Theorem lmod1lem5 45784

Description: Lemma 5 for lmod1 45785. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem5	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6781	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5357	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5		mpoexga 7904	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17020	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2745	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 769	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11	6	lmodsca 17019	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
13	12	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑀) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidcl 19788	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	14, 18	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
20		snidg 4600	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
21	20	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
22	9, 10, 19, 21, 21	ovmpod 7416	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∪ cun 3889  {csn 4566  {ctp 4570  ⟨cop 4572  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ∈ cmpo 7270  ndxcnx 16875  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  Scalarcsca 16946   ·_𝑠 cvsca 16947  1_rcur 19718  Ringcrg 19764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766

This theorem is referenced by:  lmod1  45785