Theorem metakunt21 39652

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt21.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt21.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt21.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt21	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt21.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt21.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11	10	iffalsed 4424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12		metakunt21.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
13	12	iftrued 4421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
14	11, 13	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
16	9, 15	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
17		metakunt21.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	17	elfzelzd 12942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
19		metakunt21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		metakunt21.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
23	20, 22	zsubcld 12116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
24	18, 23	zaddcld 12115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
25	2, 16, 17, 24	fvmptd 6759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
26		metakunt21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
27		metakunt21.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
28		metakunt21.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
29	19, 21, 26, 1, 27, 28	metakunt19 39650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
30	29	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
31	30	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
32	29	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33		indir 4176	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
35	19, 21, 26	metakunt18 39649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
36	35	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
37	36	simp2d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	36	simp3d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
39	37, 38	uneq12d 4065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40		unidm 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
43	34, 42	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44		1zzd 12037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	22, 44	zsubcld 12116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46		elfznn 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
47	17, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
48	47	nnge1d 11707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49		zltlem1 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
50	18, 22, 49	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
51	12, 50	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
52	44, 45, 18, 48, 51	elfzd 12932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53		elun1 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
55	31, 32, 43, 54	fvun1d 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
56	30	simp1d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
57	30	simp2d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
58	36	simp1d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
59	56, 57, 58, 52	fvun1d 6738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐶‘𝑋))
60	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
61	5	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
62	60, 61, 52, 24	fvmptd 6759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
63	59, 62	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
64	55, 63	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
65	64	eqcomd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
66	25, 65	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3852   ∩ cin 3853  ∅c0 4221  ifcif 4413  {csn 4515  ⟨cop 4521   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  ℕcn 11659  ℤcz 12005  ...cfz 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416  df-fz 12925

This theorem is referenced by:  metakunt23  39654