Theorem monoordxr 45462

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoordxr.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
monoordxr.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
monoordxr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoordxr.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoordxr.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
monoordxr	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoordxr

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoordxr.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoordxr.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
4	2, 3	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5		monoordxr.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
6		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
7	5, 6	nffv 6836	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
8		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ*
9	7, 8	nfel 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*
10	4, 9	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		eleq1w 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	11	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
14	13	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*))
15	12, 14	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)))
16		monoordxr.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
17	10, 15, 16	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
18		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
19	2, 18	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
21		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
22	5, 21	nffv 6836	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
23	7, 20, 22	nfbr 5142	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))
24	19, 23	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
25		eleq1w 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
26	25	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27		fvoveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
28	13, 27	breq12d 5108	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
30		monoordxr.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
31	24, 29, 30	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
32	1, 17, 31	monoordxrv 45461	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≤ (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429

This theorem is referenced by: (None)