Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem1 45504
Description: Lemma 1 for lmod1 45509. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) ∈ {𝐼})
Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem1
StepHypRef Expression
1 fvex 6730 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 5324 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
4 mpoexga 7848 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 590 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 16865 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2743 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 773 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1140 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12 snidg 4575 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1135 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpod 7361 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
1514, 13eqeltrd 2838 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) ∈ {𝐼})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cun 3864  {csn 4541  {ctp 4545  cop 4547  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  Ringcrg 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-sca 16818  df-vsca 16819
This theorem is referenced by:  lmod1  45509
  Copyright terms: Public domain W3C validator