Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt21 40643
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt21.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt21.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt21.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9 (𝜑𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt21 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21
StepHypRef Expression
1 metakunt21.4 . . . 4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5109 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4515 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4513 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt21.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
1110iffalsed 4498 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12 metakunt21.9 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 < 𝐼)
1312iftrued 4495 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1411, 13eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1514adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
169, 15eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
17 metakunt21.7 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
1817elfzelzd 13448 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
19 metakunt21.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2019nnzd 12531 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 metakunt21.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2221nnzd 12531 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2320, 22zsubcld 12617 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
2418, 23zaddcld 12616 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
252, 16, 17, 24fvmptd 6956 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
26 metakunt21.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑀)
27 metakunt21.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
28 metakunt21.6 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2919, 21, 26, 1, 27, 28metakunt19 40641 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3029simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3130simp3d 1145 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3229simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33 indir 4236 . . . . . . 7 (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
3519, 21, 26metakunt18 40640 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
3635simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
3736simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3836simp3d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3937, 38uneq12d 4125 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40 unidm 4113 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
4239, 41eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
4334, 42eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44 1zzd 12539 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4522, 44zsubcld 12617 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46 elfznn 13476 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
4717, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
4847nnge1d 12206 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49 zltlem1 12561 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5018, 22, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5112, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
5244, 45, 18, 48, 51elfzd 13438 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53 elun1 4137 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5531, 32, 43, 54fvun1d 6935 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶𝐷)‘𝑋))
5630simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
5730simp2d 1144 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
5836simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5956, 57, 58, 52fvun1d 6935 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝐶𝑋))
6027a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))))
615adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6260, 61, 52, 24fvmptd 6956 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6359, 62eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6455, 63eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6564eqcomd 2739 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
6625, 65eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  cin 3910  c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  cop 4593   class class class wbr 5106  cmpt 5189   Fn wfn 6492  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt23  40645
  Copyright terms: Public domain W3C validator