Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt22 39522
 Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt22.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt22.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt22.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt22.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt22.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt22.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt22.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt22.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt22.9 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt22 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt22
StepHypRef Expression
1 metakunt22.4 . . . 4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2802 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5037 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4455 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4453 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt22.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11 iffalse 4437 . . . . . . 7 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
13 metakunt22.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
14 iffalse 4437 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1612, 15eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
189, 17eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
19 metakunt22.7 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
2019elfzelzd 12923 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
21 1zzd 12021 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22 metakunt22.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2322nnzd 12094 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2421, 23zsubcld 12100 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
2520, 24zaddcld 12099 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
262, 18, 19, 25fvmptd 6762 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
27 metakunt22.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
28 metakunt22.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑀)
29 metakunt22.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
30 metakunt22.6 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
3127, 22, 28, 1, 29, 30metakunt19 39519 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3231simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3332simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3431simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
35 indir 4205 . . . . . . 7 (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
3727, 22, 28metakunt18 39518 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
3837simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
3938simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4038simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4139, 40uneq12d 4094 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
42 unidm 4082 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
4441, 43eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
4536, 44eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
4627nnzd 12094 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4746, 21zsubcld 12100 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
48 elfznn 12951 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
4919, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
5049nnzd 12094 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
5122nnred 11658 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
5249nnred 11658 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5351, 52lenltd 10793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
5413, 53mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑋)
55 elfzle2 12926 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
5619, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑀)
57 df-ne 2988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
5810, 57sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑀)
5958necomd 3042 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑋)
6056, 59jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝑀𝑀𝑋))
6127nnred 11658 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6252, 61ltlend 10792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋𝑀𝑀𝑋)))
6360, 62mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 < 𝑀)
64 zltlem1 12043 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑀𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
6550, 46, 64syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
6663, 65mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
6723, 47, 50, 54, 66elfzd 12913 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
68 elun2 4107 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
7033, 34, 45, 69fvun1d 6741 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶𝐷)‘𝑋))
7132simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
7232simp2d 1140 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
7338simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
7471, 72, 73, 67fvun2d 6742 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝐷𝑋))
7530a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼))))
76 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
7776oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7820zred 12095 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
79 lenlt 10726 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
8051, 78, 79syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
8113, 80mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑋)
8278, 61ltlend 10792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀 ↔ (𝑋𝑀𝑀𝑋)))
8360, 82mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 < 𝑀)
8420, 46, 64syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑀𝑋 ≤ (𝑀 − 1)))
8583, 84mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝑀 − 1))
8623, 47, 20, 81, 85elfzd 12913 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
8775, 77, 86, 25fvmptd 6762 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
8874, 87eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
8970, 88eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
9089eqcomd 2804 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (1 − 𝐼)) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
9126, 90eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528  ⟨cop 4534   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114   Fn wfn 6327  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  1c1 10545   + caddc 10547   < clt 10682   ≤ cle 10683   − cmin 10877  ℕcn 11643  ℤcz 11989  ...cfz 12905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906 This theorem is referenced by:  metakunt23  39523
 Copyright terms: Public domain W3C validator