Theorem metakunt21 41732

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt21.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt21.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt21.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt21	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt21.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4552	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt21.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11	10	iffalsed 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12		metakunt21.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
13	12	iftrued 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
14	11, 13	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
16	9, 15	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
17		metakunt21.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	17	elfzelzd 13532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
19		metakunt21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		metakunt21.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
23	20, 22	zsubcld 12699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
24	18, 23	zaddcld 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
25	2, 16, 17, 24	fvmptd 7006	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
26		metakunt21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
27		metakunt21.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
28		metakunt21.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
29	19, 21, 26, 1, 27, 28	metakunt19 41730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
30	29	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
31	30	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
32	29	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33		indir 4270	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
35	19, 21, 26	metakunt18 41729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
36	35	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
37	36	simp2d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	36	simp3d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
39	37, 38	uneq12d 4157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40		unidm 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
43	34, 42	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44		1zzd 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	22, 44	zsubcld 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46		elfznn 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
47	17, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
48	47	nnge1d 12288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49		zltlem1 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
50	18, 22, 49	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
51	12, 50	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
52	44, 45, 18, 48, 51	elfzd 13522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53		elun1 4170	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
55	31, 32, 43, 54	fvun1d 6985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
56	30	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
57	30	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
58	36	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
59	56, 57, 58, 52	fvun1d 6985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐶‘𝑋))
60	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
61	5	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
62	60, 61, 52, 24	fvmptd 7006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
63	59, 62	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
64	55, 63	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
65	64	eqcomd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
66	25, 65	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939  ∅c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  ⟨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472  ℕcn 12240  ℤcz 12586  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  metakunt23  41734