Theorem metakunt22 39868

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt22.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt22.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt22.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt22	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt22.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4467	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt22.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11		iffalse 4448	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13		metakunt22.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14		iffalse 4448	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
16	12, 15	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
18	9, 17	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19		metakunt22.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22		metakunt22.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 12287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
25	20, 24	zaddcld 12286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
26	2, 18, 19, 25	fvmptd 6825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27		metakunt22.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		metakunt22.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
29		metakunt22.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
30		metakunt22.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
31	27, 22, 28, 1, 29, 30	metakunt19 39865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
32	31	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
33	32	simp3d 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
34	31	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35		indir 4190	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
37	27, 22, 28	metakunt18 39864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
38	37	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
39	38	simp2d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
40	38	simp3d 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
41	39, 40	uneq12d 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42		unidm 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
44	41, 43	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
45	36, 44	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
46	27	nnzd 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46, 21	zsubcld 12287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
48	22	nnred 11845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
49		elfznn 13141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
51	50	nnred 11845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
52	48, 51	lenltd 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
53	13, 52	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
54		elfzle2 13116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
55	19, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
56		df-ne 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
57	10, 56	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
58	57	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑋)
59	55, 58	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋))
60	27	nnred 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	51, 60	ltlend 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
62	59, 61	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
63		zltlem1 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
64	20, 46, 63	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
65	62, 64	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
66	23, 47, 20, 53, 65	elfzd 13103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
67		elun2 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
68	66, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
69	33, 34, 45, 68	fvun1d 6804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
70	32	simp1d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
71	32	simp2d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
72	38	simp1d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
73	70, 71, 72, 66	fvun2d 6805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐷‘𝑋))
74	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
76	75	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
77	20	zred 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
78		lenlt 10911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
79	48, 77, 78	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
80	13, 79	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
81	77, 60	ltlend 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋)))
82	59, 81	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
83	82, 64	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
84	23, 47, 20, 80, 83	elfzd 13103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
85	74, 76, 84, 25	fvmptd 6825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
86	73, 85	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
87	69, 86	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
88	87	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
89	26, 88	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865  ∅c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   Fn wfn 6375  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  metakunt23  39869