Theorem metakunt21 40993

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt21.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt21.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt21.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt21	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt21.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4555	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4553	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt21.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11	10	iffalsed 4538	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12		metakunt21.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
13	12	iftrued 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
14	11, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
16	9, 15	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
17		metakunt21.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	17	elfzelzd 13498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
19		metakunt21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		metakunt21.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
23	20, 22	zsubcld 12667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
24	18, 23	zaddcld 12666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
25	2, 16, 17, 24	fvmptd 7002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
26		metakunt21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
27		metakunt21.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
28		metakunt21.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
29	19, 21, 26, 1, 27, 28	metakunt19 40991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
30	29	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
31	30	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
32	29	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33		indir 4274	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
35	19, 21, 26	metakunt18 40990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
36	35	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
37	36	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	36	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
39	37, 38	uneq12d 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40		unidm 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
43	34, 42	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44		1zzd 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	22, 44	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46		elfznn 13526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
47	17, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
48	47	nnge1d 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49		zltlem1 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
50	18, 22, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
51	12, 50	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
52	44, 45, 18, 48, 51	elfzd 13488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53		elun1 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
55	31, 32, 43, 54	fvun1d 6981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
56	30	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
57	30	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
58	36	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
59	56, 57, 58, 52	fvun1d 6981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐶‘𝑋))
60	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
61	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
62	60, 61, 52, 24	fvmptd 7002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
63	59, 62	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
64	55, 63	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
65	64	eqcomd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
66	25, 65	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt23  40995