MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulbinom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulbinom2 14039
Description: The square of a binomial with factor. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulbinom2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))

Proof of Theorem mulbinom2
StepHypRef Expression
1 mulcl 11056 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
21ancoms 459 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
323adant2 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 simp2 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 binom2 14034 . . 3 (((๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
7 mulass 11060 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยท ๐ต)))
873coml 1126 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต) = (๐ถ ยท (๐ด ยท ๐ต)))
98oveq2d 7353 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท (๐ถ ยท (๐ด ยท ๐ต))))
10 2cnd 12152 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 simp3 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 mulcl 11056 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
13123adant3 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1410, 11, 13mulassd 11099 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (๐ถ ยท (๐ด ยท ๐ต))))
159, 14eqtr4d 2779 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1615oveq2d 7353 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต))) = (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))))
1716oveq1d 7352 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
186, 17eqtrd 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7337  โ„‚cc 10970   + caddc 10975   ยท cmul 10977  2c2 12129  โ†‘cexp 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14077
  Copyright terms: Public domain W3C validator