Theorem mgm0b 18418

Description: The structure with an empty base set and any group operation is a magma. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mgm0b	⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm

Proof of Theorem mgm0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5370	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ V
2		0ex 5246	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} = {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}
4	3	grpbase 17073	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}))
5	4	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}) = ∅)
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}) = ∅
7		mgm0 18417	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ V ∧ (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}) = ∅) → {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm)
8	1, 6, 7	mp2an 689	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4267  {cpr 4573  ⟨cop 4577  ‘cfv 6466  ndxcnx 16971  Basecbs 16989  +_gcplusg 17039  Mgmcmgm 18401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320  df-struct 16925  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-plusg 17052  df-mgm 18403

This theorem is referenced by:  sgrp0b  18460