Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monoordxrv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoordxrv 40617
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoordxrv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoordxrv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoordxrv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
monoordxrv (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoordxrv
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoordxrv.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 12666 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
74, 6imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
87imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))))
9 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
10 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
15 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
20 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))))
24 eluzfz1 12665 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26 monoordxrv.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2726ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
28 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2928eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
3029rspcv 3507 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
3125, 27, 30sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
3231xrleidd 12295 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
3332a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
3433a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
35 simprl 761 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
36 simprr 763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
37 peano2fzr 12671 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3938expr 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
4039imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
41 eluzelz 12002 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
4235, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
43 elfzuz3 12656 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
45 eluzp1m1 12016 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
4642, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
47 elfzuzb 12653 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
4835, 46, 47sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
49 monoordxrv.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5049ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5150adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
52 fveq2 6446 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
53 fvoveq1 6945 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5452, 53breq12d 4899 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5554rspcv 3507 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5648, 51, 55sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5731adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
5827adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
5952eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
6059rspcv 3507 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
6138, 58, 60sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
62 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6362eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
6463rspcv 3507 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
6536, 58, 64sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
66 xrletr 12301 . . . . . . 7 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6757, 61, 65, 66syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6856, 67mpan2d 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6940, 68animpimp2impd 835 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
708, 13, 18, 23, 34, 69uzind4 12052 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
711, 70mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
723, 71mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275  *cxr 10410  cle 10412  cmin 10606  cz 11728  cuz 11992  ...cfz 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644
This theorem is referenced by:  monoordxr  40618  monoord2xrv  40619
  Copyright terms: Public domain W3C validator