Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt21 42207
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt21.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt21.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt21.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9 (𝜑𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt21 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21
StepHypRef Expression
1 metakunt21.4 . . . 4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2739 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4559 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4557 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt21.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
1110iffalsed 4542 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12 metakunt21.9 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 < 𝐼)
1312iftrued 4539 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1411, 13eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
169, 15eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
17 metakunt21.7 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
1817elfzelzd 13562 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
19 metakunt21.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2019nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 metakunt21.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2221nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
2320, 22zsubcld 12725 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
2418, 23zaddcld 12724 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
252, 16, 17, 24fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
26 metakunt21.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑀)
27 metakunt21.5 . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
28 metakunt21.6 . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2919, 21, 26, 1, 27, 28metakunt19 42205 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3029simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3130simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3229simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33 indir 4292 . . . . . . 7 (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
3519, 21, 26metakunt18 42204 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
3635simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
3736simp2d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3836simp3d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3937, 38uneq12d 4179 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40 unidm 4167 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
4239, 41eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
4334, 42eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44 1zzd 12646 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4522, 44zsubcld 12725 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46 elfznn 13590 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
4717, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
4847nnge1d 12312 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49 zltlem1 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5018, 22, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝐼𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
5112, 50mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
5244, 45, 18, 48, 51elfzd 13552 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53 elun1 4192 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
5531, 32, 43, 54fvun1d 7002 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶𝐷)‘𝑋))
5630simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
5730simp2d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
5836simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5956, 57, 58, 52fvun1d 7002 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝐶𝑋))
6027a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼))))
615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6260, 61, 52, 24fvmptd 7023 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6359, 62eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6455, 63eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6564eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
6625, 65eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  metakunt23  42209
  Copyright terms: Public domain W3C validator