Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem5 47447
Description: Lemma 5 for lmod1 47448. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
2 snex 5424 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5 mpoexga 8063 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . 5 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 17283 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
84, 5, 73syl 18 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
98eqcomd 2732 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 770 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
116lmodsca 17282 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€))
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€))
1312eqcomd 2732 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = 𝑅)
1413fveq2d 6889 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…))
15 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
16 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1715, 16ringidcl 20165 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1817adantl 481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1914, 18eqeltrd 2827 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 snidg 4657 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
2120adantr 480 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
229, 10, 19, 21, 21ovmpod 7556 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941  {csn 4623  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  1rcur 20086  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  lmod1  47448
  Copyright terms: Public domain W3C validator