Theorem lmod1lem4 49933

Description: Lemma 4 for lmod1 49935. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem4	⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝐼,𝑞   𝑅,𝑞   𝑉,𝑞   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem lmod1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5404	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5		mpoexga 8125	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17546	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	4, 5, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 785	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
12		snidg 4622	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
13	12	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
14	9, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7604	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
15		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
16		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
17	9, 15, 16, 13, 13	ovmpod 7604	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
18	17	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼))
19		simprr 785	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥 = (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
20		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
21	6	lmodsca 17545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
22	21	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
23	20, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑀)))
24	23	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘(Scalar‘𝑀)) = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 7468	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) = (𝑞(.r‘𝑅)𝑟))
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28	26, 27	ringcl 20528	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑞(.r‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
29	20, 11, 16, 28	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘𝑅)𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
30	25, 29	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟) ∈ (Base‘𝑅))
31	9, 19, 30, 13, 13	ovmpod 7604	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
32	14, 18, 31	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑀))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mgp 20412  df-ring 20512

This theorem is used by:  lmod1  49935