.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4552	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt22.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11		iffalse 4535	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13		metakunt22.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14		iffalse 4535	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
16	12, 15	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
17	16	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
18	9, 17	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19		metakunt22.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22		metakunt22.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 12666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
25	20, 24	zaddcld 12665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
26	2, 18, 19, 25	fvmptd 7000	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27		metakunt22.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		metakunt22.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
29		metakunt22.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
30		metakunt22.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
31	27, 22, 28, 1, 29, 30	metakunt19 40940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
32	31	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
33	32	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
34	31	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35		indir 4273	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
37	27, 22, 28	metakunt18 40939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
38	37	simpld 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
39	38	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
40	38	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
41	39, 40	uneq12d 4162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42		unidm 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
44	41, 43	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
45	36, 44	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
46	27	nnzd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46, 21	zsubcld 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
48	22	nnred 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
49		elfznn 13525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
51	50	nnred 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
52	48, 51	lenltd 11355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
53	13, 52	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
54		elfzle2 13500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
55	19, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
56		df-ne 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
57	10, 56	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
58	57	necomd 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑋)
59	55, 58	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋))
60	27	nnred 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	51, 60	ltlend 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
62	59, 61	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
63		zltlem1 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
64	20, 46, 63	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
65	62, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
66	23, 47, 20, 53, 65	elfzd 13487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
67		elun2 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
68	66, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
69	33, 34, 45, 68	fvun1d 6979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
70	32	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
71	32	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
72	38	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
73	70, 71, 72, 66	fvun2d 6980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐷‘𝑋))
74	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
76	75	oveq1d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
77	20	zred 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
78		lenlt 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
79	48, 77, 78	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
80	13, 79	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
81	77, 60	ltlend 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
82	59, 81	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
83	82, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
84	23, 47, 20, 80, 83	elfzd 13487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
85	74, 76, 84, 25	fvmptd 7000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
86	73, 85	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
87	69, 86	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
88	87	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
89	26, 88	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∪ cun 3944   ∩ cin 3945  ∅c0 4320  ifcif 4526  {csn 4626  ⟨cop 4632   class class class wbr 5146   ↦ cmpt 5229   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11439  ℕcn 12207  ℤcz 12553  ...cfz 13479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480

This theorem is referenced by:  metakunt23  40944