Theorem metakunt21 40597

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt21.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt21.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt21.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt21.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt21.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt21.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt21.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt21.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
metakunt21.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt21	⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt21.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
4		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
6		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4514	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
8	3, 7	ifbieq2d 4512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10		metakunt21.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
11	10	iffalsed 4497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
12		metakunt21.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
13	12	iftrued 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
14	11, 13	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
16	9, 15	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
17		metakunt21.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	17	elfzelzd 13442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
19		metakunt21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		metakunt21.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
23	20, 22	zsubcld 12612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
24	18, 23	zaddcld 12611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
25	2, 16, 17, 24	fvmptd 6955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
26		metakunt21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
27		metakunt21.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
28		metakunt21.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
29	19, 21, 26, 1, 27, 28	metakunt19 40595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
30	29	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
31	30	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
32	29	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
33		indir 4235	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})))
35	19, 21, 26	metakunt18 40594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
36	35	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
37	36	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	36	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
39	37, 38	uneq12d 4124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = (∅ ∪ ∅))
40		unidm 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ ∅) = ∅)
42	39, 41	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) ∪ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀})) = ∅)
43	34, 42	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
44		1zzd 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	22, 44	zsubcld 12612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
46		elfznn 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
47	17, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
48	47	nnge1d 12201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
49		zltlem1 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
50	18, 22, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 𝑋 ≤ (𝐼 − 1)))
51	12, 50	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐼 − 1))
52	44, 45, 18, 48, 51	elfzd 13432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
53		elun1 4136	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
55	31, 32, 43, 54	fvun1d 6934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋))
56	30	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
57	30	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
58	36	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
59	56, 57, 58, 52	fvun1d 6934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝐶‘𝑋))
60	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
61	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
62	60, 61, 52, 24	fvmptd 6955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
63	59, 62	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∪ 𝐷)‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
64	55, 63	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
65	64	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
66	25, 65	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (((𝐶 ∪ 𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  metakunt23  40599