Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt21 40353
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt21.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt21.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt21.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9 (𝜑𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt21 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21
StepHypRef Expression
1 metakunt21.4 . . . 4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5090 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7322 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7322 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4499 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4497 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt21.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
1110iffalsed 4482 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12 metakunt21.9 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 < 𝐼)
1312iftrued 4479 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1411, 13eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
169, 15eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
17 metakunt21.7 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
1817elfzelzd 13330 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
19 metakunt21.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2019nnzd 12498 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 metakunt21.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2221nnzd 12498 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2320, 22zsubcld 12504 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
2418, 23zaddcld 12503 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
252, 16, 17, 24fvmptd 6921 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
26 metakunt21.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑀)
27 metakunt21.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
28 metakunt21.6 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2919, 21, 26, 1, 27, 28metakunt19 40351 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3029simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3130simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3229simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33 indir 4220 . . . . . . 7 (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
3519, 21, 26metakunt18 40350 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
3635simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
3736simp2d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3836simp3d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3937, 38uneq12d 4109 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40 unidm 4097 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
4239, 41eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
4334, 42eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44 1zzd 12424 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4522, 44zsubcld 12504 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46 elfznn 13358 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
4717, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
4847nnge1d 12094 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49 zltlem1 12446 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5018, 22, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5112, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
5244, 45, 18, 48, 51elfzd 13320 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53 elun1 4121 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5531, 32, 43, 54fvun1d 6900 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶𝐷)‘𝑋))
5630simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
5730simp2d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
5836simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5956, 57, 58, 52fvun1d 6900 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝐶𝑋))
6027a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))))
615adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6260, 61, 52, 24fvmptd 6921 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6359, 62eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6455, 63eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6564eqcomd 2743 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
6625, 65eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cun 3895  cin 3896  c0 4267  ifcif 4471  {csn 4571  cop 4577   class class class wbr 5087  cmpt 5170   Fn wfn 6460  cfv 6465  (class class class)co 7315  1c1 10945   + caddc 10947   < clt 11082  cle 11083  cmin 11278  cn 12046  cz 12392  ...cfz 13312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-rp 12804  df-fz 13313
This theorem is referenced by:  metakunt23  40355
  Copyright terms: Public domain W3C validator