Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem5 44691
Description: Lemma 5 for lmod1 44692. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5
StepHypRef Expression
1 fvex 6659 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 5308 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 473 . . . . 5 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5 mpoexga 7753 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . 5 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 16619 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
84, 5, 73syl 18 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2826 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 771 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
116lmodsca 16618 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1211adantl 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1312eqcomd 2826 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑀) = 𝑅)
1413fveq2d 6650 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r𝑅))
15 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2820 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1715, 16ringidcl 19297 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1817adantl 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1914, 18eqeltrd 2911 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
20 snidg 4575 . . 3 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
2120adantr 483 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
229, 10, 19, 21, 21ovmpod 7279 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  cun 3911  {csn 4543  {ctp 4547  cop 4549  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  ndxcnx 16459  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  1rcur 19230  Ringcrg 19276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278
This theorem is referenced by:  lmod1  44692
  Copyright terms: Public domain W3C validator