Theorem metakunt22 40074

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt22.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt22.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt22.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt22	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt22.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4484	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4482	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt22.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11		iffalse 4465	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13		metakunt22.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14		iffalse 4465	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
16	12, 15	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
18	9, 17	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19		metakunt22.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22		metakunt22.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 12360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
25	20, 24	zaddcld 12359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
26	2, 18, 19, 25	fvmptd 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27		metakunt22.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		metakunt22.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
29		metakunt22.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
30		metakunt22.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
31	27, 22, 28, 1, 29, 30	metakunt19 40071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
32	31	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
33	32	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
34	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35		indir 4206	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
37	27, 22, 28	metakunt18 40070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
39	38	simp2d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
40	38	simp3d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
41	39, 40	uneq12d 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42		unidm 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
44	41, 43	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
45	36, 44	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
46	27	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46, 21	zsubcld 12360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
48	22	nnred 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
49		elfznn 13214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
51	50	nnred 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
52	48, 51	lenltd 11051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
53	13, 52	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
54		elfzle2 13189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
55	19, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
56		df-ne 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
57	10, 56	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
58	57	necomd 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑋)
59	55, 58	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋))
60	27	nnred 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	51, 60	ltlend 11050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
62	59, 61	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
63		zltlem1 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
64	20, 46, 63	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
65	62, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
66	23, 47, 20, 53, 65	elfzd 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
67		elun2 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
68	66, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
69	33, 34, 45, 68	fvun1d 6843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
70	32	simp1d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
71	32	simp2d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
72	38	simp1d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
73	70, 71, 72, 66	fvun2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐷‘𝑋))
74	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
76	75	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
77	20	zred 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
78		lenlt 10984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
79	48, 77, 78	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
80	13, 79	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
81	77, 60	ltlend 11050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
82	59, 81	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
83	82, 64	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
84	23, 47, 20, 80, 83	elfzd 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
85	74, 76, 84, 25	fvmptd 6864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
86	73, 85	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
87	69, 86	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
88	87	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
89	26, 88	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt23  40075