Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monoordxrv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoordxrv 44769
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoordxrv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoordxrv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoordxrv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
monoordxrv (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoordxrv
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoordxrv.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 13515 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65breq2d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
74, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))))
9 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
10 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
15 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
20 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))))
24 eluzfz1 13514 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26 monoordxrv.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2726ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
28 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2928eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
3029rspcv 3602 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
3125, 27, 30sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
3231xrleidd 13137 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
3332a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
3433a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
35 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
36 simprr 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
37 peano2fzr 13520 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3938expr 456 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
4039imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
41 eluzelz 12836 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
4235, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
43 elfzuz3 13504 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
45 eluzp1m1 12852 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
4642, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
47 elfzuzb 13501 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
4835, 46, 47sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
49 monoordxrv.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5049ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
52 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
53 fvoveq1 7428 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5452, 53breq12d 5154 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5554rspcv 3602 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5648, 51, 55sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5731adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
5827adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
5952eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
6059rspcv 3602 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
6138, 58, 60sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
62 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6362eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
6463rspcv 3602 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
6536, 58, 64sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
66 xrletr 13143 . . . . . . 7 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6757, 61, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6856, 67mpan2d 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6940, 68animpimp2impd 843 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
708, 13, 18, 23, 34, 69uzind4 12894 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
711, 70mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
723, 71mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11251  cle 11253  cmin 11448  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491
This theorem is referenced by:  monoordxr  44770  monoord2xrv  44771
  Copyright terms: Public domain W3C validator