Theorem lmod1lem5 48490

Description: Lemma 5 for lmod1 48491. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem5	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6829	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5371	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5		mpoexga 8003	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17220	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2735	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 772	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11	6	lmodsca 17219	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
13	12	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑀) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6820	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	ringidcl 20137	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	14, 18	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
20		snidg 4610	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
21	20	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
22	9, 10, 19, 21, 21	ovmpod 7492	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   ∪ cun 3897  {csn 4573  {ctp 4577  ⟨cop 4579  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ∈ cmpo 7342  ndxcnx 17091  Basecbs 17107  +_gcplusg 17148  Scalarcsca 17151   ·_𝑠 cvsca 17152  1_rcur 20053  Ringcrg 20105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-plusg 17161  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mgp 20013  df-ur 20054  df-ring 20107

This theorem is referenced by:  lmod1  48491