Theorem lmod1lem4 48618

Description: Lemma 4 for lmod1 48620. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem4	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝐼,𝑞   𝑅,𝑞   𝑉,𝑞   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem lmod1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6843	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5378	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5		mpoexga 8017	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17237	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
12		snidg 4614	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
13	12	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
14	9, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7506	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
15		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
16		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
17	9, 15, 16, 13, 13	ovmpod 7506	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
18	17	oveq2d 7370	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼))
19		simprr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
20		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
21	6	lmodsca 17236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
22	21	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
23	20, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
24	23	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 7371	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) = (𝑞(.r‘𝑅)𝑟))
26		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28	26, 27	ringcl 20172	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑞(.r‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
29	20, 11, 16, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
30	25, 29	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
31	9, 19, 30, 13, 13	ovmpod 7506	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
32	14, 18, 31	3eqtr4rd 2779	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  {csn 4577  {ctp 4581  ⟨cop 4583  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∈ cmpo 7356  ndxcnx 17108  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  ._rcmulr 17166  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  Ringcrg 20155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mgp 20063  df-ring 20157

This theorem is referenced by:  lmod1  48620