Theorem monoordxr 45433

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoordxr.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
monoordxr.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
monoordxr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoordxr.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoordxr.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
monoordxr	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoordxr

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoordxr.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoordxr.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
4	2, 3	nfan 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5		monoordxr.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
6		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
7	5, 6	nffv 6917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
8		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ*
9	7, 8	nfel 2918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*
10	4, 9	nfim 1894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		eleq1w 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	11	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
14	13	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*))
15	12, 14	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)))
16		monoordxr.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
17	10, 15, 16	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
18		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
19	2, 18	nfan 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
21		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
22	5, 21	nffv 6917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
23	7, 20, 22	nfbr 5195	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))
24	19, 23	nfim 1894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
25		eleq1w 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
26	25	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27		fvoveq1 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
28	13, 27	breq12d 5161	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
30		monoordxr.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
31	24, 29, 30	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
32	1, 17, 31	monoordxrv 45432	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by: (None)