Theorem estrchomfval 18188

Description: Set of morphisms ("arrows") of the category of extensible structures (in a universe). (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
estrchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem estrchomfval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
4		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
5	1, 2, 3, 4	estrcval 18186	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩})
6		catstr 18023	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
7		homid 17471	. 2 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
8		snsstp2 4782	. 2 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩}
9		mpoexga 8072	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
10	2, 2, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
11		estrchomfval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
12	5, 6, 7, 8, 10, 11	strfv3 17270	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {ctp 4592  ⟨cop 4594   × cxp 5658   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983   ↑_m cmap 8822  1c1 11107  5c5 12304  ;cdc 12717  ndxcnx 17259  Basecbs 17275  Hom chom 17327  compcco 17328  ExtStrCatcestrc 18184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-hom 17340  df-cco 17341  df-estrc 18185

This theorem is used by:  estrchom  18189  estrccofval  18191  estrchomfn  18197  rnghmsubcsetc  20743  rhmsubcsetc  20772