Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem1 47257
Description: Lemma 1 for lmod1 47262. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) ∈ {𝐼})
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem lmod1lem1
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
2 snex 5432 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {𝐼} ∈ V)
4 mpoexga 8067 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 586 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 17279 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
98eqcomd 2737 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 770 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ = π‘Ÿ ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1137 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12 snidg 4663 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpod 7563 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
1514, 13eqeltrd 2832 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) ∈ {𝐼})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Ringcrg 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219
This theorem is referenced by:  lmod1  47262
  Copyright terms: Public domain W3C validator